弗雷格定理和算术基础（三）

我们不会在本文中进一步讨论上述研究，因为这些替代方案都没有达成明确的共识。取而代之的是，我们专注于Frege在GG中揭示的理论成就。正如引言中指出的那样，弗雷格有效地证明了关于自然数字的一个相当深的事实，尽管基本法V的不一致。将在下一部分中讨论）。但是，多年来，这个事实一直没有引起人们的注意。尽管Geach（1955年）声称这是可能的，但C. Parsons（1965）是第一个指出，休ume的原理足以衍生Dedekind/peano axioms。尽管赖特（Wright，1983）实际上进行了大部分派生，但Heck（1993）表明，尽管Frege确实使用了基本法律来推导Hume的原则，但他（Frege's）随后对Dedekind/Peano Axioms的衍生数，从未从休ume的原则中。对基本法第五五世提出了重要的吸引力。弗雷格本人有效得出了数字理论的基本定律。在这方面，要解释弗雷格的成就将是接下来的几节的任务。我们将在两个阶段进行此操作。在§3中，我们研究了Frege通过将基本数字分析为扩展而从基本法V中得出的原则的尝试。然后，我们将其放在第4和§5节中，以研究弗雷格如何仅从休ume的原理中得出数字理论的Dedekind/peano公理。

3。弗雷格对基数的分析

主要的数字是可以用来回答“有多少……有多少？”的数字，而弗雷格发现，这种数字与自然数字有着有趣的关系。弗雷格（Frege）关于这种关系的见解追溯到他在GL中的作品，其中扩展的概念很少扮演角色。 GL§46的开创性思想是，观察到数字陈述（例如“有八个行星”）是关于概念的主张。为了解释这一想法，弗雷格指出，可以以不同的方式计数一个和相同的外部现象。例如，某种外部现象可以算作1部队，5个部门，25个团，200家公司，600排或24,000人。计算外部现象的每种方式都对应于其概念的方式。问题“有多少？”仅适当地表达为“有多少fs？”提供概念F的地方。从弗雷格（Frege）看来，回答此类问题的数字陈述（例如，“有n fs”）告诉我们一些有关涉及的概念的信息。例如，“太阳系中有八个行星”的说法告诉我们，太阳系中的普通概念行星属于八个对象的二级数值概念。

在GL中，弗雷格从这种实现中移动，其中数字的陈述被分析为一级概念的二级数值概念，以开发对基数和自然数字作为“自subsissistent”对象的说明。他在概念上介绍了一个“基数运算符”，即“属于概念f”的数字，该数字指定了属于f属于f的对象的基数。在接下来的内容中，我们更简单地说为“ FS的数量”。 '并使用简单的符号'#f'。请注意，操作员＃的行为类似于ϵ操作员 - 当将其前缀为诸如行星（P）之类的概念名称时，然后#P（“行星数”）表示对象；当将其前缀为诸如f之类的变量时，#F范围范围范围范围（对于f可以作为值为值的每个概念，#f表示相对于该概念的对象）。弗雷格（Frege）在GL中提供了该操作员的隐式（即上下文）和明确的定义。这两个定义都需要对两个概念F和G何时以一对一或“等额为单位”进行初步定义。等等性的概念在弗雷格定理的发展中起着重要而基本的作用。在开发了Equinumersity的定义之后，我们然后讨论Frege对FS数量的隐式和明确定义。但是，只有前者才能证明弗雷格定理。

3.1 equinumersity

为了陈述Equinumersity的定义，我们将采用众所周知的逻辑概念“存在一个独特的X，使得ϕ”。要说存在一个唯一的x，这样ϕ就是说：有一些x，使ϕ和任何与x相同的y的东西。在接下来的内容中，我们使用符号“∃！x ϕ”来缩写以下公式的概念，并将其正式定义如下（再次，ϕ，

y

x

是替换y代替X中X的自由出现的结果：

∃！x =df∃x[ϕ＆∀y（ϕ

y

x

→y = x）]]

