赫尔曼·韦尔的照片（十二）

4.5.4 Weyl的两个成分中微子理论

值得注意的是，Weyl（1929b）的二元旋量形式主义使他预见到违反宇称守恒（即左右对称）的粒子的存在。 1929 年，左右对称被认为是理所当然的，并被认为是所有自然法则的基本事实。外尔用二分量左手外尔旋量 psi_{L} 和二分量右手外尔旋量 psi_{R} 公式化了四分量狄拉克旋量 psi：

\begin{align} \psi &= (\psi^{1}, \psi^{2}, \psi^{3}, \psi^{4})^{T} \\ &= (\psi^ {1}_{L}、\psi^{2}_{L}、\psi^{1}_{R}、\psi^{2}_{R})^{T} \\ &= ( \psi_L, \psi_R)^T \结束{夕阳}

四分量狄拉克旋量，根据两个韦尔旋量制定

\psi = \left[\matrix{\psi_L \\ \psi_R}\right]

保持奇偶校验；它适用于所有大质量自旋 \bfrac{1}{2} 粒子（费米子），并且已知所有大质量费米子都遵守宇称守恒定律。然而，单个外尔旋量，\psi_{L} 或 \psi_{R}，不保留奇偶校验。韦尔指出，“如果放弃左右对称性（奇偶性）的要求，那么“两个分量就足够了”，而不是四分量狄拉克旋量。稍后他补充道：“限制 2 消除了 left 和 right 的等价性。正是左右对称实际上出现在自然界中这一事实迫使我们引入第二对\psi-分量”。外尔的双旋量版本的狄拉克方程是一个耦合方程组，需要外尔旋量 \psi_{L} 和 \psi_{R} 以保持宇称。韦尔在他的狄拉克方程的双旋量版本中考虑了无质量粒子。在这种情况下，狄拉克方程的双旋量版本的方程解耦，产生 \psi_{L} 和 \psi_{R} 的方程。这些方程彼此独立，2 分量左手 Weyl 旋量 psi_{L} 的方程称为 Weyl 方程；它适用于称为中微子[111]的无质量粒子，中微子是一种自旋\bfrac{1}{2}粒子，于1956年被发现。 Yang (1986, 12) 评论

现在我来看看韦尔的另一项工作，它可以追溯到1929年，被称为韦尔的双组分中微子理论。 1929 年，他在一篇非常重要的文章中发明了这一理论……作为满足大部分物理学要求的数学可能性。但它被他和后来的物理学家拒绝了，因为它不满足左右对称性。 1957 年，人们认识到左右对称性并不完全正确，因此很明显，应该立即重新审视韦尔的这一理论。确实如此，后来从理论上和实验上都证实了这个理论实际上给出了对中微子的正确描述。 [112]

4.5.5群体和量子力学的理论

在 1924-26 年期间，外尔全神贯注于李群的纯数学，海森堡、薛定谔等人已经完成了新的革命性量子力学理论的形式装置的本质。仿佛为了弥补失去的时间，韦尔立即从纯数学回到了理论物理学，并将他的新群论结果应用到了量子力学中。正如 Yang (1986, 9, 10) 所描述的，

在外尔对李群深入研究的过程中，物理学界发生了一场伟大的革命，即量子力学的发展。我们也许永远不会知道韦​​尔对这一发展的最初反应，但他很快就开始行动并研究了新力学的数学结构。结果是 1927 年的一篇论文和后来的一本书，这本书与维格纳的文章以及 Gruppen Theorie und Ihre Anwendung auf die Quanten Mechanik der Atome 一起，在将群论引入量子力学语言方面发挥了重要作用。

Mehra 和 Rechenberg (2000, 482) 在这方面指出：“实际上，我们在前几卷中已经提到了韦尔对矩阵力学（1925 年）和波力学（1926 年初）的早期反应，他们非常热情。因此，我们必须相当坚定地假设，正是他深入参与了半简单连续群理论工作的最后阶段，才阻止了韦尔‘立即行动’。”

韦尔特别擅长处理量子力学新理论的一些数学和基础问题。他数学专业知识的几乎每个方面，特别是他最近在群论方面的工作以及他早期在奇异微分积分方程理论（1908-1911）方面的工作，为他提供了解决许多具体问题的精确工具。新理论提出：希尔伯特空间理论、奇异微分方程、本征函数展开式、对称群和李群的酉表示。

