弗雷格定理和算术基础（二）

2.弗雷格的可拓理论：基本定律V

尽管本节对于理解弗雷格定理的证明不是必需的，但我们将其包括在内，以便读者能够了解当人们添加弗雷格的课程理论时，二阶逻辑（带有理解性）如何引起罗素悖论- 值和扩展。尽管我们将简要讨论弗雷格的值过程符号，但我们随后将改用更简单的符号来命名概念的扩展。出于本节的目的，让我们假设我们的语言中有原始函数项 f、g、h...，并且允许函数应用，例如 f(x)、g(y) 等。

破坏弗雷格体系的原则，即《基本法第五》，是试图将“函数的价值过程”和“概念的外延”概念系统化的原则。函数 f 的值过程类似于一组有序对，记录每个参数 x 的值 f(x)。例如，函数father of x 的值过程记录了当Chelsea Clinton 为参数时，Bill Clinton 是该函数的值。除其他事项外，函数 x2 的值过程记录了当数字 2 为参数时数字 4 的值，当 3 为参数时数字 9 的值，等等。对于这一概念，弗雷格将该概念的价值过程称为其外延。概念的外延类似于属于该概念的所有对象的集合，因为外延记录了该概念映射到“真实”的所有对象。例如，概念x是小于8的正偶整数的外延类似于由数字2、4和6组成的集合。

2.1 函数值域的表示法

弗雷格在 Gg I，§9 中引入了价值过程的原始符号。在编写值过程和扩展的名称时，他改用小写希腊字母 ϵ 和 α，并在它们上面放置平滑的呼吸标记以表明它们是变量绑定运算符。所以：

,

ε

f(ε)

和

,

α

g(α)

分别指定函数 f 和 g 的值过程。在这种表示法中，符号

,

ε

和

,

α

将对象变量 ϵ 和 α 分别绑定到表达式 f(ϵ) 和 g(α) 中，所得表达式表示一个值过程。

这是弗雷格的价值过程表示法的两个例子。这对例子来自 Gg I，§9。弗雷格使用了这样的表达式：

,

ε

(ε2−ε)

表示由开放公式表示的函数的值过程：

x2−x

他还使用：

,

α

(α·(α−1))

表示由开放公式表示的函数的值过程：

x⋅(x−1)

然后弗雷格指出，如果函数 x2−x 和 x⋅(x−1) 将相同的参数映射到相同的值，则这两个函数的扩展是相同的，反之亦然。也就是说，他指出：

∀x[x2−x=x⋅(x−1)]

成立当且仅当：

,

ε

(ϵ2−ϵ)=

,

α

(α·(α−1))

这种等价性将体现在基本法 V 中。事实上，弗雷格在 Gg I 第 20 节中对基本法 V 的表述现在可以用我们的语言表示（暂时用函数术语和函数应用进行扩展）如下：

基本法第五：

,

ε

f(ϵ)=

,

α

g(α)=∀x[f(x)=g(x)]

该原理断言：当且仅当 f 和 g 将每个对象映射到相同的值时，函数 f 的值过程与函数 g 的值过程相同。 [实际上，弗雷格使用恒等符号而不是双条件符号作为原理的主要连接词。他能这样做的原因是，在他的系统中，当两个句子实质上等价时，它们命名相同的真值。]我们很快就会明白为什么这个原则是不一致的。

2.2 概念扩展的符号

由于对于弗雷格来说，概念是始终将其参数映射到真值的函数，因此我们可以引入一些新的符号来帮助我们表示弗雷格形成概念外延名称的方法。这种新的表示法利用了我们的 λ 表示法来命名概念，因此允许我们引入一种新的函数项，其中弗雷格引入了变量绑定运算符。

让我们规定，其中 Π 是任何一位概念术语（名称或变量），符号“ϵΠ”表示概念 Π 的外延。因此，例如，ϵF 表示概念 F 的外延。请注意，[λxphi] 形式的 1 位 λ 表达式是 1 位概念项，因此 ϵ[λxphi] 是格式良好的，并且表示概念[λxψ]。因此，弗雷格使用

,

ε

作为在公式中绑定对象变量以生成扩展名称的变量绑定运算符，我们使用 ϵ 作为术语形成函数符号，该符号适用于 1 位概念术语以生成表示或范围包括的术语，对象。因此，当 ϵ 作为概念名称的前缀时，得到的表达式是对象的名称，特别是由概念名称表示的概念的扩展的名称。当 ϵ 作为概念变量的前缀时，例如，如 ϵF 中所示，结果表达式是一种范围超过扩展的复杂变量：对于变量 F 的每个值，ϵF 表示 F 的扩展。

