数学原理（一）

1. 概述

2.《数学原理》的历史和意义

2.1 数学原理的历史

2.2 数学原理的意义

三、《数学原理》的内容

3.1 第一卷

3.2 第二卷

3.3 第三卷

4.第一卷

4.1 第一部分：数理逻辑

4.1.1 PM中的命题逻辑

4.1.2 类型的“分支”理论

4.2 第二部分：基数算术序言

5.第二卷

5.1 符号约定的序言

5.2 第三部分：基数算术

5.3 第四部分：关系算术

5.4 第五部分：系列

6. 第三卷

6.1 第五部分：系列（续）

6.2 第六部分：数量

6.2.1 测量

6.2.2 PM结束时没有“结论”

参考书目

初级文献

二级文献

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1. 概述

《数学原理》是阿尔弗雷德·诺斯·怀特海 (Alfred North Whitehead) 和伯特兰·罗素 (Bertrand Russell) 撰写的形式逻辑领域的里程碑式著作，首次于 1910 年、1912 年和 1913 年出版三卷。第二版于 1925 年（第一卷）和 1927 年（第二卷和第三卷）出版。 1962 年，出版了一本简装本（仅包含前 56 章）平装本。

这本书是为了捍卫逻辑主义（数学在某种意义上可以简化为逻辑的论点）而写的，它在发展和普及现代数理逻辑方面发挥了重要作用。它也成为整个二十世纪数学基础研究的主要推动力。与亚里士多德的《欧加农》和戈特洛布·弗雷格的《算术基本定律》一样，它仍然是有史以来最有影响力的逻辑书籍之一。

本条目包括 PM 中逻辑主义项目开发中使用的主要定义和定理的介绍。该条目指出了贯穿整部作品的路径，以更现代的符号呈现了《数学原理》（PM）中证明的基本结果，以便于将怀特海和罗素的系统与另一位最著名的弗雷格的系统进行比较数学基础中逻辑主义的倡导者。正如罗素在他 1903 年出版的《数学原理》一书的序言中所描述的那样，该程序的目的是用逻辑概念来定义数学概念，并仅从逻辑原理中导出如此定义的数学原理。 :

目前的工作有两个主要目标。其中之一是证明所有纯数学都只涉及用极少数基本概念定义的概念，并且它的所有命题都可以从极少数基本逻辑原理中推导出来，这一点在第二部分至第七部分中进行了证明本书的第一部分，并将在第二卷中通过严格的符号推理来建立……本书的另一个目标，即第一部分，是对数学认为无法定义的基本概念的解释。这是一个纯粹的哲学任务…… （1903：十五）

尽管弗雷格的系统受到罗素悖论的影响，但随后对其系统的检验表明，算术的发展有多少可能独立于系统的悖论元素。特别是，最近对弗雷格系统的兴趣导致了在弗雷格原始系统的一致片段中尽可能分离所谓的“弗雷格定理”，并从中导出算术的目标，如皮亚诺假设中形式化的那样。请参阅条目《弗雷格定理和算术基础》，它以当代符号形式呈现了弗雷格系统的这一方面。

罗素在 1902 年 6 月发现弗雷格在《算术基础》和《算术基本定律》中的类似著作之前，撰写了《数学原理》(PoM)，其中介绍了他的逻辑主义纲领的基本要素。正如他在序言中所描述的那样，罗素打算在 PoM 的“第二卷”中正式介绍了他的叙述。 1903 年，他邀请阿尔弗雷德·诺斯·怀特海 (Alfred North Whitehead) 与他一起撰写第二卷，但很快这个项目就变成了一部新书《数学原理》(Principia Mathematica)，这是一部三卷本的巨著，直到 1910 年才出版（第一卷）， 1912 年（第二卷）和 1913 年（第三卷）。