上文杨提到的 Weyl (1927) 论文的标题是 Quantenmechanik und Gruppentheorie（量子力学和群论）。在其中，Weyl 分析了量子力学的基础，并强调了李群在该理论中发挥的基本作用。 [113]韦尔在这篇论文的开头提出了两个问题：（1）我如何得到自伴算子，它代表了一个已知物理系统的给定量，以及（2）这些算子的物理解释是什么从中可以得出哪些物理结果？韦尔提出，虽然冯·诺依曼已经回答了第二个问题，但第一个问题尚未得到满意的答案，韦尔建议借助群论来提供一个答案。

在某种程度上，韦尔 1927 年的论文具有纲领性特征；一年后，他的名著《Gruppentheorie und Quantenmechanik》（群论和量子力学）几乎再次讨论了该论文的所有主题（Weyl（1928））。这本书是根据一位名叫 F. Bohnenblust 的学生在 1927-28 年冬季学期韦尔在苏黎世的讲座中所做的讲义编写的。该书的修订版于 1931 年出版。韦尔在第一版的序言中说道：

还有一次，我带着一本只属于我的数学专业领域、另一半属于物理学的书冒险登上舞台。其外部原因与不久前《Raum Zeit Materie》一书的起源并无太大不同。 1927/28 年冬季学期，由于德拜和薛定谔同时离开，苏黎世突然被剥夺了所有理论物理课程。我试图通过将已经宣布的群论讲座课程改为群论和量子力学课程来填补这一空白。

……

由于多年来我一直深入研究连续群的表示理论，因此在我看来，在这一点上这是一个合适且有用的项目，为数学家在该领域获得的知识提供有机连贯的说明，这样的规模和形式，适合量子物理的要求。

韦尔的书是最早介绍量子力学新理论的教科书之一。正如韦尔在序言中指出的那样，他有必要对量子理论的基础进行简短的说明，以便能够展示群论如何在该理论中找到应用。韦尔建议，如果这本书实现了它的目的，那么读者应该能够从中学习群论和量子理论的本质。韦尔的目标是向物理学家解释数学，向数学家解释物理学。然而，正如 Yang (1986, 10) 在提到 Weyl 的书时指出的那样：

韦尔是一位数学家和哲学家。他喜欢处理概念以及它们之间的联系。他的书非常有名，被认为是深刻的。几乎每一位 1935 年之前出生的理论物理学家的书架上都有一本这本书。但很少有人读过这本书：大多数人不习惯韦尔对物理学结构方面的关注，并对他对概念的强调感到不舒服。对于大多数物理学家来说，这本书太抽象了。

韦尔的书（Weyl（1931b，第 2 版））对于这样一部早期作品来说非常完整，并且涵盖了许多主题。第一章和第三章主要涉及初步的数学概念。第一章介绍了有限维希尔伯特空间的理论，第三章阐述了有限群和紧李群的酉表示理论。第二章的标题是量子理论；它是对新量子理论最早系统、全面的阐述。第四章题为群论在量子力学中的应用，分为四个部分。在题为“旋转群”的 A 部分中，韦尔根据旋转群的酉表示理论对原子光谱理论进行了系统的解释，随后讨论了选择和强度规则。 B 部分的标题是洛伦兹群。在讨论了电子的自旋及其在解释反常塞曼效应中的作用后，韦尔提出了狄拉克的电子相对论量子力学理论，并详细发展了球对称场中的电子理论，包括对光谱的精细结构。在题为“排列群”的 C 部分中，韦尔应用泡利不相容原理来解释元素周期表。接下来，韦尔开发了分析许多物体相对论系统所需的麦克斯韦和狄拉克场的第二量子化。韦尔在第二版的序言中指出，他的处理方法与海森堡和泡利最近的工作是一致的。现在习惯上将这样的主题纳入相对论量子场论的标题下。第四章的最后一部分 D 部分的标题是“量子运动学”；它对前面提到的 Weyl (1927) 论文的第二部分进行了阐述。第五章，题为“对称置换群和对称变换代数”，大部分是纯数学。它被广泛认为是韦尔书中最困难的部分。

总体而言，韦尔的处理相当现代，除了对当时被认为是质子而不是几年后发现的正电子的正电子（反电子）的混淆之外。韦尔非常关心质子与正电子的识别，因为他对离散对称性 \mathbf{C}、\mathbf{P}、\mathbf{T} 和 \mathbf{CPT} 的分析使他得出结论：正电子的质量应等于电子的质量。[114]

