数学原理（二）

不证自明只不过是接受公理的一部分原因，而且从来都不是不可或缺的。接受一个公理的原因，就像接受任何其他命题一样，在很大程度上总是归纳性的，即可以从该公理推导出许多几乎不容置疑的命题，并且不知道有什么同样合理的方式可以使这些命题为真，如果公理都是错误的，并且不能从中推断出任何可能错误的东西。如果这个公理表面上是不言而喻的，那仅意味着它在实践中几乎是不容置疑的。因为事情被认为是不言而喻的，但事实证明是错误的。如果公理本身几乎是不容置疑的，那么这只是增加了从其后果几乎不容置疑的事实中得出的归纳证据：它并没有提供一种完全不同的新证据。永远不可能做到绝对正确，因此每一条公理及其所有后果都应该始终带有一些怀疑的成分。在形式逻辑中，怀疑的因素比大多数科学中的要少，但它并非不存在，这一点可以从以下事实中看出：悖论是由以前不知道需要限制的前提得出的。 （1910：62 [1925：59]）

怀特海和罗素也对这本书在许多数学家中的冷淡反应感到失望。正如罗素所写，

怀特海和我都对仅从哲学角度看待《数学原理》感到失望。人们对关于矛盾的说法以及普通数学是否是从纯粹的逻辑前提有效推导出来的问题感兴趣，但他们对工作过程中开发的数学技术不感兴趣……即使是那些正在研究的人完全相同的受试者认为不值得去了解《数学原理》对他们的看法。我将举两个例子：《数学年鉴》在《原理》出版大约十年后出版了一篇长文，给出了我们在本书第四部分中得出的一些结果（作者不知道）。这篇文章存在一些我们已经避免的错误，但其中不包含任何我们尚未发表的有效内容。作者显然完全没有意识到他已经被预料到了。第二个例子发生在我还是赖辛巴赫在加州大学的同事时。他告诉我，他发明了数学归纳法的扩展，他称之为“超限归纳法”。我告诉他，这个问题在《原理》第三卷中已经得到了充分的阐述。一周后我见到他时，他告诉我他已经证实了这一点。 （1959：86）

尽管存在这些担忧，事实证明总理至少在三个方面具有显着的影响力。首先，它使现代数理逻辑的普及程度超出了其作者的想象。通过使用比弗雷格使用的符号更容易理解的符号，怀特海和罗素成功地以以前的作者无法实现的方式传达了现代谓词逻辑的非凡表达能力。其次，通过如此清晰地展示新逻辑的演绎能力，怀特海和罗素能够展示现代形式系统的思想有多么强大，从而开启了很快被称为元逻辑的新工作。第三，《数学原理》重申了逻辑主义与传统哲学的两个主要分支，即形而上学和认识论之间清晰而有趣的联系，从而在这两个领域发起了新的、有趣的工作。

因此，《原理》不仅引入了一系列丰富的哲学概念（包括命题函数、逻辑构造和类型论），而且还为发现重要的元理论结果（包括库尔特·哥德尔、阿朗佐·丘奇的结果）奠定了基础。 、艾伦·图灵等）。同样重要的是，它开创了哲学、数学、语言学、经济学和计算机科学等不同领域共同技术工作的传统。

今天，对于《原理》的最终哲学贡献仍然缺乏共识，一些作者认为，经过适当的修改，逻辑主义仍然是一个可行的项目。其他人则认为，该项目的哲学和技术基础仍然太薄弱或太混乱，对逻辑学家来说没有多大用处。 （有关更详细的讨论，读者应查阅Quine 1963, 1966a, 1966b；Landini 1998, 2011；Linsky 1999, 2011；Hale and Wright 2001；Burgess 2005；Hintikka 2009；and Gandon 2012。）

对于本书第二版的重要性也缺乏共识，该书于 1925 年出版（第一卷），（第二卷和第三卷是 1927 年第一版直接重印的）。尽管怀特海有机会提供建议，但修订工作是由罗素完成的。除了更正原文中的小错误外，新版本的更改还包括一个新的引言和三个新的附录。 （附录分别讨论了量化理论、数学归纳法、可归约公理以及外延性原理。）本书本身的重新设置更加紧凑，使得对第一版的页面引用变得过时。罗素一直到 1949 年才继续对 1950 年的印刷进行更正，这一年他和怀特海德的遗孀终于开始收取版税。

今天，对于某些修订的最终价值，甚至正确解释，仍然存在争议，这些修订在很大程度上是由罗素的一些最聪明的学生（包括路德维希·维特根斯坦和弗兰克·拉姆齐）的工作推动的。众所周知，附录 B 存在问题。附录旨在展示如何在不使用可还原性公理的情况下证明数学归纳法的合理性；但正如阿拉斯代尔·厄克特报道的那样，