PM系统与弗雷格的系统有很大不同，很大程度上是因为类型理论的引入，其目的是避免以原则方式影响弗雷格的悖论。与弗雷格系统的第二个重要区别是，PM 基于各种参数的关系逻辑，而弗雷格的系统基于函数和对象的概念，甚至他独特的逻辑概念也被视为函数（来自多个参数）。对象到真值 T 和 F，它们也是弗雷格系统中的对象。）因此，可以说 PM 是基于关系的分支类型理论，与弗雷格的二阶谓词演算相反概念。最重要的步骤是根据高阶函数定义集合表达式。因此，矛盾的“罗素集”，即所有不属于其自身的集合的集合，{x∣x∉x}，是由涉及违反类型理论的函数的表达式定义的。违规类的表达式在类型理论的基础上被排除，就像它看似无害的补集一样，即所有属于其自身成员的集合的集合，{x∣x∈x}。在当代集合论中，{x∣x∉x}是集合的宇宙，它本身不是集合​​，并且因为没有集合是其自身的元素，所以{x∣x∈x}只是空集。这种方法的额外成本是，虽然对于弗雷格来说，集合是最低类型的对象，但在简单类型理论的 PM 理论中会有集合，它区分个体和个体集合以及个体集合的集合等。即使要在简单理论中导出集合的层次结构，也需要可约性公理来保证更复杂的“命令式”定义挑选出相同简单类型的集合。因此，实数闭区间的“最小上限”将识别分支理论中高阶集合的成员。这个最小上限将是相同的简单类型，需要可简化公理。采用类型理论来避免悖论的成本延伸到构造自然数的困难。虽然罗素在许多重要细节上遵循弗雷格，特别是使用弗雷格的后继关系的祖先概念来定义自然数，但结构的其他部分却有很大不同。弗雷格能够通过使用前驱数的集合来定义一个数的后继数。数字2是包含0和1的集合，因此它有两个成员。然而，它们在简单类型的层次结构中属于不同的类型，因此整个自然数集不能在简单类型理论中定义。由于从 0 到 1、到 2 等的每一步都会将简单类型从 0 提升到 1 到 2，因此不会有如此定义的所有自然数的简单类型。相反，PM 采用无穷大公理，确保存在无限数量的个体，允许为每种类型构建高于 3 左右下限的自然数（因为数字将是等数个体的集合……） 。

随着对类型分支理论的转向，以及可归约性和无穷大的额外公理，PM 有可能定义弗雷格自然数构造的一个版本，以便可以仅从逻辑来证明“皮亚诺公理” 。这需要第 II 卷的第 120 节。至此，“弗雷格定理”的替代方案已经完成，因为我们看到了自然数的一致发展，它基于具有许多附加公理的高阶逻辑理论。哲学家们很快追随路德维希·维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein，1922）的脚步，对这些附加公理（可还原性公理和无穷大公理）真正是逻辑真理的观点提出质疑，并因此否认将算术还原为逻辑的逻辑主义计划比弗雷格的尝试更成功。 。

PM 的概述将贯穿第二卷的其余部分和第三卷，其中发展了有理数和实数理论。这里的对比并不是与弗雷格的有理数和实数理论进行对比，这些理论存在于《基本原理》中，但并不被视为自然数理论的自然延伸。相反，当代自然数和实数的解释被视为公理化的策梅洛-弗兰克尔集合论的基本扩展。当代公理集合论教科书，例如 Enderton (1977) 或 Suppes (1960)，展示了如何将有理数（和负整数）构造为自然数对，因此 3/4 被构造为具有以下运算的对加法和乘法定义为对的运算；因此 1/2+1/3=10/12=5/6。这些正有理数通过添加负整数而扩展到整个集合，然后实数被定义为有理数的戴德金割，即有理数集合的划分集合。然后为这些结构定义实数的算术，因此通过实数集，整个分析可以简化为算术。然而，PM 避免了这种分析的“算术化”，而是将理性的、真实的、实际上是一大类“关系数”定义为同构关系集的集合。罗素后来说，他很遗憾关系数理论没有被后来的集合理论家所采用，尽管这是他在 PM 中最具原创性的作品之一。因此，我们下面包含的这些后续主题的简要总结可以被视为对基于关系和属性逻辑而不是当代集合论采取不同路线来定义自然数的有趣后果的总结。数学基础。因此，这篇文章的目的是与弗雷格和当代集合论相比，解释这些结果的不寻常的呈现顺序，并说明当代研究人员没有研究的关系理论的这些方面。

2.《数学原理》的历史和意义

2.1 数学原理的历史

逻辑主义认为（部分或全部）数学可以简化为（形式）逻辑。它通常被解释为由两部分组成的论文。首先，它声称所有数学真理都可以转化为逻辑真理，或者换句话说，数学词汇构成了逻辑词汇的真子集。其次，它包括这样的主张：所有数学证明都可以重新改写为逻辑证明，或者换句话说，数学定理构成逻辑定理的真子集。正如罗素所写，逻辑学家的目标是“证明所有纯数学都源于纯逻辑前提，并且仅使用可以用逻辑术语定义的概念”（1959：74）。