4.5.6 Weyl 对离散对称性 \mathbf{C}、\mathbf{P}、\mathbf{T} 和 \mathbf{CPT} 的早期讨论

Weyl (1931b, 2 edn) 分析了狄拉克的电子相对论理论 (Dirac (1928a,b))。尽管该理论正确地解释了电子的自旋，但存在一个问题，因为除了正能级之外，狄拉克的理论还预测存在相同数量的负能级。狄拉克（Dirac，1930）重新解释了该理论，假设所有负能级都被正常占据​​。泡利不相容原理断言两个电子不可能占据相同的量子态，它将防止具有正能量的电子落入负能量状态。狄拉克的理论还预测，其中一个负能量电子可以提升到正能量状态，从而产生一个“空穴”或未占据的负能量状态。这样的空穴的行为就像具有正能量和正电荷的粒子，即像正电子。

因为当时已知存在的唯一基本粒子是电子和质子，所以人们有理由不愿意假设尚未通过实验观察到的新粒子的存在；因此，有人建议将正电子等同于质子。然而，韦尔非常关心质子与反电子的识别。韦尔（Weyl，1928 年，第 2 版，1931 年，VII）在其著作《Gruppentheorie und Quantenmechanik》第二德文版序言中写道：

结合左右、过去和未来、正电和负电互换的量子定律的对称性来讨论质子和电子的问题。目前还没有可以接受的解决方案；我担心，在这个问题的背景下，乌云正在滚滚在一起，形成量子物理学中新的、严重的危机。

韦尔的担忧是有充分理由的。他分析了麦克斯韦-狄拉克方程在离散对称性下的不变性，这些对称性对应于现在称为 \mathbf{C}、\mathbf{P}、\mathbf{T} 和 \mathbf{CPT} 的变换，两者都适用于相对论的情况量子力学和相对论量子场论的情况，并在这两种情况下得出结论：反电子的质量应该与电子的质量相同。因此，在韦尔看来，质子的质量与电子的质量如此不同，构成了物理学中新的严重危机。

在苏黎世联邦理工学院举行的赫尔曼·韦尔百年纪念演讲中，Yang (1986, 10) 引用了韦尔在《Gruppentheorie und Quantenmechanik》第二版序言中的上述引文：

回想起来，这是一段最引人注目的段落。他在这里提到的关于左右互换的物理定律的对称性，是由韦尔和维格纳独立引入量子物理学的。称为宇称守恒，用符号P表示。过去和未来的对称性在1930年还不太被理解。后来被维格纳理解，称为时间反演不变性，用符号T表示。正负电的对称性后来被称为电荷共轭不变性 C。它是改变电的正负号时的物理定律的对称性。据我所知，没有人（在 1930 年绝对没有人）怀疑这些对称性以任何方式相关。我稍后会再讨论这个问题。是什么促使韦尔在 1930 年写下上述这段话对我来说是一个很大的谜。

杨的评论似乎具有误导性，因为这表明韦尔的言论没有充分的理由。然而事实上，Weyl 的陈述完全基于对离散对称性 \mathbf{C}、\mathbf{P}、\mathbf{T} 和 \mathbf{CPT} 的详细分析。 Coleman 和 Korté (2001) 详细表明，Weyl 对这些对称性的处理与今天使用的相同，除了对称性 \mathbf{T} 被 Weyl 视为线性和酉，而不是反线性和反酉。 1931 年，Weyl 在量化麦克斯韦-狄拉克场方程的背景下，对离散对称性（现在称为离散对称性）进行了完整的分析。 \mathbf{C}、\mathbf{P}、\mathbf{T} 和 \mathbf{CPT}。他的变换 \mathbf{C} 和 \mathbf{P} 与今天使用的相同。他的变换 \mathbf{T} 和 \mathbf{CPT} 也非常接近今天使用的变换，只是韦尔的变换是线性和酉的，而不是反线性和反酉的。此外，韦尔从对这些离散对称性的分析中得出了两个非常重要的结论。首先，韦尔宣布时间箭头的重要问题已经解决，因为场方程在他的时间反转变换 \mathbf{T} 下不是不变的。其次，韦尔指出，在他的电荷共轭变换 \mathbf{C} 下场方程的不变性意味着“反电子”的质量必然与电子的质量相同；此外，Weyl的结果是Dirac (1931, 61)放弃将质子指定为反电子角色的主要原因。许多年后，狄拉克 (1977, 145) 回忆道：

那么，我该怎么处理这些洞呢？我能想到的最好的结果是，质量可能与电子的质量不同。毕竟，我的原始理论确实忽略了电子之间的库仑力。我不知道如何将这些纳入考虑范围，这些库仑力可能会以某种模糊的方式引起质量的差异。

当然，很难理解这种差异为何如此之大。我们希望质子的质量接近电子质量的 2000 倍，这是一个巨大的差异，而且很难理解它如何与来自电子之间库仑力的一种微扰效应联系起来。

