数学原理（三）_数学联邦政治世界观()

教堂（Church，1976）用r型对PM逻辑的表达方式称为PM的高阶量化逻辑的语言称为RAMIFIED类型理论，Church（1976）的类型系统将称为R-Types。请注意，有两种变量，但它们都分配给R型。单个变量作为命题函数变量的特殊情况。

（参数）变量：xτ，yτ，zτ，……对于每种类型τ

N位置命题函数变量：ϕ

，ψ

，…（n≥1），其中τ是一种类型符号。（rn，sn，…（n≥1）用于扩展的关系。）χ用于函数的高阶函数，如χ（ϕ）和下一个顺序的φ，如φ（χ）

纠结：〜，∨

标点：（），[，]，{，}，等。

量词符号：∀和∃。

lambda符号：λ

R型的符号系统以及将不同实体（个人和功能）变量分配到变量的分配如下：

我是个人的R型。

其中τ1，…，τm是任何r型，则（τ1，…，τm）/n是n级n级命题函数的r型；这是n级n级命题函数的r型，该命题函数分别具有R型τ1，…，τm的参数。

实体的顺序定义如下：

个人（r-type）的顺序为0

r型（τ1，…，τm）/n的函数的顺序是n+n，其中n是参数最大的or grongimentsτ1…，τm

此语言中没有谓词或单个名称。有多复杂的命题函数术语与公式（通常是绑定变量和自由变量的概念）一起定义：

令表达式ϕτ是类型τ的命题函数范围的变量。我们将Xτ读取为R型τ变量范围的元素变量。仅使用控制变量的初始量词来指示下标τ。

然后，我们可以定义形成良好的公式（WFF）和定量逻辑术语，如下所示：

变量（对于个人和命题函数）是术语。

如果ϕ

是R型（τ1…，τn）/k和Xi的N位置命题函数变量（0≤i≤n）分别是R-Typesτ1…，τn的术语，然后ϕ（x1，… xn）是一个WFF。

（变量xn称为“参数”变量。它们将包括r型的单个变量，但也称为较高类型的变量。变量ϕ可以作为ϕ（x）中的谓词出现，在ψ中作为参数（ϕ）），并且不能以WFF发生在类型中。）

如果x是类型τ的变量，而a是wff，则λxa是r型（τ）/n的术语（其中n比A中的任何结合变量中的最高顺序高，至少高于A）中任何自由变量的顺序。

如果x是τ型的单个变量，而a是x x频率的wff，则∀xa和∃xa为wff。

如果A和B是WFF，则〜A，A＆B，A∨B，A⊃B和A²B也是如此。

连接剂的常规优先顺序排序将允许更少的标点符号指示连接器的范围，因此A∨B⊃C被读为（A∨B）⊃C

公式表达属性或集合的高阶逻辑或集合理论系统的理解原理。在类型的理论中，这允许看起来像“无限制”的理解原理，因为对于每个具有自由变量的表达式A，x，有一个属性，属性完全由满足公式的实体满足。正是对类型的限制阻止了悖论，因为有问题的公式“不是自身的成员”，“不适用于自身”被类型系统排除在外。然后，理解原则的特征是一组无限的句子：

理解：

∃ϕ∀Xτ [ϕ（x）= a]，（A）

其中ϕ是r型（τ）/n和x的功能变量是r型τ的变量，而a的界变量均为序列的均小于ϕ顺序，而a的自由变量均为订单不大于ϕ的顺序。

正如这里所介绍的，教会看似直接的理解原则，其对变量类型的限制是为了扭曲使用的混乱和提及他认为感染PM的语言的明显表现：

…在符号和对象之间有一个特征性的给予：命题函数从抽象表达式中获取顺序，变量的顺序是值的顺序。通过允许“顺序”一词的双重含义，将命令立即归因于符号，并同时将其归因于它们的对象，从而缓解了博览会。（Quine 1963：245）

犯罪来自归因订单（R-Types）根据定义它们的变量，但也是函数本身的命题函数，就像仅仅是绑定的高阶变量的值。作为回应，类型理论的捍卫者必须说，命题函数概念的任何语义内向介绍都必须归因于这些函数的这些函数，这些区别在其中某些语言表达式中标记了，尤其是其定义所涉及的变量。

在PM到∗ 12中的下面是在分支类型理论中的定量逻辑的介绍。并发症是由于作者的决定（肯定是关于罗素的坚持）添加了一个新的部分∗ 9，该部分允许早期的命题逻辑理论直接纳入当代逻辑中所做的量化逻辑。这表明了早期理论确实是命题理论的程度，而不是对量化逻辑片段的描述，允许包含自由变量的开放句子。