逻辑主义论点似乎是由戈特弗里德·莱布尼茨 (Gottfried Leibniz) 在 17 世纪末首次提出的。后来，戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）更详细地捍卫了这个想法。在 1820 年代的批判运动中，伯纳德·博尔扎诺 (Bernard Bolzano)、尼尔斯·阿贝尔 (Niels Abel)、路易斯·柯西 (Louis Cauchy) 和卡尔·韦尔斯特拉斯 (Karl Weierstrass) 等数学家成功地消除了当时数学中存在的许多模糊性和许多矛盾。到 1800 年代中后期，威廉·汉密尔顿 (William Hamilton) 继续引入有序实数对，作为为复数提供逻辑基础的第一步，而卡尔·韦尔斯特拉斯 (Karl Weierstrass)、理查德·戴德金 (Richard Dedekind) 和乔治·康托 (Georg Cantor) 都开发了建立复数的方法。有理数中的无理数。吉塞佩·皮亚诺利用 H.G. 格拉斯曼和理查德·戴德金的工作，基于他现在著名的自然数公理，发展了有理数理论。到了弗雷格的时代，人们普遍认识到数学的大部分可以从一组相对较小的原始概念中推导出来。

即便如此，直到 1879 年弗雷格开发出必要的逻辑装置时，逻辑主义才终于在技术上变得合理。经过又五年的工作，弗雷格得出了算术逻辑化所需的定义，并在 1890 年代研究了许多基本的推导。然而，随着世纪之交诸如罗素悖论等悖论的发现，逻辑主义要想成功，似乎需要开发更多的资源。

到 1902 年，怀特海和罗素都得出了同样的结论。两人都处于准备其早期相关主题书籍第二卷的初始阶段：怀特海 1898 年的《泛代数论》和罗素 1903 年的《数学原理》。由于他们的研究有相当大的重叠，他们开始合作开发最终成为《数学原理》的书。根据协议，罗素主要致力于该项目的哲学部分，包括该书哲学丰富的引言、描述理论和无类理论（其中集合或类术语只有当放置在明确定义的上下文中时才有意义） ，即使非专业人士也可以充分阅读所有这些内容。随后两人就技术推导进行了合作。正如罗素所写，

至于数学问题，怀特海发明了大部分符号，除了从皮亚诺那里继承来的以外。我完成了大部分与系列有关的工作，怀特海德完成了其余的大部分工作。但这仅适用于初稿。每个部分都做了三遍。当我们中的一个人写出初稿时，他会将其发送给另一个人，后者通常会对其进行大量修改。之后，起草初稿的人将把它变成最终形式。三卷中几乎没有一句不是联合作品。 （1959：74）

最初，人们认为该项目可能需要一年时间才能完成。不幸的是，经过两人近十年的艰苦努力，剑桥大学出版社得出结论，出版《原理》将导致估计损失 600 磅。尽管媒体同意承担一半的金额，皇家学会也同意另外捐赠 200 英镑，但这仍然留下了 100 英镑的赤字。只有每人捐款 50 英镑，作者才能将他们的作品出版。 （怀特海、罗素和詹姆斯 1910）

出版涉及全部三卷的手工排版工作。 1911年，当怀特海发现象征主义上的困难时，第二卷的印刷被中断。结果是在第二卷的开头插入了很长的“符号约定的序言”（在罗马数字页上）。

1922 年，当鲁道夫·卡尔纳普 (Rudolf Carnap) 写信给罗素索要一本时，剑桥大学出版社的第一卷 750 册以及第二卷和第二卷各 500 册已售出。罗素的回应是向卡尔纳普发送了一份长达 35 页的手写总结，其中包括定义和工作中的一些重要定理（Linsky 2011：14-15）。由于没有可用于第二次印刷的印版，拉塞尔开始准备 1925-27 年出版的第二版。第一卷连同新的引言和三个附录被重置，第二卷也被重置。第三卷是通过照相法复制的，因此本卷中的页码与第一版相同。 《数学原理》仍在由剑桥大学出版社印刷。

与许多数学著作一样，符号逻辑领域后来的进展带来了许多改进。由大卫·希尔伯特在哥廷根发起的逻辑学院以及由 S. Leśniewski 和他最著名的学生阿尔弗雷德·塔斯基领导的波兰逻辑学院的工作开始于纠正他们所认为的 PM 中的缺陷和差距。参见 Kahle (2013) 和 Wolenski (2013)。第一卷出版后不久，Chwistek (1912) 就立即提出了批评。一系列重要的数理逻辑新表述，特别是希尔伯特和阿克曼（Hilbert and Ackermann，1928）、希尔伯特和伯奈斯（Hilbert and Bernays，1934）以及克莱恩（Kleene，1952），被连续几代逻辑学家采纳为教科书。正如 Urquhart (2013) 所指出的，这导致逻辑技术工作中对 PM 的引用数量缓慢下降，并且它逐渐被符号逻辑导论课程的其他文本取代，这些课程很快成为了主要课程大学哲学系。到了 20 世纪 50 年代，PM 不再被用作教科书，甚至在研究生课程中也是如此。从 1910 年到 1950 年，PM 的影响力是巨大的，现在它已成为逻辑学学生不熟悉的公认经典，甚至由于其被取代的符号而难以阅读。该条目与《数学原理》中的符号条目一起，旨在让这部具有里程碑意义的著作的贡献变得可用，并促进对隐藏在这三卷长卷中的一些想法的进一步研究。