现在，就这种独特存在的逻辑概念而言，我们可以说出比弗莱格在gl中给出的equinumersosity的定义（§71，72），但这仍然是工作：[5]

f和g是等等的，以至于有一个关系r，以至于：（1）属于f下的每个对象都与掉落在g下的唯一对象相关，并且（2）每个属于g下的对象都有属于f的独特对象与它相关。

换句话说，F和G是平等的，以防万一有关系在FS和GS之间建立一对一的对应关系。如果我们让“f≈g”代表Equinumersosity，那么该概念的定义可以正式呈现如下：

f≈g= df

∃R[∀X（fx→∃！y（gy＆rxy）））＆∀X（gx→∃！

要看到Frege对Equinumersosity的定义正常工作，请考虑以下两个示例。在第一个示例中，我们有两个概念F和G，它们是等等的：

表示两个等等概念的代表

图1

尽管有几种不同的关系r证明了F和G的平等性，但图1中使用的特定关系是：

r_ {1} = [\ lambda xy \，（x \ eqclose a \ amp y \ eqclose f） )]

这是一个简单的练习，即表明R_ {1}所定义，是F和G的Equinumersity的“见证人”（根据定义）。

在图2中，我们有两个不是平等的概念：

非方面概念的图形

图2

在此示例中，没有关系r可以满足倍数的定义。

鉴于到目前为止的讨论，只要属于f的物体数量与落在G下的对象的数量相同时，F和G的概念将是平等的。该建议将通过休ume的原理进行编纂。但是，在讨论这一原则之前，读者应该说服他或她自己以下四个事实：（1）两个概念的物质等效性意味着他们的quinumeritys，（2）equinumersose是反思性的，（3）quinumersosity是对称性的，（4）等级性是传递性的。用正式的术语来说，以下事实可证明：

关于等等的事实：

1。\ forall x（fx \ equiv gx）\ to f \ applxclose g

2。f \大约f

3。f \ applxclose g \ to g \ applxclose f

4。f \ applxclose g \ amp g \ applxclose h \ to f \ applxclose h

在每种情况下，这些事实的证据都需要确定与相关的宗教主张见证的关系。在某些情况下，很容易确定有关的关系。在其他情况下，读者应该能够通过考虑上述示例来“构建”此类关系（使用\ lambda通用）。事实（2） - （4）确定equinumerity是一种“等价关系”，将概念领域划分为等等概念的“等效类别”。

3.2“ FS数量”的上下文定义：休ume的原理

在GL中，Frege从现在称为Hume原理的原理上定义了“ FS的数量”：[6]

休ume的原则：

当且仅当F和G是Quinumeric时，FS的数量与GS的数量相同。

使用我们的符号“ \ f”来缩写“：FS的数量”，我们可以正式将休ume的原则形式化如下：

休ume的原则：

\ f：\ eqclose \ g：\ equiv f \ ain

当假定后者被认为是由原则支配的原始概念时，休ume的原理被视为\ #f的上下文定义：该原则并未明确定义'\ #f'，但通过定义上下文（在此中）定义了上下文（在此）定义它。情况，身份声明）。[7]正如我们将看到的那样，休ume的原则是弗雷格伪造自然数理论的基本原则。在GL中，弗雷格从休ume的原理中勾勒出数字理论的基本定律的派生。这些草图在GG I中发展为更严格的证据。我们将在以下各节中检查这些推导。

一旦弗雷格（Frege）具有\ #f的上下文定义，他就将基数定义为任何概念数的对象：

x \ textIt {是红衣主教号} \ eqdef \存在f（x = \ #f）

这表示GL，§72中出现的定义。

请注意，休ume的原则与基本法第五五的正式相似。两者都是双条件，主张奇异术语（左侧条件）在概念（右侧条件）之间的同等术语（左侧条件）之间的等效性。实际上，两者都将概念与某些对象相关联。就休ume的原则而言，每个概念f与\ #f相关。但是，尽管基本法v有问题地要求概念与扩展之间的相关性是一对一的，但休ume的原则只要求概念与数字之间的相关性是很多对一的。休ume的原则通常将不同的概念与相同的数字相关联。例如，principia Mathematica（'[\ lambda x \，axp]）的独特概念作者和1和4之间的正整数（'[\ lambda x \，1 \ lt x \ lt 4]）是equinumoric的（两者都有两个物体落在其中）。 so \＃[\ lambda x \，axp] = \＃[\ lambda x \，1 \ lt x \ lt 4]。因此，与基本法V不同，休ume的原则并不要求数字的域与概念领域一样大。确实，一些作者开发了表明休ume原理的模型，可以始终如一地添加到二阶逻辑中。参见Geach的独立工作（1976，446-7），Hodes（1984，138），Burgess（1984）和Hazen（1985）。

