弗雷格定理和算术基础（一）

1.二阶谓词演算和概念论

1.1 语言

1.2 逻辑

1.3 概念理论

2.弗雷格的可拓理论：基本定律V

2.1 函数值域的表示法

2.2 概念扩展的符号

2.3 扩展中的成员资格

2.4 概念基本法则V

2.5 矛盾的一阶导数

2.6 矛盾的二阶导数

2.7 悖论是如何产生的

3.弗雷格对基数的分析

3.1 等数性

3.2 “F的数量”的上下文定义：休谟原理

3.3 “F 数”的明确定义

3.4 休谟原理的推导

4.弗雷格对前人、祖先和自然数的分析

4.1 前身

4.2 关系R的祖先

4.3 R的弱祖先

4.4 自然数概念

5.弗雷格定理

5.1 零是一个数字

5.2 零不是任何数的后继

5.3 没有两个数有相同的后继者

5.4 数学归纳法原理

5.5 每个数都有一个后继数

5.6 算术

6.围绕弗雷格定理的哲学问题

6.1 弗雷格自己的目标和策略

6.2 弗雷格策略的基本问题

6.3 概念的存在

6.4 扩展的存在

6.5 数字和真值的存在：凯撒问题

6.6 最终观察结果

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.二阶谓词演算和概念论

在本节中，我们描述二阶谓词演算的语言和逻辑。然后，我们用经典的概念理解原理来扩展这一演算，并引入并解释 λ 表示法，它允许人们将开放式公式转换为概念的复杂名称。尽管弗雷格自己的逻辑与现代二阶谓词演算有很大不同，但后者对概念的理解原则和λ表示法为我们提供了一种逻辑上清晰的表示弗雷格定理的方式。我们有时会评论下面介绍的微积分与弗雷格发展的微积分之间的差异，但这些评论并不是为了成为理解弗雷格原始著作中涉及的许多微妙之处的学术指南。

1.1 语言

二阶谓词演算的语言以以下简单术语列表开始：

对象名称：a、b、...

对象变量：x，y，...

n 位关系名称：Pn,Qn,… (n≥1)

n 位关系变量：Fn,Gn,… (n≥1)

对象名称和变量表示对象的域或在对象的域中取值，并且n位关系名称和变量表示n位关系的域或在n位关系的域中取值。对象和关系被视为互斥的域：没有对象是关系，也没有关系是对象。当给出n≥2的n位关系名称或变量的例子时，我们经常写R，S，…，而不是写P2，Q2，…。

根据这些简单的术语，我们可以定义该语言的公式如下：

如果 Π 是任何 n 位关系项，v1,…,vn 是任何对象项 (n≥1)，则 Πv1…vn 是一个（原子）公式。

如果 ψ,ψ 是任意公式，则 ψ 和 (ψ→ψ) 是（分子）公式。 （当不存在歧义时，我们去掉 (ψ→ψ) 周围的括号。）

其中 phi 是任意公式，α 是任意变量，则 ∀α phi 是一个（量化的）公式。

因此，例如，Pa、Rxy 等是原子公式，它们分别断言对象 a 举例说明了 1 位关系 P，并且 x 和 y 代表关系 R。公式 ØPa 和 Pa→Rxy是分子式，它们分别断言 a 不代表 P，如果 a 代表 P，则 x 和 y 处于关系 R 中。最后，这里是一些量化的例子公式：

∀xRxa 每个 x 都代表 R 与 a 的关系。

∀x∀y(Px→Qy) 对于所有 x，对于所有 y，如果 Px 那么 Qy

∀FFa 每个 F 都使得 a 属于 F

∀F(Fx→Fy) 对于所有 F，如果 Fx 那么 Fy

我们上面定义的语言是二阶语言，因为公式定义中的最后一个子句认可 ∀xphi 形式和 ∀Fphi 形式的量化公式。下面，我们采用以下公式的标准定义：

ψ&ψ=dfψ(ψ→ψ)

ψ∨ψ=dfψψ→ψ

ψ=ψ=df(ψ→ψ)&(ψ→ψ)

∃αφ=dfØ∀αØØ

上面第一个定义了连接 phi 和 ψ；第二个定义析取 ψ 或 ψ；第三个定义了双条件 phi 当且仅当 ψ（我们通常缩写为 iff）；最后一个定义了存在量化公式，有一个 α 使得 phi。这里应该指出的是，弗雷格没有使用线性符号串来表达分子和量化公式，而是为此类公式开发了一种二维表示法。由于我们在下文中不会使用弗雷格符号来表示复杂的公式，因此我们无需在这里花时间描述它。 [1]

