赫尔曼·韦尔的照片（十）

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图 12：天体或恒星 A 发出单色光，该光沿着零测地线 L、L'、\l 点传播到观察者 O。

因此，如果在 A 的固有时间 s_{0}（零测地线 L）从 A 的世界线发出的光锥发生器之一在观察者的固有时间 sigma(s_{0}) 到达观察者 O，则

\tag{42} d\sigma = \left.\frac{d\sigma(s)}{ds}\right|_{s_0} ds.

因此，某个假设的观察者在 A 上测量到的光的频率 \nu_{A} 与在 O 上测量到的频率 \nu_{O} 相关：

\tag{43}\frac{\nu_{O}}{\nu_{A}} = \frac{d\sigma(s)}{ds}。

根据 Weyl (1923c) 的说法，这种关系在任意时空以及源和观察者的任意运动中都成立。 Weyl（1923b，Anhang III）随后将这种关系应用于德西特的世界，并以最低顺序表明，红移与距离呈线性关系；也就是说，韦尔从理论上推导出来的，后来被称为哈勃红移定律。使用斯利弗的红移数据，韦尔比哈勃早六年估计了哈勃常数。 Weyl（1923b，安杭三世）评论：

值得注意的是，基本宇宙论和爱因斯坦宇宙学都不会导致这样的红移。当然，今天我们不能说我们的解释是正确的，特别是因为关于螺旋星云的性质和距离的观点仍然非常需要进一步澄清。

1933 年，韦尔在哥廷根做了一次演讲，其中韦尔 (1934b) 回忆道

根据多普勒效应，恒星的后退运动通过其谱线的红移来揭示，该红移与距离成正比。在这种形式中，德西特的引力方程解通过关于恒星不受干扰运动的假设得到增强，我预测了 1923 年的红移。

4.5量子力学和量子场理论

4.5.1小组理论

在 1925 年至 1926 年期间，Weyl 发表了一系列开创性的论文 (Weyl (1925, 1926a,b,c))，其中提出了经典李群的表示和不变量的一般理论。在这些著名的论文中，Weyl 汇集了 I. Schur 关于 n 维旋转群的不变量和表示的工作以及 É。嘉当关于半单李代数的工作。在此过程中，韦尔利用了不同的数学领域，例如张量代数、不变理论、黎曼曲面和希尔伯特积分方程理论。韦尔本人认为这些论文是他在数学领域最伟大的著作。

群论技术在韦尔的时空分析中发挥的核心作用是导致韦尔提出经典李群的表示和不变量的一般理论的几个因素之一。正是在外尔对空间问题的研究（参见§4.2）的背景下，外尔开始认识到群论对于研究一般物理理论的数学和哲学基础以及处理由空间问题引发的基本问题的价值。特别是广义相对论。

研究提供了另一种动机，导致韦尔提出他的一般表征理论，当时他专门攻击韦尔以及其他未命名的个人，指责他们“忽视了丰富的文化领域（即，不变量），实际上是完全忽略了它”。[89] Weyl (1924c) 立即回复，为特殊线性群 SL(n, \mathbb{C}) 及其最重要的子群，特殊正交群 SO(n, \mathbb{C}) 的不变量理论提供了新的基础以及基于 Capelli 的代数恒等式的特殊辛群 SSp(\bfrac{n}{2}, \mathbb{C}) （对于 n 偶数）。在脚注中，Weyl (1924c) 讽刺地告诉 Study，“即使他 [Weyl] 和 Study 一样精通不变量理论，他也不会在他的《Raum》、《Zeit》、《Materie》甚至《Study》一书中使用符号方法。他在生命最后一口气时也不会提到不变理论的代数完备性定理”。 Weyl 的观点是，在他的《Raum-Zeit-Materie》一书中，张量分析的核指数方法比代数不变量理论的方法更合适。 [90]

虽然这种对导致韦尔关于群论的开创性论文的事件的描述似乎足够合理，但霍金斯（2000）提出了一种更全面的描述，通过引起人们的注意，使韦尔对广义相对论的数学基础的深刻哲学兴趣成为焦点。 Weyl (1924d) 关于张量对称性，根据霍金斯的说法，这在将 Weyl 的研究兴趣转向纯数学方面发挥了重要作用。 [91] Weyl (1949b, 400) 本人指出，他对广义相对论的哲学基础的兴趣激发了他对连续群的表示和不变量的分析：“我可以说，想要了解背后的数学实质是什么的愿望相对论的形式装置引导我研究群的表示和不变量；我在这方面的经历可能并不是独一无二的”。韦尔的论文（Weyl (1924a)）和他关于表示论的著名论文的第一章 Weyl (1925) 具有相同的标题：“张量微积分的群论基础”。霍金斯 (1998) 说，韦尔