第一个表明存在严重错误的迹象出现在哥德尔 1944 年著名的论文“罗素的数理逻辑”中。在那里，哥德尔指出罗素命题 *89·16 的证明的第 (3) 行是一个基本的逻辑错误，而关键的 *89·12 似乎也非常值得怀疑。尽管存在错误，罗素的证明是否可以挽救还有待观察，但约翰·迈希尔在 1974 年提供了一个模型理论证明，提供了否定结论的有力证据，证明在没有可还原性公理的分支类型理论。 （厄克特 2012）

Linsky (2011) 提供了对附录本身和以下建议的讨论：到 1925 年，罗素可能已经脱离了快速变化的数理逻辑领域的最新发展。他还谈到了一些评论员提出的建议，即怀特黑德可能反对修订，或者至少对它们漠不关心，得出的结论是，这两种指控都可能没有基础。 （怀特海（Whitehead）自己的评论，于1926年发表，对这个问题几乎没有阐明。）

3。

Mathematica Princionia最初出现三卷。

标题页，第一版，Mathematica，第1卷，请参见下面的链接。

第一版Principia Mathematica的标题页，第I卷（1910）

第一版principia Mathematica至 *56的封面，请参见下面的链接。

第一个平装本的封面，《 Mathematica》至 * 56（1962）的封面。

这三卷一起分为六个部分。随后的评论将按顺序遍历这些部分，这表明在早期的部分中，读者可以跳过，研究PM系统中数学开发的独特特征，与弗雷格和现代设置理论相反。

3.1卷

第一卷分为三个部分的冗长介绍，其次是两个主要部分（分为A – e）和II（也分为A – E节）：

思想和符号的初步解释

逻辑类型的理论

不完整的符号

第一部分：数学逻辑

A.推论理论∗ 1- ∗ 5

B.表观变量的理论 * 9– ∗ 14

C.类和关系 * 20– * 25

D.关系的逻辑 * 30– * 38

E.类和类的总和 * 40– * 43

第二部分：prolegomena至红衣主教算术

A.单位类和夫妻∗ 50– * 56

B.子类，子关系和相对类型 * 60– ∗ 65

C.一个人，多个和一对一关系∗ 70 – ∗ 74

D.选择 * 80– * 88

E.归纳关系 * 90– * 97

3.2卷II

第二卷从有关符号约定的初步部分开始，然后是第三部分（分为A – C节），IV（分为A – d节），第五部分的前半部分（A – C）的前半部分：

象征性惯例的预言陈述

第三部分：基本算术

A.基数的定义和逻辑属性∗ 100– * 106

B.添加，乘法和凸起 * 110– * 117

C.有限和无限 * 118– * 126

第四部分：关系算术

A.序数相似性和关系数 * 150– ∗ 155

B.添加关系和两个关系的产物 * 160– ∗ 166

C.第一个差异的原理以及关系的乘法和指示 * 170 – ∗ 177

D.关系数∗ 180 – ∗ 186的算术

第五部分：系列

A.系列∗ 200 – ∗ 208的一般理论

B.关于部分，段，拉伸和衍生物∗ 210 – ∗ 217

C.关于收敛和函数的限制 * 230– ∗ 234

3.3卷III

第三卷包含第五部分（D – F节）的其余部分，并以第VI部分结论（分为A – d节）：

第五部分：系列（续）

D.订购良好的系列 * 250– * 259

E.有限和无限序列与序数 * 260– ∗ 265

F.紧凑型系列，理性系列和连续系列∗ 270 – * 276

第六部分：数量

A.数字的概括 * 300– * 314

B.矢量 - 家庭∗ 330– * 337

C.测量 * 350– * 359

D.循环族 * 370– * 375

开始了第四卷，但从未完成（Russell 1959：99）。

总体而言，这三卷不仅代表了关于现代逻辑的重大飞跃，而且还富含20世纪初的数学发展。举一个例子，怀特海和罗素是第一个将系列定义为具有不对称，及时和连接的特性的一组术语的人（1912 [1927：497]）。为了给出另一个，主要是，我们发现了Cantor的替代序言的首次详细开发，作者称之为“关系编号”。由此产生的“关系算术”反过来又导致了我们对结构一般概念的理解（1912：第四部分）。

作为T.S.艾略特（Eliot）指出，这本书在二十世纪初期也促进了在使用普通语言方面的清晰度：

逻辑学家的作品为使英语做出了多少，可以清楚地思考任何主题的语言。 Mathematica主要对我们的语言的贡献可能比对数学的贡献更大。 （1927：291）

这本书也不是没有一些自嘲的幽默。正如布莱克威尔（Blackwell）指出的那样（2011：158，160），作者在该项目的许多逻辑派生的长度和乏味的情况下两次poke。在第I卷中，作者解释说，人们无法列出ϕ的所有非强度功能！