但即使我们抛开弗雷格对复杂公式的表示法，重要的是要指出弗雷格没有像我们那样使用 Px、Rxy 等形式的原子公式。他没有在他的原始术语中包含n位关系名称和变量，而是包含原始函数名称和变量，例如f、g、h……，并使用它们来表示函数。也就是说，弗雷格没有区分对象和关系，而是区分了对象和函数。尽管现代谓词演算的一些发展在语言的简单术语中包括了函数项，但我们没有包括它们，因为我们在弗雷格定理的发展中不需要它们。

同样重要的是要指出，弗雷格使用函数应用“f(x)”在他的语言中形成复杂的名称，并使用这些名称来表示自然语言语句。要了解如何实现，请注意弗雷格将使用表达式“f(x)”来表示参数 x 的函数 f 的值。由于他还认识到两个特殊的对象，他称之为真值（真值和假值），因此他将概念定义为始终将其参数映射到真值的任何函数。例如，“x2+3”和“x的父亲”表示普通函数，而表达式“x is happy”（我们可以将其表示为“Hx”）和“x＞5”表示概念。前者表示一个概念，将任何快乐的对象映射到“真”，将所有其他对象映射到“假”；后者表示将任何大于 5 的对象映射到 True 并将所有其他对象映射到 False 的概念。这样，像“b是快乐的”和“4大于5”这样的普通语言谓词，曾经在弗雷格的语言中表示为“Hb”和“4＞5”，就变成了真值的名称。

为了理解弗雷格定理，我们可以将 1 位关系项视为表示或涵盖弗雷格概念。一旦我们这样做了，我们就可以用公式“Hb”来表示 b 属于幸福的概念。但为了理解弗雷格定理，没有必要根据弗雷格的观点假设像幸福这样的概念是从对象到真值的函数。因此，在下文中，人们应该记住，虽然我们可以将原子公式 Fx 解释为 x 代表 1 位关系（即属性）F 或 x 属于概念 F，但弗雷格会将此类公式理解为函数式应用的实例。尽管如此，我们今后将称之为一地关系概念。出于所有实际目的，我们可以使用符号 F、G ……作为概念范围内的变量，尽管我们有时会写“F(x)”而不是“Fx”以便在解析表达式时更加清晰，但我们仍然应该考虑这一点作为预测。

弗雷格还假设，当二元函数 f（即两个参数的函数）总是将参数 x 和 y 映射到真值时，f 是一个关系。因此应该记住，当我们使用表达式“Rxy”（有时是“R(x,y)”）来断言对象 x 和 y 处于关系 R 中时，弗雷格会说 R 映射了对象对x 和 y（按顺序）为 True。但同样，这种弗雷格解释并不是理解弗雷格定理所必需的。接下来，我们有时会用通常的“中缀”表示法来写出表示数学关系的符号；例如，“＞”表示表达式“x＞y”中的大于关系。

最后，值得一提的是，我们可以将以下子句添加到我们的二阶语言公式的定义中，以便包括表达身份声明的公式：

如果 v1 和 v2 是任意宾语项，则 v1=v2 是一个公式。

因此，诸如“x=y”之类的公式是具有恒等性的二阶谓词演算的一部分。弗雷格也有原始的恒等陈述。对他来说，身份是一个二元函数，只要一对对象是同一个对象，它就会将这些对象映射到 True。因此，虽然我们假设像“22=4”这样的陈述只是真实的断言，而像“22=3”这样的陈述只是错误的断言，但弗雷格将“22=4”作为“真”的名称，并采取“22=3” ' 成为“虚假”的名字。陈述形式“f(x)=y”在弗雷格的公理和定义中起着重要作用，但我们不需要断言这种形式的主张来推导弗雷格定理。相反，我们将假设 (a) 恒等只是一个 2 位关系，并且 (b) 一元函数 f 实际上是一个具有以下属性的关系 R：Rxy&Rxz→y=z （即，该函数是以下关系：总是将他们的第一个论点与最多一个第二个论点联系起来）。我们可以将这种关系称为函数关系。换句话说，当弗雷格断言 f(x)=y 时，我们可以将其表示为断言 f 是函数关系 R，使得 Rxy。这可推广到 n≥2 的 n 位置关系。例如，其中 + 是算术的二进制加法函数，我们可以用我们的语言将算术语句 2+3=5 表示为 +(2,3,5) 形式的声明，其中 + 被视为 3 -放置满足条件的函数关系：+(x,y,z)&+(x,y,w)→z=w。