通过群论，特别是通过群表示理论（由他自己的贡献增强），他认为这是对张量、张量对称性以及它们代表所有线性量来源的原因的正确数学理解这可能出现在数学或物理学中。他再次认识到群论（现在尤其是群表示理论）对于深入了解相对论提出的数学问题的重要性。与他在空间问题上的工作不同……韦尔现在发现自己所利用的远不止群论的基础知识。 ……当然，嘉当[92]已经表明，空间问题也可以借助表示结果来解决。简而言之，群的表示论已被证明是一个强有力的工具，可以回答因韦尔参与相对论而产生的数学问题。

稍后，Weyl (1939) 写了一本名为《经典群、它们的不变量和表示》的书，在书中他又回到了半单李群的不变量和表示的理论。在这项工作中，他实现了自己的雄心：“通过直接代数构造得出这些群中最重要的群的决定性结果，特别是所有非奇异线性变换的完整群和正交群”。他有意限制对一般理论的讨论，并将本书的大部分内容用于一般线性、特殊线性、正交和辛群的具体结果的推导。 [93]

4.5.2 韦尔对嘉当几何方法的哲学批评

早在 20 年代，伟大的法国数学家和几何学家埃利·嘉当 (Élie Cartan) 就认识到，并行性和仿射联系的概念具有重要的概括性，即 (1) 定义无穷小平行传输概念的空间需要不是本质上由黎曼流形 M 在其每个点处的微分结构产生的切空间；相反，这些空间是一般空间，与 M 的微分流形结构没有内在联系，并且（2）相关群直接在这些一般空间上运行，而不是在流形 M 上运行，因此群起着主导和独立的作用。

韦尔（1938a）发表了对嘉当（1937）著作的批判性评论，其中嘉当进一步发展了他的移动框架（“repères mobiles”）和广义空间（“espaces généralisés”）的概念。然而，Weyl（1988）早在 1925 年就对嘉当的方法表示了一些保留。四年后，Weyl (1929e) 提出了更详细的批评。

嘉当的微分几何方法是对欧几里得几何以两种方式推广这一事实的回应，导致本质上两种不兼容的几何方法。 [94]第一次概括是随着非欧几里得几何的发现以及克莱因 (1921) 随后在 1872 年提出的厄兰格纲领而出现的，该纲领为各种非欧几里得几何提供了一个连贯的群理论框架。欧几里得几何的第二次推广发生在黎曼（1854）发现黎曼几何时。

欧几里得几何的两种推广本质上构成了应用几何的不兼容方法。特别是，虽然克莱因的厄兰格纲领为爱因斯坦的狭义相对论提供了适当的群论框架，但为爱因斯坦的广义相对论提供了适当的基础几何框架的是黎曼几何，而不是克莱因的群论方法。正如嘉当观察到的：

广义相对论将几何学两位主要导师黎曼和克莱因之间存在的对立带入了物理学和哲学。经典力学和狭义相对论的时空是克莱因型的，广义相对论的时空是黎曼型的。 [95]

嘉当通过综合黎曼几何和克莱因的厄兰格纲领，通过对两者的进一步概括，消除了两种方法之间的不兼容性，从而产生了嘉当所说的广义空间（或广义几何）。

在他的厄兰格程序中，克莱因通过表明每种几何都以一组特定的变换为特征，为各种“全局”几何提供了统一的方法：欧几里得几何的特征是平面内的平移和旋转组；球体 S^{2} 的几何形状由正交群 O(3) 表征；双曲平面的几何特征是伪正交群O(1, 2)。在克莱因的方法中，每个几何都是一个（连通的）流形，具有一组自同构，即一个“运动”的李群 G，它传递地作用在流形上，这样两个图形被认为是全等的，当且仅当存在将一个图形转换为另一个图形的适当李群 G 的元素。克莱因意义上的广义几何将重点从底层的流形或空间转移到了群上。因此，克莱因几何（空间）由以下部分组成：（1）光滑流形，（2）李群 G（几何的主群），以及（3）G 在流形上的传递作用。除了“全局”之外，克莱因几何（空间）在其点无法根据几何关系进行区分的意义上是完全同质的，因为传递群作用保留了这种关系。