3.3明确定义“ FS数量”

[注意：剩下的两个小节对于理解弗雷格定理的证明并不是必需的。这些人在这里包括在这里，那些希望对弗雷格实际上试图做的事情有更全面了解的人。他们在第2节中以材料为前提。对弗雷格成就的积极方面感兴趣的读者应直接跳至第4节。

在我们研究弗雷格（Frege）从休ume（Hume）的原则中造成的强大后果之前，值得一试的是，描述他明确定义“ \ #f'”并从基本定律V中得出的尝试。任何概念f，Equinumeritose的概念都可以用来定义第二级概念是F. Frege等等的概念G，找到了一种收集所有概念的方法给定的概念f进入单个扩展。在GL§68中，他非正式地认为这是一个由一阶概念组成的扩展，它通过规定FS的数量是第二级概念的扩展：作为F. F.

就以前小节末尾使用的示例而言，该非正式定义将Mathematica的概念作者的数量确定为由所有和仅由所有与此概念均等的第一级概念组成的扩展；该扩展名具有[\ lambda x \，axp]和[\ lambda x \，1 \ lt x \ lt 4]作为成员。弗雷格实际上用此扩展名来识别基数2，因为它包含了两个对象下降的所有概念。同样，弗雷格（Frege）将基数0识别为延伸，由所有对象落下的所有第一级概念组成；这个扩展将包括诸如独角兽，半人马座，3至5之间的概念等。 - 鲁塞尔对基本数字的定义”为等等概念或集合的类别。[8]当然，对“ FS”数量的这种明确定义具有“扩展”的连贯概念。我们知道，基本法律不提供这样连贯的概念。

3.4派生局原理

弗雷格（Frege）对休ume原则的推导使它吸引了不一致的基本法律V. Neverthelss，我们在本小节中简要描述了弗雷格的派生。在GL，§73中，弗雷格使用上述FS数量的非正式定义为休ume原理的左右方向绘制了非正式的证明。该派生吸引了以下事实：一个概念G是第二级概念概念的成员，当时且仅当G对f均等时。扩展定律的版本（如上所述），我们知道的普通版本是基本定律V的结果。[9]这是对弗雷格（Frege）在GL，§73中的证明的重建，以涵盖休ume原则的两个方向。

休undlagen衍生物的重建，休undlagen的原则

但是，在GG的开发中，弗雷格并没有制定二级概念的扩展。在GG中，扩展不包含概念作为成员，而是对象。因此，弗雷格必须找到另一种方法来表达上一节中描述的明确定义。他的技巧是让扩展代理其相应的概念。由于对该技术的全面重建以及Hume在GG中的原则证明将构成当前博览会的题外话，因此我们将在单独的文档中描述感兴趣的读者的细节：

休undgesetze的“衍生”的重建

有趣的是，Tennant（2004）和May＆Wehmeier（2019）指出，在GG中，弗雷格实际上并没有获得休ume作为双条件的原则。取而代之的是，他分别得出两个方向而不结合它们或指出两个方向应被视为双条件。最后，正如多次指出的那样，《基本法》五世的不一致使弗雷格对休ume原则的推论无效。但是休ume的原则本身就是一个有力且一致的原则。

4。弗雷格对前任，祖先和自然数的分析

在接下来的内容中，我们将假设我们开始使用的二阶谓词计算与（a）一个原始\＃运算符一起扩展，以便我们可以制定诸如\ f之类的术语来表示“：fs'数量”。 ，以及（b）一个新的公理，即休ume的原则，要管理新术语。如前所述，Frege的定理是，Dedekind/Peano公理的数字理论可作为二阶谓词微积分以这种方式衍生为定理。在本节中，我们介绍了弗雷格定理证明所需的定义。在下一部分中，我们详细介绍了证明。在最后一部分中，我们以这种方式讨论了对谓词微积分扩展时出现的哲学问题，并以休ume的原则为代替基本法律V。