PM中的量化逻辑

∗ 10段制定了当前制定的定量逻辑，即假定命题逻辑的公理和定理可以保留所有公式，而不仅仅是∗ 1-5的基本命题。罗素似乎对这一假设感到关注，因此引入了一个新的部分，以从基本命题中得出量化理论的原理。虽然PM学者感兴趣，但升级是相同的，用于以后在PM中使用量化逻辑。

同样，对PM中的逻辑研究项目区分开的读者可以跳过本节，尽管可以将注意力转移到所使用的高阶逻辑系统上，如此处，基于损坏的类型理论。

一个以上变量的函数扩展是显而易见的，在以下，某些应用程序将采用此扩展。

存在的量词和其他熟悉的连接⊃⊃，＆和程度定义为命题逻辑。（现在以下是一个任意（可能是量化的）公式）：

∃xa= df〜x〜a

∗ 10的公理：所有命题定理的实例均匀地取代了命题变量。

PM的系统使用通用概括和公理的规则，等于实例化规则。

⊢∀xτa⊃a'

其中一个像一个'，除了在A中代替Xτ的type y ty y。

（注意：对于较高类型的逻辑而言，合适的“替代”的概念比对一阶逻辑的逻辑要复杂得多。这部分是因为应用于命题函数的lambda表达式参数，例如[λx （x）]（ν）其中ν可能是一个复杂的术语，涉及其他lambda表达式中的变量和量词。）

如果⊢a，则⊢∀xτa'

其中a'就像是一个，除了在A中代替X型的术语y

控制量词从公式内部移动到管理整个公式的其他量词原理，所谓的“量词遏制原理”也被得出作为∗ 10中的定理。以后数字中经常使用的一些是：

∀xτ（a∨ϕ（x））⊃（a∨∀xτx（x））

∀Xτ[a⊃ϕ（x）]◦[a⊃∀xτx（x）]

PM中的∗ 10引言始于：

该数字的命题的主要目的[∗ 10]是扩展到形式的含义（即，以前证明了对物质含义所证明的命题的命题（ϕx⊃ψx）的命题，即用于实质性含义的命题，即用于命题。表格（符号更新）

换句话说，本节以当代逻辑熟悉的方式介绍了量化的逻辑。前面部分的命题逻辑仅被解释为仅基本，一阶命题的真实逻辑，并通过显示如何以“ prenex form”表示句子来扩展到更高阶段的逻辑，即在量词之前处于量化位置的量化器，免费矩阵。这些定理现在是“量化限制”定理的熟悉的：

∀xτ[ϕ（x）⊃a] = [∃xτx（x）]⊃a

可降低的公理

但是，鉴于PM的系统包含了类型的分支理论，因此，在 * 20之后的工作中剩下的工作的讨论需要进一步的公理，可降低的公理，以便允许简单的理论类型的理论类。考虑来自实数类别的最小上限（L.U.B.）的实数理论的基本概念。考虑正方形小于或等于2的所有实数的类别，即{xx22≤2}。当且仅当∃R∀S（s∈S⊃S≤R）时，一类REALS S具有上限。如果实数的一个有界的类具有某些R型τ的成员，则最小的上限必须属于R型τ/1，因为定义中的量词范围超过S。 s的定义是“不可思议的”，因为它涉及量化其旨在归属的整体。然而，实数理论要求阶级的最小上限是该类别的成员

√

，是S的元素。

在PM系统中，该解决方案是采用公理，该公理保证以其他类别定义的任何类别都是相同的类型。因此，允许对类的不可思议的定义，并且不引入更高类型的类别。这是通过在 * 12中采用可降低性的公理来实现的，该公理可以保证，对于任何功能ϕ，都会有一个共同扩展的谓语函数。更确切地说，可降低性的公理断言，对于任意级别的任何数量参数的任何函数，都有1级的等效函数，即。同一实体的一个真实：

可降低的公理，

∀ψ∃ϕ∀xτ [ψ（x）◦dartive！（x）]

ϕ！是谓语功能。

感叹号“！”在PM中用于指示谓语功能。在教堂的R型系统中，这表明了变量X为r型τ，并且ϕ为r型（τ）/1和ψ是R型（τ）/n的。换句话说，ϕ是与其参数兼容的最低顺序。谓词功能的概念是从引言中获取的。在∗ 12中，怀特海和罗素提出了一个更狭窄的谓语功能概念，ϕ必须是矩阵，或在其定义中完全没有量化器出现的定义中。请参阅Mathematica的符号中的随附条目。