然而，我不想完全放弃我的理论，所以我把它作为电子和质子的理论提出来。当然，我很快就受到了空穴与原始电子质量不同的问题的攻击。我认为最明确的攻击来自韦尔，他指出，从数学上讲，空穴必须与电子具有相同的质量，这后来成为公认的观点。

狄拉克（Dirac，1971，52-55）在另一处评论道：

但我仍然认为这个基本想法可能有道理，所以我将其作为电子和质子的理论发表，并没有解释质子如何具有与电子如此不同的质量。

赫尔曼[原文如此]韦尔抓住了这个想法。他大胆地说，空穴必须与电子具有相同的质量。现在韦尔是一名数学家。他根本不是物理学家。他只关心一个想法的数学结果，找出可以从各种对称性中推导出来的东西。这种数学方法直接得出这样的结论：空穴必须具有与电子相同的质量。韦尔只是发表了一个直言不讳的声明，即空穴必须与电子具有相同的质量，并且没有对这一说法的物理含义做出任何评论。也许他并不真正关心物理意义是什么。他只关心实现数学的一致性。

狄拉克对韦尔对物理学漠不关心的描述似乎不公平，因为韦尔在他的书的第二版序言中自己的陈述（前面引用）表达了恐惧，“在这个问题的背景下，云层正在滚动在一起形成量子物理学中的新的严重危机”；韦尔确实关心物理学。

韦尔的分析确实对麦克斯韦-狄拉克理论的发展产生了重大影响；然而，正如 Coleman 和 Korté (2001) 所指出的，Weyl 对变换 \mathbf{C}、\mathbf{P}、\mathbf{T} 和 \mathbf{CPT} 的早期分析大部分都输给了随后的研究人员不得不对其进行本质上的重新发明。然而，在这种背景下应该指出的是，施温格（Schwinger，1988，107-129）深受韦尔书的影响。施温格特别提到了韦尔关于离散对称性的工作，并说这项工作“......是我自己关于自旋和统计之间的联系的考虑的起点，最终形成了现在所说的 TCP 或其某种排列” -定理”。

4.5.7 Weyl关于量子力学的哲学观点

韦尔分析了广义相对论和量子力学理论的基础。对于这两种理论，他对理论的数学结构进行了连贯的阐述，对理论假设的实体和定律进行了优雅的描述，并对这些假设如何解释最重要、更直接可观察到的较低层次的现象进行了清晰的说明。在这两种情况下，他还关心理论的建设性方面，即理论的更高层次的假设在多大程度上是必要的。

毫无疑问，对于广义相对论，外尔持有强烈的哲学观点。其中一些观点是用现象学语言表达的，揭示了胡塞尔对韦尔的影响。 Ryckman（2005）的研究《相对论的统治》对韦尔对胡塞尔现象学的取向进行了广泛的描述。另一方面，韦尔的许多哲学观点都是用明确的经验主义现实主义语言表达的。例如，外尔拒绝了庞加莱的几何约定论，有力地论证了时空度量场是物理真实的，是物理真实的结构场（Strukturfeld），它是由物理真实的因果（共形）结构和物理真实的惯性（射影）时空结构或引导场（Führungsfeld）。尽管当时还没有一个完整的认识论上令人满意的解决方案来解决时空度量场的测量问题，但他并没有被阻止提出关于时空度量结构的本体论主张。同样，韦尔有力地提出了时空结构的场体关系本体论。他认为，基于纯粹身体本体论的莱布尼茨或爱因斯坦-马赫形式的关系主义是站不住脚的，实际上在广义相对论的背景下是不连贯的，他提出了一个还原论证，即橡皮泥的例子，以强调必要性除了物体的存在之外，还存在物理上真实的引导场。

然而，与韦尔关于时空理论的诸多哲学观点相反，韦尔关于量子力学地位的哲学立场虽然并非不存在，但并不那么透明。有一些段落，例如以下内容 ((Weyl, 1931b, 2 edn, 44)，论证了光子的真实性。

用于产生光电效应的单色辐射的强度对电子从金属中喷射的速度没有影响，而仅影响该过程的频率。即使强度如此微弱，以至于根据经典理论，穿过给定原子的电磁能需要几个小时才能达到等于光子的量，但效果会立即开始，其发生的点不规则地分布在整个区域。整个金属板。这一事实证明了光量子的存在，其意义不亚于闪烁屏上的闪光对于α射线粒子不连续性质的意义。

另一方面，韦尔（Weyl，1931b）对旧量子理论中“方向量子化”问题以及新量子理论中“解决”该问题的方式的讨论似乎具有明显的工具主义色彩。他在很多地方冷静而精确地描述了量子力学所带来的困境的本质。例如，考虑以下内容（Weyl，1931b，2 edn，67）：