在我们转向弗雷格定理证明所需的定义之前，它将很好地讨论弗雷格（Frege）对数字分析的其他洞察力。首先是以下一系列概念具有相当有趣的属性：

\ begin {align*}＆c_0 = [\ lambda x \，x \ neqclose x] \\＆c_1 = [\ lambda x \，x \ eqclose \ eqclose \ eqclose \＃c_0] \\＆c_2 = [ ＃c_0 \ lor x \ eqclose \＃c_1] \\＆c_3 = [\ lambda x \，x \ eqclose \ eqclose \＃c_0 \ lor x \ eqclose \ eqclose \ eqclose \＃c_1 \ lor x \ eqclose \＃c_2] \\＆\ text {etc。} \ end {align*}

该系列的有趣属性是，对于每个概念C_K，​​序列中C_K之前的所有概念数量都属于C_K。因此，例如，C_3之前的概念是C_0，C_1和C_2。因此，所有和只有以下数字属于C_3：\＃C_0，\＃C_1和\＃C_2。

弗雷格的下一个见解是，可以分别使用这些概念来定义有限的基数数字，如下所示：

\begin{align*} &0 = \C_0：\\ &1 = \C_1：\\ &2 = \C_2：\\ &3 = \C_3：\\ &\text{等} \end{align*}

然而，这种见解导致了另一种见解。弗雷格意识到，虽然我们可以将这个数字序列等同于自然数，但这样的序列只是一个列表：它并不构成适用于所有且仅适用于自然数中定义的数字的概念（例如自然数）的定义。如果我们要将戴德金/皮亚诺数论的以下公理证明为定理，则需要这样的概念：

数论戴德金/皮亚诺公理：

0是自然数。

0 不是任何自然数的后继。

没有两个自然数具有相同的后继。

如果 (a) 0 落在 F 范围内，并且 (b) 对于任何两个自然数 n 和 m，使得 m 是 n 的后继，则 n 落在 F 范围内的事实意味着 m 落在 F 范围内，则每个自然数都落在F.（数学归纳原理）

每个自然数都有一个后继数。

此外，弗雷格认识到需要运用数学归纳原理来证明每个数字都有一个后继。我们不能仅仅通过生成基数表达式序列（例如，上述两个序列中的第二个）来证明每个数字都有后继的说法。所有这样的序列都表明，对于序列中列出的每个表达式，可以定义适当形式的表达式以在序列中跟随它。这与证明每个自然数都有后继不同。

4.1 前身

为了实现这些进一步的目标，弗雷格继续（Gl，§76，和 Gg I，§43）定义概念 x（立即）先于 y：

x（立即）先于 y 当且仅当存在概念 F 和对象 w 且满足以下条件时：(a) w 属于 F，(b) y 是 F 的数量，(c) x 是 F 的数量概念对象属于除 w 之外的 F。

我们可以用我们的语言正式地表示弗雷格的定义如下：

\begin{align*} &\mathit{前面}(x,y) \eqdef \\ &\quad \exists F\exists w(Fw\amp y\eqclose \F：\amp x\eqclose \[\lambda：z\, Fz \amp z\neqclose w]) \end{对齐*}

为了说明这个定义，让我们暂时假设我们知道有关自然数 1 和 2 的一些事实，以表明该定义正确地预测了 \mathit{Precedes}(1,2)，即使我们还没有定义这些自然数令表达式'[\lambda z \, Azp]'表示《数学原理》的概念作者。只有伯特兰·罗素（“r”）和阿尔弗雷德·怀特海属于这个概念。让表达式“[\lambda z \, Azp \amp z\neqclose r]”表示除罗素之外的《数学原理》的概念作者。[10]那么，出于本示例的目的，以下内容可以被视为事实：

罗素属于《数学原理》的概念作者，即

[\lambda z \, Azp]r

2是《数学原理》概念作者的编号，即

2 = \[\lambda：z \, Azp]

1是除罗素之外的《数学原理》概念作者的编号，即

1 = \[\lambda：z \, Azp \amp z\neqclose r]

如果我们将这些真理组合成一个连词，并在适当的地方应用存在概括，结果就是对数字 1 和 2 实例化的前驱定义的定义。因此，如果给出关于属于某个特定对象的数量的某些事实，概念，前驱的定义正确地预测了 \mathit{Precedes}(1,2)。