这是涉及一对复杂概念的符号示例。考虑这样一个概念：加到 4 等于 5，或者使用 λ 表示法，以下概念：

[λxx+4=5]

我们使用以下符号来表示这个概念的扩展：

ε[λxx+4=5]

现在考虑这样一个概念：加到 22 等于 5（即 [λx x+22=5]）。我们使用以下符号来表示这个概念的扩展：

ε[λxx+22=5]

请注意，鉴于所有且仅属于第一个概念的对象都属于第二个概念，识别这两个扩展似乎很自然。已经熟悉 λ 演算的读者应该记得，ϵ[λx phi] 表示对象，[λx phi] 表示概念，弗雷格严格区分对象和概念，并假设它们构成互斥的域。

2.3 扩展中的成员资格

如果我们记得概念的外延类似于该概念下的对象集合，那么我们可以用“集合”来代替弗雷格对“外延”的讨论，并使用以下“集合符号”来指代与 4 相加得到 5 的对象集和与 22 相加得到 5 的对象集分别为：

{x∣x+4=5}

{x∣x+22=5}

弗雷格利用他的二阶语言来定义对象作为扩展或集合的成员是什么。虽然弗雷格使用符号 x∩y 来表示隶属关系，但我们将遵循更通常的做法，使用 x∈y。因此，以下内容概括了弗雷格在 Gg I，§34 中对成员资格的定义的主要特征：[2]

x∈y=df∃G(y=ϵG&Gx)

换句话说，x 是 y 的元素，以防 x 属于 y 是其外延的概念。例如，鉴于此定义，可以证明约翰是概念的扩展的成员，这是从约翰属于概念下的前提中幸福的前提（正式：j∈ϵH）的成员（“ HJ”）。这是一个简单的证明：

1。HJ前提

2。ϵH = Axiom x = x的实例

3。ϵH = ϵH＆hj从1,2，＆ - 介绍

4。∃G（ϵH = ϵG＆gj），从3

5。j∈ϵH，根据∈的定义。

一些读者可能希望检查一个更复杂的示例，其中上述成员的定义被用来证明1∈ϵ [λxx+22 = 5]的前提是1+22 = 5。 （一个更复杂的例子）

在转向基本法律之前，重要的是要提及我们对弗雷格系统的代表性的重要事实，在这种情况下，我们将术语形成运算符''介绍给具有身份的二阶逻辑。结果系统具有以下原则，该原理断言每个概念都有一个扩展，作为一个定理：

扩展的存在：

∀G∃X（x = ϵG）

为了确保鉴于我们到目前为止的工作，这是可以衍生的，请回顾上述证据的第2行：身份定律使我们能够断言：

ϵf = ϵf

在具有身份的二阶逻辑中，这是x = x的实例（严格地说，第一个第一次从axiom x = x衍生出∀x（x = x），然后将普遍量化的变量x实例化至ϵf） 。因此，通过存在概括，它得出：

∃X（x = ϵf）

但是现在，扩展原理的存在是通过对概念变量f的普遍概括而遵循的。因此，仅通过将术语形成的运算符（例如ϵ添加到具有身份）的经典逻辑中，可以证明每个概念都与扩展相关。基本法律不仅暗示，而且还会在这种相关性上构成条件。

2.4概念基本法v

现在，我们可以使用我们的and符号来代表适用于概念的Frege的基本法V的特殊情况：

基本法律（特殊情况）：

ϵF = ϵG∀X（FX≥GX）

在这种特殊情况下，基本定律v断言：概念f的扩展与概念g的扩展相同，并且仅在属于f属于g的所有物体属于g之下（即，且仅当概念都属于g） F和G具有物质等效）。在更现代的幌子中，弗雷格的《基本法》 v断言，当且仅当F和G具有重大等价时，FS集与GS集相同：

{xKfx} = {yKgy} =∀Z（fz¶gz）

上面讨论的示例现在可以看作是基本定律v的实例：

ϵ [λyy+4 = 5] = ϵ [λyy+22 = 5]

∀X（[[λyy+4 = 5]

这断言，添加到4的概念的扩展与添加22的概念的扩展相同，而添加到22的概念的扩展在且仅在全部且仅在添加到4 farter 5时的对象是当何时又有对象。添加到22个产量5。

法律V有两个重要的推论，在下面的内容中发挥了作用：扩展定律和延伸性原则。扩展定律（参见GG I，§55，定理1）断言，当对象是概念扩展的成员，并且仅当概念属于该概念时：