正如 Weyl (1949b) 所描述的那样，克莱因研究各种“全局”几何的方法非常适合爱因斯坦的狭义相对论：

根据爱因斯坦的狭义相对论，时空点的四维世界是一个克莱因空间，其特征为定群\Gamma；该组是……欧几里得相似组，但有一个非常重要的区别。正交变换，即齐次线性变换，使得

x^{2} _ {1} + x^{2} _ {2} + x^{2} _ {3} + x^{2} _ {4}

不变的洛伦兹的转换必须取代

x^{2} _ {1} + x^{2} _ {2} + x^{2} _ {3} - x^{2} _ {4}

不变的。

然而，随着爱因斯坦一般相对论的出现，重点从全球均匀的几何结构转变为局部不均匀结构。尽管克莱因空间是全球且完全均匀的，但爱因斯坦一般理论的基础riemannian公制结构是局部且不均匀的。一般的riemannian空间承认除了身份以外的NO等轴测图。

Weyl（1923a）指的是Cartan（1923a），他说，Cartan对Klein几何形状的概括包括通过将Klein的Erlanger程序应用于切线平面而不是将Klein的Erlanger程序应用于分类本身而不是将Klein的Erlanger程序改编成无限的几何形状。[96]

Cartan开发了无限几何形状的一般方案，其中Klein的概念被应用于切线平面，而不适用于N维歧管M本身。

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图13：卡坦的概括

上面的图13改编自Sharpe（1997），可能有助于阐明讨论。欧几里得几何形状对里曼尼亚空间（左垂直蓝色箭头）的概括说：

一般的riemannian空间仅在本地近似欧几里得空间。也就是说，在M中的每个点P \中都存在一个切线t（m_ {p}），该空间本质上是由M的基础差分结构产生的。

此外，通过引入曲率，riemannian空间是不均匀的。

类似地，卡坦将克莱因空间的概括（右垂直蓝色箭头）概括为：

Cartan的广义空间\ Sigma（M）仅在本地近似klein空间。也就是说，在m中的每个点上都存在一个“切线空间”，即klein space \ sigma（m_ {p}）。请注意，klein空间\ sigma（m_ {p}）本身是一个均值为零的曲率的广义空间（在cartan的意义上）；它具有完美的同质性。

此外，通过引入曲率，Cartan的广义空间\ Sigma（M）是不均匀的。

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图14：卡坦的广义空间

Cartan的广义空间\ Sigma（M）是所有“切线空间”的空间（即所有Klein空间\ Sigma（M_ {P}）），并包含均匀和不均匀空间的混合物（见图14）。

最后，卡坦对里曼尼亚空间的概括（下部水平红色箭头）（图13）启用了这样一种认识，即cartan意义上的“切线空间”不相同，或者不需要相同，而不是自然出现的普通切线空间从riemannian歧管的基本差分结构。 cartan的“切线空间” \ sigma（m_ {p}）在m中表示，在现代纤维束语言中被称为纤维，其中歧管M被称为纤维束的基本空间。

在Weyl（1929e，1988）和Weyl（1938a）中，Weyl通过指出Cartan的“切线空间”，即Klein Space \ Sigma（M_ {P}），与Cartan的方法相提并论。歧管M，不是由普通切线矢量空间的方式本质上出现的。因此，Weyl指出，有必要将某些非intrinsic嵌入条件强加于\ sigma（m_ {p}），以指定“切线空间” \ sigma（m_ {p}）与歧管M的每个点相关联释义Weyl，情况如下：我们假设我们可以将给定的klein空间的副本\ sigma（m_ {p}）与歧管M的每个点P与klein空间的位移相关联\ sigma（m_ {p}）在m in m in m in m to klein space \ sigma（m_ {p'}）与m in m in m In m in M in o sigma（m_ {p} ）在\ sigma（m_ {p'}）上，通过g组的无限动作。在为每个klein space \ sigma（m_ {p}）选择可允许的参考f框架时，它们的点由正常坐标表示\ xi。任何两个帧f，f'与g中的组元素s \相关，一系列转换f \ rightarrow f'和f'\ rightarrow f''s s in g and t in g in g in g中的s \ f'''和f''g。

到目前为止，关于“切线空间” \ sigma（m_ {p}）的具体具体说明。由于\ sigma（m_ {p}）应该是普通切线空间的概括，该空间本质上是由M的局部差分结构产生的，因此Weyl表明必须将某些嵌入条件强加于klein的正常坐标\ xi上Space \ Sigma（M_ {P}）。

