赫尔曼·韦尔的照片（九）

强调的是，惯性定律和上述表述的运动定律适用于所有相对论或非偏见，弯曲或平坦，动态或非动力学的时空理论。这些定律的总体特征的原因是，它们仅需要制定时空的局部差异拓扑结构，这是所有时空理论共有的结构。此外，正如§4.2早些时候所指出的那样，仿射和投射的时空结构是G结构。因此，它们可能是平坦的或非平板的。但是他们永远不会消失。在一般相对性出现之前的理论中，仿射和投射结构是平坦的。但是，使用适合这些平坦G结构的坐标系是普遍的做法。而且，由于在这种适应的坐标系统中，仿射和投射结构的组成部分消失了，因此很难认识并欣赏这些结构的存在，及其在提供连贯的运动说明中的重要作用。

4.4.5 Mie的纯领域理论，Weyl的“ Agens理论”

我们看到Weyl有力地提倡一个野外本体论二元论，根据此事物和指导领域是独立的物理现实，它们相互互动：物质独特地产生了指导领域的各种状态，而指导领域反过来又会起作用。关于物质。

Weyl并不总是赞成这个本体论二元论的立场。从1918年到1920年，他提倡在爱因斯坦（Einstein）的相对论特殊理论的背景下于1912年开发的一种纯粹的物质理论：

物质的纯领域理论：

物理领域的独立现实是不可降低的。相反，物理场是所有物质的构成意义上，从某种意义上说，材料粒子的质量（物质数量）（例如电子）由集中在很小的时空区域中的大场能组成。

MIE的物质理论类似于物质的传统几何观点：物质是被动和纯粹的扩展。 Weyl（1921b）指出，他在Weyl（1923b）的前三个版本中采用了古典纯粹的物质理论，因为它的美丽和统一性，但随后放弃了。 Weyl（1931a）在Rouse Ball的讲座中指出，自从一般相对论的理论几何学理论将物理实体（重力场）引力，因此自然要试图将整个物理学几何化。在量子物理学出现之前，关于重力和电磁主义是自然的唯一基本实体，并通过对两者的几何形式来寻求其统一是有道理的。一个人可以希望以Gustav Mie的例子构建基本物质颗粒作为引力 - 电磁场中的能量打结，即，在该区域的微小划分区域中，该域的幅度会达到很高的值。

在1920年底，Weyl在给Felix Klein [78]的信中表明，他终于完全摆脱了Mie的物质理论。在他看来，古典物质理论不是现实的关键。在Rouse Ball演讲中，Weyl添加了两个原因。

首先，由于量子力学，除了电磁波外，还由Schrödinger的波函数\ psi代表的物质波（Materiewellen）。 Pauli和Dirac认识到\ psi不是标量，而是具有多个组成部分的大小。因此，从物质的经典领域理论的角度来看，不是两个，而必须统一三个实体。此外，鉴于波函数的转换特性，韦尔说，可以肯定的是，幅度\ psi不能简化为引力或电磁作用。 Weyl清楚地看到，这种物质或物理学的几何观点（在一定程度上也激发了他的早期结构和表现方式，纯粹的无限几何形状 - 鉴于原子物理学的新发展是站不住脚的。

韦尔说，第二个原因是对波函数的根本新解释，该解释用强度概念用概率取代。只有通过这种统计解释，自然界的菌血和原子方面才得到适当认可。新的量子理论不是对物质的经典田地理论的几何处理，而是需要对物质进行统计处理。[79] Weyl（1920）已经在1920年解决了物理学的因果和统计方法之间的关系。[80]

Weyl（1921b）明确地告诉我们，一般相对论的总体相对论以及早期发展的理论表明，重要的是独特地决定了该领域，并且存在更深层的基本物理定律，现代物理（例如量子理论），例如量子理论，关心，其中指定了“该领域如何受到物质影响”。也就是说，经验告诉我们，物质扮演着一种因果因素的作用，该因果因素独特地决定了该领域，因此具有独立的物理现实，无法将其降低到其行为的领域。

Weyl (1921b, 1924e) 将他的物质理论称为 Agenstheorie der Materie（字面意思是物质代理理论）：

物场二元论（韦尔的阿根斯物质理论）：

物质和场是独立的物理现实，它们彼此因果地相互作用：物质独特地产生场的各种状态，而场反过来又作用于物质。激发场是物质的基本功能。场的功能是对物质的作用做出反应，因此是次要的。场的次要作用是传递物质引起的效应（从一个身体到另一个身体），从而反过来影响物质。