2.2 数学原理的意义

事实证明，实现《原理》的主要目标是一项挑战。德国和波兰数学家和逻辑学家的最初反应是谴责弗雷格制定的形式严谨标准的下降。弗雷格本人在 1912 年写给菲利普·茹尔丹 (Philip Jourdain) 的信中表达了这一抱怨：

…我对英语的理解不够好，无法肯定地说罗素的理论（数学原理 I，54ff）与我的第一、第二等层次的函数理论一致。看起来确实如此。但我不明白这一切。我不太清楚罗素用他的名称 phi! 的意图是什么！

^

x

。我永远无法确定他说的是一个符号还是它的内容。 （弗雷格 1980：78）

这种认为“命题函数”的概念会受到使用提及混淆的说法一直持续到今天。本条目将介绍 PM 语法的现代版本，并结合 Alonzo Church（1974、1976）作品中类型符号的说明。现代类型理论允许为高阶语言提供一致的语法，许多人发现这足以满足这些反对意见。对 PM 句法表述的抱怨被重复，哥德尔 (1944) 在他对 PM 的影响力调查中表达了进一步的困难：

令人遗憾的是，这对数理逻辑的首次全面彻底的表述以及从中得出的数学推导在基础上（包含在《原理》的*1-*21中）在形式上的精确性非常缺乏，以至于它与弗雷格相比，在这方面存在相当大的倒退。最重要的是，缺少的是对形式主义语法的精确陈述。即使在证明的说服力所必需的情况下，语法考虑也被省略，特别是与“不完整符号”相关的情况。这些不是通过明确的定义引入的，而是通过描述包含它们的句子如何翻译成不包含它们的句子的规则来引入的。然而，为了确定这种翻译（或对于什么表达方式）是可能的且唯一确定的，以及推理规则（或在多大程度上）适用于新的表达方式，有必要对所有可能的表达方式进行调查表达式，而这只能通过句法考虑来提供。 （哥德尔 1944 [1951：126]）

关于定义表达式的问题，包括下面解释的类的“不完整符号”和明确的描述，仍然是解释 PM 的问题。困难在于，某些定义的表达式，例如明确描述的符号、类抽象甚至身份符号“=”，在理论语法的初始描述中没有指定，也没有被证明可以有效地用作实例公理及其明显的语法。 PM中使用的“语境定义”方法很难严格地表述，并且在当代逻辑理论中也没有使用。本文中PM的现代表述包括描述和类的符号，因此不同于Church（1976）的完全严格的表述，例如，Church避免了明确的描述和类表达，并将同一性视为未定义的原语。

尽管对演讲的严谨性有这些反应，但那些对新符号逻辑感兴趣的人，包括 David Hilbert 和他在哥廷根学校的学生，仍然仔细研究了 PM（参见 Ewald & Sieg 2013：3 和 Chwistek 1912）。主要的问题是怀特海和罗素完​​成他们的项目所需的假设类型。尽管《原理》成功地提供了有限和超限算术、集合论和初等测度论中许多主要定理的详细推导，但其中三个公理在性质上可以说是非逻辑的：无穷大公理、可约性公理和“乘法公理”或选择公理。无穷大公理实际上表明存在无限多个对象。可以说，它使得通常被认为是经验性而非逻辑性的假设。乘法公理后来被添加到策梅洛公理中作为选择公理，它断言存在某个集合，其中包含给定集合的每个成员中的一个元素。罗素反对说，如果没有指导选择的规则，这样的公理就不是逻辑原则。引入可还原性公理是为了克服类型论的不完全令人满意的效果，罗素和怀特海使用该机制来限制格式良好的表达式的概念，从而避免了罗素的悖论。尽管在技术上可行，但许多批评家得出的结论是，该公理过于临时，无法在哲学上得到证明。至少在最初，Leon Chwistek (1912) 认为这会导致矛盾。金森总结了许多读者的感受：

在对他的悖论的创伤性反应中，罗素建立了一个复杂的秩序和类型系统，结果却用他的可还原性公理（由一个狡猾的躲避者强加的可怕的对称性）将其崩溃。 （2009：411）

因此，在许多人看来，数学是否可以简化为逻辑，或者是否只能简化为集合论，这个问题仍然悬而未决。

作为回应，怀特海和罗素认为这两个公理都可以根据归纳法来辩护。正如他们在《原理》第一卷的引言中告诉我们的那样，