扩展法：

∀f∀x（x∈ϵF fx）

（推导扩展法）

基本法律还正确地暗示了扩展性的原则。该原则断言，如果两个扩展具有相同的成员，则它们是相同的。让我们定义“ x是扩展”，如下：

扩展（x）=df∃f（x = ϵf）

然后，我们可以正式表示并得出扩展原理，如下所示：

扩展原则：

扩展（x）＆扩展（y）→[∀z（z∈X。s∈Y）→x = y]

（扩展原理的推导）

关于基本法律V的上述事实将在下一个小节中使用，以说明为什么可能不会将其始终如一地添加到二阶逻辑中。弗雷格（Frege）意识到伯特兰·罗素（Bertrand Russell）的不一致，他给他发了一封信，讲述了“拉塞尔的悖论”，就像GG第二卷要迫在眉睫一样。弗雷格（Frege）迅速在第二卷中添加了一个附录，描述了从基本法第五律中获得矛盾的两种截然不同的方法。强制对象的域最多包含一个对象。

在下一个小节中，我们描述了从弗雷格附录中描述的基本定律V到GG的两种方式。第一个直接建立矛盾，没有任何特殊定义。第二个部署了会员关系，更紧密地遵循罗素的悖论。正如我们将看到的，以下组合是一种挥发性的组合：（a）概念的理解原理，该原理可确保有一个概念对应于带有自由变量的每个公式x，（b）扩展原理的存在，可确保每个公式概念与扩展相关，（c）基本定律V，该法律确保概念与扩展的相关性以某种方式行为。

2.5矛盾的第一个衍生

在GG II的附录中，弗雷格（Frege）表明，一旦我们提出概念为x，这是x的扩展，这是x不属于的X的扩展。我们可以使用以下λ表达来表示这一概念：

[λx∃f（x = ϵf＆¬fx）]

我们知道存在这样的概念，因为可以在概念的理解原理中使用λx范围的开放公式。现在，根据扩展原则的存在，以下概念存在并与之相关：

ϵ [λx∃f（x = ϵf＆¬fx）]

现在可以证明，此扩展属于且仅当不且不做时。

（矛盾的第一个推导。）

2.6矛盾的第二次推导

在GG II的附录中，Frege还解释了基本法V如何意味着Russell集合的存在。我们可以表示他的推理如下。根据扩展定律（源自上面的基本定律V），可以在三个简单的步骤中建立一个天真的理解公理。首先，我们将扩展定律实例化for f to freail f，以产生：

∀x（x∈ϵF fx）

通过对ϵf的概括，它得出：

∃y∀x（x∈Yfx）

现在，在这一点上，我们可以普遍地对变量F进行普遍概括，以获得以下二阶幼稚理解公理的扩展，这断言，对于每个概念f，都有一个扩展名，它具有成员的全部和唯一的对象。 F：

天真的理解公理：扩展：

∀f∃y∀x（x∈Y²fx）

一旦我们将量化的变量f实例化，幼稚的理解公理就会产生罗素的悖论[λzz∉z]，其中z∉z简单地缩写−（z∈Z），屈服：

∃y∀x（x∈Y。[λzz∉z] x）

通过λ转换，这等同于：

∃y∀x（x∈Yx∉x）

（注意：Frege可以使用他的替代规则在距离∃X（x∈Y。fx）的一步中达到了最后的结果。）

现在的矛盾如下。让B成为我们刚提出的主张所主张的对象。所以我们知道：

∀x（x∈Bx∉x）

但是现在，我们可以将普遍量化的变量实例化，以产生以下矛盾：

b∈B≡B

（请参阅罗素悖论的条目。）

2.7悖论是如何产生的

现在，我们通过在现代的二阶逻辑系统中代表他的逻辑和基础法V来重建弗雷格系统中的不一致。哲学家已经以各种方式诊断出这种不一致，可以肯定地说，此事仍然存在争议。在本小节中，我们仅讨论问题的基本要素。大多数哲学家和逻辑学家都同意，基本定律v无法扩展二阶逻辑的原因是，所得系统需要不可能的情况，在这种情况下，概念领域必须严格比扩展领域大于相同的扩展领域时间范围的扩展领域必须与概念的领域一样大。

为了更详细地分析不一致性，请考虑一个概念的扩展模型，其中概念的材料等效性是F和G的身份的必要条件，即F = G。 （fx− gx）。因此，鉴于这种理解，如果不是F和G具有重大等效的情况，那么F和G是不同的概念。如果F和G是不同的概念，那么它们在实质性上也不相同。