1.2 逻辑

我们的二阶语言中控制语句的基本公理和推理规则与具有恒等性的一阶谓词演算相似，尽管它们已被扩展以适用于涉及全称量词绑定关系变量的声明。其中 phi、ψ 和 χ 是任意公式，α 是任意变量，τ 是与 α 类型相同的任意项（即，均为对象项或均为 n 位关系项），则以下是基本公理和规则二阶逻辑：

命题逻辑的公理。例如。，

ψ→(ψ→ψ)

(ψ→(ψ→χ))→((ψ→ψ)→(ψ→χ))

(Ø→Øψ)→((ØØ→ψ)→Ø)

通用实例化： ∀αphi → phi

τ

α

，其中 ψ

τ

α

是用 τ 统一替换 phi 中自由出现的 α 的结果，并且 τ 可替换 α（即 τ 中的自由变量不会受到 phi 中任何量词的约束）

τ

α

）。例如，其中“a”是宾语项，“P”是一位关系项，

∀xPx→Pa

∀FFa→Pa

（存在量词的对应原理，存在引入，即 phi

τ

α

→∃αφ，可导。）

量词分布：

∀α(ψ→ψ)→(ψ→∀αψ),

其中 α 是 ψ 中不自由的任何变量

身份法则：

x=x

x = y → ( phi → phi ′ ),

其中 phi' 是将 phi 中出现的一次或多次 y 替换为 x 的结果。

Modus Ponens (MP)：从 ψ 和 ψ→ψ，我们可以推断 ψ。

泛化规则（GEN）：从 ψ，我们可以推断出 ∀αψ。

接下来，在推导弗雷格定理时，我们将假设熟悉上述公理和规则。如前所述，这些本质上与一阶谓词演算的公理相同，除了添加了二阶量词 ∀F 和 ∃F 的定律，这些定律对应于控制一阶量词 ∀x 和 ∀x 和 ∀x 的定律。 ∃x。

上述一些定律在 Gg I 中明确存在，尽管是用弗雷格符号表示的。例如，在 Gg I，§47 中，我们找到了弗雷格的以下版本：

一、ψ→(ψ→ψ)

IIa.∀xPx→Pa

IIb.∀FFx→Px

三．x=y→∀F(Fx→Fy)

然而，这些内容首先分别在 Gg I、§§18、20、25 和 20 中介绍。

尽管弗雷格在 Gg 中本质上具有二阶逻辑，但他的推理规则看起来并不像 MP 和 GEN 那样熟悉或简单。原因是弗雷格的推理规则不仅支配着他对分子和量化公式的图形表示法，而且还支配着他的特殊用途符号，例如用作占位符的某些小写字母、用作绑定变量的某些哥特字母和字母以及各种其他符号我们还没有提到他的系统。由于弗雷格的推理规则符号在接下来的讨论中不起任何作用，因此我们将再次简化我们的任务，不再进一步描述它。

1.3 概念理论

现代二阶谓词演算包含一个理解原理，该原理有效地保证存在与具有 n 个自由对象变量 x1,…,xn 的每个开式相对应的 n 位关系。我们通过考虑以下 1 位情况来引入这一原则：

概念理解原则：

∃G∀x(Gxeqϋ),

其中 是任何其中 G 不是自由出现的公式。

同样，以下是二位关系的理解原则：

二位关系的理解原则：

∃R∀x∀y(Rxyeqj),

其中 是任何其中 R 不是自由出现的公式。

尽管弗雷格没有明确地阐述这些理解原则，但它们在他的系统中是可推导的，并且在他的系统中构成了非常重要的概括，揭示了其概念和关系的基本理论。我们可以通过制定以下理解实例来了解这些原则的作用，其中“Ox”断言 x 是奇数：

∃G∀x(Gx=(Ox&x＞5))

这断言：存在一个概念 G，对于每个对象 x，x 属于 G 当且仅当 x 是奇数且大于 5 时。如果我们的二阶语言扩展为包含原始谓词 'O' 和 '＞”和原始对象术语“5”，那么概念理解原理的上述实例将是二阶逻辑的公理（因此是定理）。

同样，以下是关系理解原理的一个实例：

∃R∀x∀y(Rxy=(Ox&x＞y))