韦尔认为，物质唯一决定领域的观点是对立本体论立场的必要假设。该假设本质上是说物质是唯一真正真实的东西。根据这一本体论观点，年轻的爱因斯坦和其他提倡马赫经验主义的人在一定程度上持有这种观点，场被降级为扮演一种微弱的广泛媒介的角色，它将效应从一个身体传递到另一个身体。 [81]根据这种相反的本体论观点，场定律，即场的各种可能状态之间的某些隐含的差异联系，在此基础上场本身就能够传递由物质引起的效应，本质上已经不再具有任何意义。根据早期的观点，几何定律比几何定律更能说明现实。但正如我们之前看到的，外尔认为，只要我们坚持爱因斯坦-马赫经验主义的立场，就无法对运动问题给出令人满意的解决方案，该立场将场降级为微弱的广泛介质的作用，并且不承认引导场是物理真实的。然而，从外尔的阿根斯物质理论的角度来看，可以对马赫悖论给出令人满意的答案：一个静止的均匀弹性球体在旋转时会在赤道处凸出，在两极处变平，这是由于事实上，由身体和引导场组成的完整物理系统在旋转情况下与静止情况下是不同的。局部引导场是惯性力的真正原因。

韦尔列出了两个支持他的物质代理理论的理由。首先，物质的行动理论是唯一与生命和物理学基本经验相一致的理论：物质产生场，我们所有的行为最终都涉及物质。例如，只有通过物质，我们才能改变场。其次，为了理解带电物质粒子存在的事实，我们有两种可能：要么追随米氏，采用物质的纯场论，要么提升物质的本体论地位，将其视为物质的真实奇点。场，而不仅仅是时空微小区域中场能的高度集中。由于米氏的方法必然局限于狭义相对论的框架，并且广义相对论中没有空间对经典场定律进行概括和修改，正如米氏在狭义理论背景下所设想的那样根据相对论，韦尔采用了第二种可能性。他这样做的动机是认识到静止电子的场方程包含一个有限质量项 m，该项似乎与相关场的能量无关。韦尔随后用电磁场能量对质量进行了分析，给出了质量的定义和力学基本方程的推导，并引导韦尔发明了时空虫洞的拓扑思想。韦尔没有使用“虫洞”这个词；后来约翰·惠勒 (John Wheeler) 在 1957 年创造了“虫洞”一词。韦尔则提到了一维管子。这些管子的“内部”不存在空间，它们的边界类似于无限的距离，难以接近；他们不属于该领域。惠勒（Wheeler，1994）在题为“赫尔曼·韦尔和知识的统一”的一章中说，

外尔给我们提供的关于电的本质的另一个见解是拓扑性质的，可以追溯到 1924 年。我们仍然不知道如何正确评估它或如何将它纳入物理体系，尽管随着时间的推移，它受到越来越多的关注。这个想法很简单。虫洞穿过空间，就像空气通道穿过瑞士奶酪一样。电不是电。电是空间拓扑中的电力线。

4.4.6 相对论宇宙学和Weyl的假设

爱因斯坦（1916）建立了他的新广义相对论的场方程一年后，爱因斯坦（1917）首次将他的理论应用于宇宙学。在此过程中，爱因斯坦做出了几个假设：

宇宙学原理：

和牛顿一样，爱因斯坦也认为宇宙的物质分布是均匀且各向同性的。

静态宇宙：

与牛顿和当时大多数宇宙学家一样，爱因斯坦假设宇宙在大尺度上是静态的。

马赫原理：

爱因斯坦认为，度量场完全是由物体的质量决定的。度量场是通过场方程的能量动量张量确定的。

迄今为止，宇宙学原理在宇宙学建模中继续发挥着重要作用。然而，爱因斯坦关于宇宙是静态的第二个假设与他的场方程相冲突，场方程允许宇宙模型是均匀和各向同性的，但不是静态的。在这方面，爱因斯坦所面临的困难与牛顿所面临的困难基本相同：一个包含无限数量恒星的无限容器的静态牛顿模型是不稳定的；也就是说，局部区域会在重力作用下塌陷。由于爱因斯坦致力于马赫原理，他面临着一个有关包含有限物质的无限空间的边界条件的问题。 [82]爱因斯坦认识到，按照马赫原理的要求，选择边界条件使得度量 g_{ij} 的十个势能完全由能量动量张量 T_{ij} 决定是不可能的。也就是说，“无穷远平坦”的边界条件需要一个与无穷远平坦的空旷空间相关联的全局惯性系，因此与空间的质能含量无关，这与马赫原理相反，根据马赫原理，只有质量 -能量可以影响惯性。

爱因斯坦认为，通过在场方程中引入宇宙学术语\Lambda，他可以解决无限远边界条件不满足马赫原理的不稳定非静态宇宙的困难。他证明，对于正值的宇宙常数，他的修正场方程承认静态[83]宇宙的解，其中空间是弯曲的、无界的和有限的；也就是说，空间是四个维度的球体的超曲面。爱因斯坦的空间封闭宇宙通常被称为爱因斯坦的“圆柱”世界：在两个空间维度被抑制的情况下，模型宇宙可以被描绘成一个圆柱体，其中半径A代表空间，轴代表时间坐标。