从Chwistek（Chwistek，1912年）开始，并继续通过Copi（1950），降低性的公理在技术上是错误的，导致不一致或至少在PM系统中冗余。拉姆西（Ramsey，1931）早期认为，所谓的矛盾实际上表明某些谓词功能是不确定的。教堂（Church，1976）确认了这项评估，并使用了我们在这里描述的R型的介绍，以严格地显示PM系统中哪些功能可定义的局限性。

该公理与PM中的类理论的相互作用将在下面与类别上的∗ 20有关。

PM中的身份

当代逻辑遵循弗赖格（Frege）在处理身份，以=表示为逻辑概念。在PM中，身份的概念是在Leibniz之后定义的，因为不可分性的对象是相同的。也就是说，∀ϕ（ϕx。ϕy）⊃x= y。但是，由于可降低性的公理可以保证，如果在x和y上存在任何类型的函数，它们在某些谓词功能上会有所不同，因此PM使用以下身份定义：

xτ=yτ= df∀ϕ [ϕ！（x）⊃ϕ！（y）]，

ϕ！谓语功能。

在逻辑的当代系统中，公理或推理规则允许如果x = y，则对于任何谓词ϕ，ϕx = ϕy。换句话说，相同的不可分割。只有在不可能具有共享所有谓词属性的实体x和y时，给定的身份定义就足够了，不能通过高阶的某些属性来区分。降低性的公理保证了任何给定高阶的X和Y共享属性将需要共享谓语属性，因此，通过身份的定义，x = y。

在由罗素（Russell）撰写的第二版的附录B中，有一个技术讨论，即放弃降低公理的后果。提出了一个错误的证据，以表明可以在不使用修改的类型理论中使用还原的公理而得出诱导原理（请参阅Linsky 2011）。但是，正如罗素指出的那样，不可能使用“ Dedekindian”类别的理性数字来定义实数，而不必假设可降低的公理。（在上面讨论的最小上限的每个类别具有上限的真实数字的论点是无法证明的。）结果，罗素说“分析将崩溃”。然而，在所有讨论中，罗素并未表明什么将取代∗ 13中身份的定义，这在至关重要的是取决于降低性的公理。

确定的描述

罗素（Russell）在“ on on Enating”（1905年）中介绍了他确定的描述理论，这可能是PM逻辑中最广泛讨论的应用。但是，在PM中，确定降低理论的作用因其在 * 30中定义所谓的“描述函数”的用途而筋疲力尽。在当代逻辑中，这是表明如何使用“功能关系”的概念来证明函数符号仅具有n位谓词的语言的合理性。

明确描述理论对于这一论证至关重要。＊30 之后，PM 中仅出现少数描述运算符。罗素对哲学逻辑和语言哲学最有价值的贡献也许只是一种用于技术目的（尽管在程序上很重要）的装置。然而，技术目的确实表明了弗雷格和罗素的逻辑主义之间的重要区别。弗雷格的逻辑基于概念的概念，概念是从对象到真值的函数的情况。罗素的逻辑可以被视为进一步将函数的数学概念简化为其命题函数的逻辑概念。一些坚定地遵循数理逻辑传统的逻辑学家并不认为这是一种进步，但它确实表明了弗雷格和罗素的方法之间的显着差异（参见 Linsky 2009）。

明确的描述是“ψ”形式的表达式，它出现在显然作为函数参数的项的位置。罗素在《论指称》（On Denoting，1905）中的例子是“现任法国国王”这一表达，它显然是作为“现任法国国王是秃头”句子中函数“is bald”的一个参数出现的。一般来说，表达式“ψ 是 ψ”被定义为等价于表达式“恰好有一个 ψ 并且它是 ψ”：

明确描述的上下文定义

ψ(ıxψ(x))=df∃x∀y{[ψ(y)eqy=x]&ψ(x)}

使用表达式 =df 使得两个侧面表达式看起来都是术语，掩盖了这样一个事实：在“上下文定义”的情况下，每一侧出现的是公式，右侧替换左侧，因此“消除”明确的描述。

为了区分“现任法国国王不是秃头”这句话的两种解读，根据描述的“范围”（相对于否定而言），PM 在公式中的描述将被上面的定义删除。将“现任法国国王”表示为 ıxK(x)，将“x 秃头”表示为 B(x)，这两个读数将表示为：

[ixK(x)]∼B(ixK(x)),

去掉定义的描述，就变成：

∃x∀y{[K(x)≡y=x]&∼B(x)}

在该读物中，恰好有一位现任法国国王，而且他不是秃头，并且：

∼[ıxK(x)]B(ıxK(x)),

去掉定义的描述，就变成：

∼(∃x∀y{[K(x)eqy=x]&B(x)})