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“因为生命太短”（1910 [1925：73]）；在第3卷中，在超过1800页的密集象征意义之后，作者结束了第四部分，第d节，关于循环系统，评论，

在本节中，我们提供了证据，特别是在纯粹的算术引理的情况下，其证明完全是简单的，但如果详细写出，则乏味。 （1913 [1927：461]）

在罗素的其他著作中，发现幽默比罗素多于罗素而不是怀特海的证据。拉塞尔在讨论选择的公理时的评论，即给鉴于一组集合的效果，可以“像大选一样从每个人那里任意从每个人那里挑选一个代表”（1959：92），也许是一个很好的例子。

今天的读者（即，在20世纪或更高版本的最后几十年中学习逻辑的人）将发现这本书的符号有些过时。建议希望协助的读者咨询Mathematica Principia Mathematica中的符号。即便如此，这本书仍然是20世纪的伟大科学文件之一。

4。卷

4.1第一部分：数学逻辑

4.1.1 PM中的命题逻辑

PM的命题逻辑系统可以看作是由语言和推理规则组成的句子逻辑系统。 PM包含符号逻辑的首次介绍，该逻辑涉及命题逻辑作为单独的理论。弗雷格（Frege）从一开始就涉及量化，而Peano的系统可以解释为关于命题和阶级，并为每种解释提供了一些不同的原则。对于现代读者而言，PM的命题逻辑是不寻常的，其起源与罗素早期有关逻辑的工作有关。一个是，命题逻辑的公理不仅使用逻辑的原始连接剂，即〜和∨，而是仅使用∨∨，而⊃则是定义的结缔组织。

在本节中，我们将使用A，B等作为公式的元语言变量。根据原子命题构建的公式被认为表达基本命题，以将其与涉及量化词和命题功能的命题区分开。该系统是公子组织的，公理，称为“原始命题”或“ pp”，具有材料含义的特征“⊃”，该材料含义是用〜和∨定义的。连接剂＆和◦也定义了，但在公理的语句中不需要。这种特殊性起源于1903年从罗素（Russell）看来

命题演算的特征是以下事实：其所有命题都有假设，因此主张了物质含义。 （1903：13）

POM的所有“原始命题”均以物质的含义表示为原始结缔组织。连接剂＆，∨和◦定义为预期。用〜表示的否定概念是使用对命题的定量概念来定义的（〜A意味着所有命题）。到1906年，罗素已决定将〜用作原始结缔组织，并且不再使用命题量词，可以定义⊃，而原始命题仍然用⊃和∨表示。 PM中的命题逻辑系统是原始选择变化的演变的结果，反映在第一章中证明的定理的选择。虽然大多数人之所以证明是因为它们将在PM后面使用，但有些仅作为早期系统的悬念。特别是PM包含几个定理，这些定理是早期系统中的原始命题，尽管未在以下内容中使用。实际上，POM的一个原始命题，称为“ Peirce的定律（（（（P⊃Q）⊃P）⊃P），似乎已经在PM的早期版本AS ∗ 2·7中证明了重新分配到另一个定理）仅是为了节省空间（请参阅Linsky 2016）。

使用熟悉的真实表和公理系统完整性的命题逻辑语义的概念，直到Bernays（1926）出版PM后不久才开发。结果，没有尝试找到将完成的公理的简短列表，因此在工作的后期阶段，没有简单的吸引人对“重言式后果”的吸引力，这可以通过语义考虑很容易证明是合理的。

PM中命题逻辑的语言由一个词汇组成，该词汇包括：

原子命题变量：P，Q，R，P1，…（没有命题常数。）

句子连接剂。原始：〜和∨。定义：⊃，＆，。

标点：（），[，]，{，}，等。

形成良好的公式（WFF）定义如下：

原子命题变量是WFF。

如果a和b是wff，那么〜a和a∨b也是如此

定义了其他熟悉的连接剂：

定义

a⊃b= df〜a∨b

a＆b = df〜（〜A∨B）

（a²b= df（a⊃b）＆（b⊃a）

公理

（P∨P）⊃P

Q⊃（P∨Q）

（p∨q）⊃（q∨p）

[p∨（q∨r）]⊃[q∨（p∨r）]

（Q⊃R）⊃[（P∨Q）⊃（P∨R）]