嵌入条件1：

我们必须首先将一个点指定为\ sigma（m_ {p}）的中心，然后要求它们重合或覆盖M。 \ xi on \ sigma（m_ {p}）。而且由于g行为性，因此可以选择\ sigma（m_ {p}）上的普通坐标系\ xi，以使正常坐标\ xi在中心消失，即\ xi^{1} = \ xi^{ 2} = \ cdots = 0。因此，G组G被限制在G离开中心不变的G的所有表示的子组G_ {0}。

嵌入条件2：

切线平面的概念还要求从0开始\ sigma（m_ {p}）的线元素之间有一对一的线性映射，而m的线元素从p开始。这意味着klein空间\ sigma（m_ {p}）的维数的数量与歧管M的数量相同。

嵌入条件3：

无限的位移\ sigma（m_ {p}）\ rightarrow \ sigma（m_ {p'}）将在\ sigma（m_ {p}）的中心携带一个无限向量p \ in m的向量，到\ sigma（m_ {p'}）的中心。

不需要根据Weyl施加进一步的条件。如果我们通过在曲线\ gamma绕的连续步骤取代\ sigma（m_ {p}），然后将\ sigma（m_ {p}）的最终位置从其原始poition或方向获得某些自动形态\ sigma（m_ {p}）\ rightarrow \ sigma（m_ {p}）。这种自动形态是卡坦对Riemann沿曲线\ gamma的曲率概念的概括的概括。

根据Weyl的说法，“切线空间” \ Sigma（M_ {P}）并非由M的差分结构确定。如果G是仿射组，那么上面的条件将完全指定正常坐标系\ xi^{\ alpha} on \ sigma（m_ {p}）作为所选局部坐标的函数。结论是“切线空间” \ sigma（m_ {p}）“尚未由M的本质决定，只要这项工作还没有完成，我们就不能说Cartan的理论仅针对歧管M。” Weyl添加：

相反，在普通意义上，即P的线性元件的线性歧管是P中心的仿射空间。它的G组不是惯例问题。在我看来，这一直是理论的不足……。

读者可能希望咨询Ryckman（2005，171-173），他认为“确实是一种哲学上的争论，现象学是一种现象学，这是既定的数学原因，这使他[Weyl]与Cartan同意了多年”。框架“差异几何形状的方法”。

1949年，韦尔（Weyl）明确承认并赞扬了卡坦（Cartan）的方法。与他较早的批判性言论不同，他现在认为这是一种美德，即\ sigma（m_ {p}）中的参考框架独立于M. Weyl（1949b）上的坐标的选择，并谈到传统方法和Cartan的新方法几何方法：

因此，我们面前有这一观念所基于的自然一般基础。高斯（Gauss）曲面理论引发的几何趋势现在与克莱因（Klein）的Erlanger计划中的其他思想相结合。

不建议将\ sigma_ {p}中的参考框架绑定到覆盖P中P附近的坐标X^{i}。 …[i] n较大的无限几何形状的现代发展，它与拓扑结合和相关的klein空间结合出来，以纤维的名义出现，最好保持纤维，纤维的框架，独立的镜架，基础歧管的坐标。

此外，在1949年，Weyl还强调，如果希望将Dirac的电子理论拟合到一般相对论中，则必须采用Cartan的方法。 Weyl（1949b）说：

当一个人试图将狄拉克的电子理论融入一般相对论时，必须采用cartan方法。对于Dirac的四个\ PSI组件而言，相对于笛卡尔（或Lorentz）框架。一个人知道他们如何转变从一个洛伦兹框架到另一个框架（洛伦兹组的自旋表示）；但是，这种转型定律具有如此性质，以至于它不能扩展到仿射框架之间介导的任意线性变换。

Weyl在这里指的是他的三篇重要论文，这些论文出现在1929年（同年他发表了对Cartan方法的详细批评），他调查了Dirac对特殊相对论电子理论对一般相对性理论的改编。 ，以及他在洛伦兹歧管上的局部两组分纺纱结构的代表中开发四色或维尔贝因形式主义的地方。

4.5.3 Weyl的新规格原理和Dirac的特殊相对论电子

保利（Pauli）在1921年发表的评论文章仅一年后，保利（Pauli）辩称，韦尔（Weyl）对他的统一田野理论的辩护使它从物理的角度剥夺了它固有的令人信服的力量，Schrödinger（1922）提出了Weyl的1918年仪表理论可以可能的可能性。适当地用于电子的量子机械描述中。[97] Fock（1926）和伦敦（1927）随后提出了类似的建议。