这断言对象 x 和 y 之间存在一种关系，以防复杂条件 Ox&x＞y 成立。

如今的逻辑学家通常区分开放公式 phi，其中变量 x 不受概念的相应名称的影响。例如，他们使用符号 [λxOx&x＞5] 作为 x 的复杂概念的名称，其中 x 为奇数且 x 大于 5（或者更自然地，“为奇数且大于 5”）。术语形成运算符 λx（我们将其读作“成为一个 x，使得”）与公式 ψ 结合，其中 x 可以自由地产生 [λxψ]。 λ-表达式是由公式 phi 表达的概念的名称。接下来，[λxphi]中的变量绑定运算符 λx 的范围适用于整个公式 phi，无论多么复杂，因此我们不必写成例如 [λx(Ox&x＞5)]，而是简单地写：[λxOx&x＞5]。

这个符号可以扩展到关系。表达式：

[λxyOx&x＞y]

将 2 位关系命名为 x 和 y，使得 x 为奇数且 x 大于 y。

需要强调的是，弗雷格没有使用 λ 表示法。相比之下，他认为诸如“（）是幸福的”之类的表语表达是不完整的表达，它们所表示的概念是不饱和的。我们不需要在本文中讨论弗雷格的原因，但有兴趣的读者可以查阅他 1892 年的文章“概念与对象”。

为了理解弗雷格定理，我们只需要引入一个控制 λ 表示法的公理，即 λ 转换原理。设 ψ 为任意公式，并令 ψ

y

x

是用变量 y 替换 ψ 中任意位置出现的 x 的结果。那么λ-Conversion的原理就是：

λ-转换：

∀y([λxψ]y=ψ

y

x

）

这断言：对于任何对象 y，y 属于概念 [λxphi] 当且仅当 y 使得 phi

y

x

。因此，使用我们的示例，以下是 λ 转换的实例：

∀y([λxOx&x＞5]y=Oy&y＞5)

这断言：对于任何对象 y，当且仅当 y 为奇数且大于 5 时，y 才属于奇数且大于 5 的概念。请注意，当量化变量 y 实例化为某个对象项时，所得的 λ 实例- 转换是双条件的。因此，在这个公理的众多推论中，我们发现：当且仅当 6 是奇数且大于 5 时，6 才属于奇数且大于 5 的概念（在这种情况下，双条件仍然为真，因为两边都是假的）。

一些逻辑学家将这种双条件从右到左方向导出的推理规则称为“λ-抽象”。例如，从前提推论：

O6&6＞5

结论：

[λxOx&x＞5]6

由 λ-Abstraction 证明。 （这里我们有一个有效推论的情况，其中前提和结论都是错误的。）

λ 转换的原理可以推广，因此它也适用于 n 位 λ 表达式。这是 2 位的情况：

∀z∀w([λxyΦ]zw=Φ

z,w

x,y

）

（在这个公式中 ψ

z,w

x,y

是同时用 z 代替 phi 中的 x、用 w 代替 y 的结果。）

读者应该使用我们的示例 [λxyOx&x＞y] 构建该原理的实例。

在这一点上应该指出的是，弗雷格在他的系统中没有使用理解原则，而是有一个与这些原则等效的独特规则，即他的替代规则。虽然弗雷格的替换规则似乎允许在逻辑定理中用公式 phi 替换自由概念变量 F，但我们可以根据我们定义如下的二阶逻辑来理解该规则：在任何具有 a 的逻辑定理中自由变量 Fn，都可以用任意 n 位 λ 表达式 [λx1…xnψ] 替换 Fn，然后执行 λ 转换。例如，在我们现在拥有的二阶系统中，可以通过首先用 [λxOx&x＞5] 替换 F，然后使用 λ- 从 ∀y(FyeqFy) 推断 ∀x(Ox&x＞5eqOx&x＞5)对所有包含 eq 符号两侧的 λ 表达式的结果子公式进行转换。弗雷格的替代规则允许人们一步完成所有这一切。有兴趣进一步了解上述替代规则和理解原则之间联系的读者可以参考以下补充文件：

弗雷格替代规则

最后，需要指出的是，我们刚才描述的系统，即具有恒等性和理解原理的二阶逻辑，用 λ 表达式和 λ 转换进行扩展，是一致的。即使在非常小的解释中，它的公理也是正确的，例如，对象域包含单个对象并且 n 位置关系 (n≥1) 的每个域只有两个关系。例如，如果对象域包含单个对象（例如 b），并且一处关系的域包含两个概念（即，b 属于一个概念，另一个概念没有任何东西属于），那么上述所有公理都是正确，包括概念理解原理和一位 λ 转换。即便如此，上述系统要求每个概念都有一个否定，每对概念都有一个合取，每对概念都有一个析取，等等。读者应该能够写下证明这些主张的理解原理的实例。

主要目标是理解弗雷格定理的读者现在可以直接跳到第 3 节。