1926年，保罗·伯恩（Paul Bernays）表明，这可以减少一个，因为可以从其他方面证明公理4（∗ 1·5）。

推论规则：

Modus Ponens（∗ 1·1）：源自⊢a⊃b和⊢a，得出⊢B

替换：源自⊢a'，其中A'是将某些公式B统一代替A中的任何原子命题变量的结果。

PM中没有明确的替代规则的陈述。 PM的命题逻辑中的自由变量可以解释为示意性字母，因此系统将需要替换公式的规则。在本文中，它们应被解释为对命题的实际变量，在这种情况下，将通过对所有命题的概括来实例化。引言中的公告表明，在以下内容中没有必要命题，因此将避免提出对变量的示意性解释。但是，我们遵循本文中的变量解释，但是，部分是为了允许我们的符号遵循PM，PS和Q的符号而不是原理图字母A，B等的新词汇。将字母作为变量的解释也将有助于在下面的PM中呈现量化逻辑。

作为逻辑公理公式的标准，pm中句子逻辑公式的推导将由六个公理之一的实例组成，是前一行中替换的结果，或将Modus Ponens应用于两个上线。 PM的定理将按顺序证明，允许将（实例）在以后的派生中用作线路。

从某种意义上说，最终的系统是完整的，因为所有和唯一的真理有效的句子都是在系统中衍生的。尽管该系统似乎存在现代标准（包括公理之一的冗余），但在该系统中似乎存在缺陷，但在适用推理规则的表达式中使用了定义的符号，以及在公理中使用定义的符号。 ∗ 2至∗ 5中的派生是缩写的，但在每一行的侧面都有指示，证明其合理性以及如何撤消任何缩写。定理在以后的数字中主要根据需要证明，但有些是公理，或者是早期版本的命题逻辑的重要定理，可以追溯到数学原理。但是，除了对其实际选择的历史兴趣之外，PM的系统还可以根据任何标准的命题逻辑系统视为。

4.1.2类型的“分支”理论

PM的初始章节中的类型理论被打破，因此在给定类型，命题或个人功能以及个人功能的功能中，将会有更细微的细分。在PM引言中，PM的逻辑应用于所谓的“认识论”悖论是必需的。其中最突出的是（命题）骗子悖论是由以下命题所产生的，即某种命题（例如，倍苯二甲酸酯主张）是错误的，当这种命题是这种命题时，这是epimenides所主张的唯一命题。分支的类型理论中的解决方案要求对某种第一级命题的命题，例如它们都是错误的，本身将是下一个顺序。

集合理论的悖论是通过将关于集合的主张降低到有关命题函数的主张来解决的。一种类型的函数不能应用于同一类型的函数的限制足以阻止悖论。因此，被称为“简单类型的简单理论”对个人，个体的功能和此类功能的功能之间的区别足以将数学减少为类，而对逻辑。 Chwistek（1921）和Ramsey（1931）提出了解决数学或设置理论悖论不需要类型理论的想法，并导致后来引入了“ Ramifiend of类型”和“简单的理论”一词。类型理论”将在本条目中使用。

在PM术语引入的引入中，用于两种变量可能出现在公式中的方式。 “表观变量”是界变量，而“真实变量”是自由变量。 PM中高阶变量的正确解释是PM学者之间的当代争议。 Landini（1998）和Linsky（1999）提供了两个竞争对手帐户。 Landini认为，高阶变量应解释为示意性字母，可被公式替代，并且要“替代”解释界变量。 PM中类型理论的逻辑可以看作是在 * 10中开发的标准一阶逻辑理论的扩展。那么，可以解释取决于类型理论的PM的更独特的概念。这些包括可降低的公理，在∗ 12中，这是类型理论的所谓分配，分为单一类型的参数的谓词序列。降低性的公理断言，对于任何顺序的任意函数，都有等效的谓词函数，即完全相同的参数范围。这将在下面解释。在∗ 13中定义了身份，并用莱布尼兹（Leibniz）对与类型理论一致的不明智的身份的概念进行了版本。在PM，X和Y中，当X和Y共享相同属性时，X和Y的观念是相同的，并且仅当它们共享相同的谓词功能时，它们在PM，X和Y中是相同的。然后，PM使用了如此定义的身份概念，提出了罗素的确定描述理论，正如《 on on Eneoting》（1905年）中所定义的那样。本文将使用Alonzo Church 1976的“ R-types”符号，该符号在此百科全书中随附的文章“ Mathematica的符号”中进行了解释。

尽管PM并未从整个类型的整体损坏理论中挑选出一阶逻辑，但页面上的实际演绎设备看起来完全像是一阶逻辑系统，并且可以用额外的设备表达高级逻辑的复杂性类型索引。在接下来的内容中，我们将在教堂（1976）中使用R-types系统用于类型索引，并将Lambda操作员用于命题功能。