考虑到这种概念的扩展视图，我们可以看到悖论是如何产生的。首先回想一下，扩展原理的存在将每个概念F与扩展ϵF相关。基本法V的每个方向都要求此相关性具有某些属性。例如，我们将看到，基本定律V（即VA）的左侧方向要求，没有任何概念与两个不同的扩展相关。 [Frege使用标签“ VB”来指定基本定律V的左右方向，并将“ VA”用于左转方向的变体。参见，例如，GG I，§52。但是，许多评论员使用“ VA”来指定从左到右的方向。我们将遵循弗雷格的使用，因为这将使他对GG II的附录有意义，在其中他通过讨论VB和VA来讨论悖论。]我们可以代表Frege的VA：如下：

VA基本法：

∀X（fxºGX）→ϵF = ϵG

因此，对立式断言，如果ϵf≠ϵg，则€∀x（fx≥gx）。但是，在f和g的材料当量是f = g的必要条件的情况下，即，在以下情况下，在€∀x（fx≥gx）表示f≠g的情况下，则VA意味着如果ϵf≠ϵg，则表示ϵF≠ϵ f≠g，即，每当F和G的扩展不同时，它们相关的概念，即F和G，也有所不同。这意味着概念和基本法V设置的扩展之间的相关性必须是一个函数 - 没有概念与两个不同的扩展相关（尽管对于所有VA告诉我们，但不同的概念可能与相同的扩展相关）。弗雷格（Frege）指出（在GG II的附录中），基本法律的这一方向似乎并没有问题。

但是，基本法V（即VB）的左右方向更为严重。我们可能表示VB如下：

基本法VB：

ϵF = ϵG→∀X（FX = GX）

因此，对立式断言，如果如果（fx gx），则ϵf≠ϵg。但是，在F和G的材料当量是F = G的足够条件的情况下，即，在F≠G grimind Ingrimem Ingrimind Inginem Inginem€∀X（FX≥GX）的情况下，Vb表示F≠G→ϵF≠ϵG ，即，如果概念F和G不同，则F和G的扩展不同。因此，基本法律在概念和扩展之间建立的相关性必须是一对一的。即，它将不同的概念与不同的扩展相关联。由于每个概念都与某些扩展相关，因此必须至少有与概念一样多的扩展。

但是问题在于，总体上具有基本法律的二阶逻辑要求比扩展更重要的概念。要求概念比扩展更多的概念的要求是由概念的理解原则共同施加的，以及该原理在存在基本法律的存在中所具有的新意义。概念的理解原则断言了每个条件上存在概念的对象上的概念语言表达。现在，尽管似乎这一原理本身会迫使概念领域比对象的领域更大，但这是一个模型理论事实，即有一些二阶逻辑模型具有概念的理解原理（但是没有基本法v）其中概念领域不大于对象的领域。[3]但是，由于与新概念的无尽循环，与新概念的无尽循环相关，因此将概念的领域添加到弗雷格系统迫使概念领域比对象的领域大（并且比扩展的域更大）但是，正如我们在上一段中看到的那样，扩展是由基本法律V。但是，VB要求至少存在与概念一样多的扩展。

因此，将基本定律v添加到二阶逻辑上意味着不可能的情况，在这种情况下，概念领域必须严格大于扩展的域，而同时扩展域必须与域一样大概念。

最近，人们对发现修复弗雷格扩展理论的方法引起了很多兴趣。传统观点是，必须限制基本法律或限制概念的理解原则。最近，Boolos（1986/87，1993）开发了一个更有趣的建议之一，用于修改基本法律，而不放弃二阶逻辑及其对概念的理解原则。另一方面，有许多建议限制概念的理解原则。其中最严重的是完全放弃二阶逻辑（以及概念的理解原则）。 Schroeder-Heister（1987）猜想，弗雷格系统的一阶部分（即，通过将基本定律V添加到第一阶谓词微积分而产生的系统）是一致的，这是T. Parsons（1987）和T. Parsons（1987）和伯吉斯（1998）。[4] Heck（1996），Wehmeier（1999），Ferreira＆Wehmeier（2002）和Ferreira（2005）考虑了较少的动作。他们研究了已通过基本法律扩展的二阶逻辑系统，但是其中概念的理解原理在某种程度上受到限制。另请参见Anderson＆Zalta（2004）和Antonelli＆May（2005），以了解修复Frege系统的不同方法。有关Frege方法的限制的讨论，请参见Fine（2002），有关良好的一般概述，请参见Burgess（2005）。