根据后者的解读，事实并非只有一位在场的法国国王，而且他是秃头的。如果法国没有一位现任国王，这可能是真的，而事实正是如此，因为法国没有国王。在这种情况下，描述是不“正确的”，用PM中的特殊符号E!来表示，定义为：

正确的描述

E!(ıxphi(x))=df∃x∀y[phi(y)≡y=x]

在定理 *14·3 中，我们发现了在非谓语函数的命题 p 和 q 上出现的绑定变量的罕见情况之一。（假设 p 和 q 属于某种 r 型 ()/n，f 是这些命题的函数，对于 m，n＞1，f 可能具有 r 型 (()/n)/m）。在这里，我们还看到在主语位置出现了公式 ıxphi(x)，将命题表达为此类函数的参数。这些表达式不会出现在 PM 后面的定理中，只是偶尔出现在某些章节的介绍性材料中。定理 *14·3 断言，在真值函数上下文中，（正确的）描述的范围不会影响它出现的命题的真值：

{∀p∀q[(p=q)⊃(Φ(p)=Φ(q))]&E!(ıxΦ(x))}⊃

{Φ[ıxphi(x)]χ(ıxphi(x))=[ıxphi(x)]Φ(χ(ıxphi(x)))}

这个定理是 PM 的哲学基础及其内涵命题函数被抛在后面的另一个指示，因为 PM 的数学内容是在下一节中通过类的定义引入的。

“无阶级”阶级理论

PM 中的集合（类）理论基于许多上下文定义，在某些方面类似于描述理论。在下文中，我们偶尔会使用 PM 概念的表达“类”，以提醒读者这与集合的公理论（例如 ZF）之间的差异，而不是表明这些是某种意义上的“真类”用于 ZF 或 VGB 类理论，表示未定义集合的表达式，例如 {x∣x=x}，这对于宇宙 V 来说是正确的，因此太大而不能成为集合。

基本定义从它们出现的上下文中消除了类术语，就像确定描述理论消除了出现在术语位置的描述一样：

类的上下文定义

ψ{x∣ψ(x)}=df∃χ[

∀x[χ!(x)≡ψ(x)]

&phi(λxχ(x))

]

对于 χ!预测函数

换句话说，当且仅当存在某个与 ψ 同延的谓词属性 χ 时，似乎将属性 ψ 归属于类 {x∣ψ(x)} 的表达式才为真，该谓词属性 χ 与 ψ 共延，而 ψ 确实具有属性 ψ 。

隶属度(ε)的概念是ZF的一个非逻辑关系符号，在PM系统中定义为：

ε 的定义

x ∈ ψ = df ψ !(x)

对于 phi 来说，是一个预测函数。

这种所谓的“无类”类理论的主要作用是展示类型论如何解决困扰《数学原理》中朴素类理论的悖论，罗素认为这些悖论困扰着《数学原理》中朴素的类理论。弗雷格的理论。在这些基础部分之后，出现在 PM 中的所有单个变量都应被视为范围在类别上（并且，如下文将解释的，关系符号将被解释为范围在扩展中的关系上）。这些悖论以不同的形式出现，正如《PM导言》中所见，但罗素在给弗雷格的最初的信中出现的“所有不属于它们自己的类的类”悖论的解决将被用作我们的悖论。这个直接导致矛盾的类在现代表示法中会出现为{x∣x∉x}。当人们问这个类是否是它自己的成员时，就会出现悖论。它是其自身的成员的表达式 {x∣x∉x}ε{x∣x∉x} 将有两个类表达式被第一个定义消除，然后关系符号 ε 的多次使用也将是最终会有一个表达式∼(ψτεψτ)，它是不合法的，因为这对于任何τ来说都不是良式的。函数的阶数必须高于其参数的阶数。

这两个定义的作用是证明类属于简单的类型理论，并且在受到这些类型限制的同时，所有涉及类表达式的推论都遵守上面*10中所述的经典量化理论。存在量化和普遍量化的定义很简单。请注意，Russell 使用希腊字母（α、β、…）来划分类别：

“所有类别”的量化定义

∀αχ(α)=df∀Φχ({x∣Φ!(x)})

对于 ψ!预测函数。

“某些类别”的量化定义

∃αχ(α)=df∃phiχ{x∣phi!(x)}

对于 ψ!预测函数。

ε 的定义不加改变地扩展到类：

函数中类的成员资格的定义

αεψ=dfψ!(α)

为了ψ！预测函数。

（本章完）