数字

图 9：爱因斯坦宇宙

根据爱因斯坦的马赫主义信念，由于惯性仅由物质决定，因此在没有物质的情况下就不会有惯性结构或惯性场。因此，爱因斯坦推测，如果表示宇宙质能含量的能量动量张量 T_{ij} 是，则不可能找到场方程的解，即确定度量 g_{ij}零。爱因斯坦认为，静态宇宙不存在“真空解”，这表明马赫原理已成功融入他的广义相对论。爱因斯坦还相信，由于各向同性和同质性的假设，他的解决方案是独特的。 [84]

然而，爱因斯坦错了。 1917 年，荷兰天文学家威廉·德西特发表了包含宇宙常数的爱因斯坦场方程的另一个解。德西特的解表明爱因斯坦的解不是他的场方程的唯一解。此外，由于德西特的宇宙是空的，它为爱因斯坦希望马赫原理成功融入他的理论提供了直接的反例。 [85]

有些宇宙学家，如爱因斯坦，赞成马赫原理的某种版本，并相信各种物理场所满足的局部定律是由宇宙的大尺度结构决定的。另一方面，也有像韦尔这样的宇宙学家采取保守的态度。他们采用经经验证实的局部定律，并研究这些定律对整个宇宙可能意味着什么。韦尔强调，我们对宇宙大尺度结构的理解必须基于在当地得到验证的理论和原理。爱因斯坦的广义理论是局部场论；与电磁学一样，它是一种紧密作用理论。[86]韦尔（1924b）说：

在我看来，人们可以掌握相对论的具体物理内容，而无需对宇宙质量与惯性之间的因果关系采取立场。

并且，参考 (G)，（参见第 4.4.3 节末尾的引文），它说“引导是一个物理场，就像电磁场一样，它与物质相互作用。万有引力属于引导场而不是力”，Weyl (1924b) 说：

到目前为止，我在 G 的两句话中所介绍和简要阐述的内容，仅对物理学产生了影响，并成为对相对论问题的实际个人研究的基础。马赫原理，根据该原理，恒星以神秘的力量干预地球上的事件，远远超出了这个[G]，到目前为止还只是纯粹的猜测；它仅仅具有宇宙学意义，在天文学观测到整个宇宙[Weltganze]而不仅仅是一个恒星岛[Sterneninsel]之前，它对自然科学并不重要。如果我不必承认在相对论的基础上构建一幅宇宙整体图景是很诱人的话，我们可以不回答这个问题。

韦尔的主张是，由于广义相对论本质上是一种局域场论，因此它的有效性和合理性本质上独立于全球宇宙学考虑。然而，如果我们希望将这种全局考虑引入到我们的局部物理学中，那么我们只能基于额外的假设，例如已经提到的宇宙原理。 1923 年，Weyl (1923b, §39) 引入了另一个宇宙学假设，即所谓的 Weyl 假设。德西特的解决方案和 1920 年代初期的新天文学发现表明宇宙不是静止的而是在膨胀，导致人们对宇宙本质的思考发生了巨大变化，并对爱因斯坦的静止宇宙模型产生了越来越多的怀疑。 1923 年，Weyl（1923b，§39）在 Raum Zeit Materie 第五版中指出，尽管爱因斯坦的宇宙学很有吸引力，但它存在严重缺陷。韦尔首先指出光谱结果表明恒星有年龄。韦尔继续说道，

我们所有关于恒星分布的经验都表明，星空的现状与“统计最终状态”无关。恒星的小速度是由于共同的起源而不是某种平衡；顺便说一句，根据观察，排列彼此之间的距离越远，平均速度就越大。天文学事实并不是物质的均匀分布，而是导致了这样一种观点：单个恒星云在广阔的真空中滑行。

韦尔进一步指出，德西特表明，爱因斯坦的宇宙引力方程有“一个非常简单的正则解”，而空时空，即“曲率不为零的度量齐次时空”，毕竟与这些方程兼容。韦尔说，德西特的解决方案总体上不是静态的，它迫使我们放弃对静态宇宙的偏好。

爱因斯坦和德西特宇宙都是具有两个独立边缘的时空，即无限遥远的过去和无限遥远的未来。抛开两个空间维度，我们将爱因斯坦的宇宙想象为具有一定半径的直圆柱体的表面，而德西特的宇宙则想象为单片双曲面。两个表面都是在两个方向上无限延伸的表面。爱因斯坦宇宙和德西特宇宙都从永恒的过去延伸到永恒的未来。然而，与德西特的宇宙不同，在爱因斯坦的宇宙中，“度量关系使得从世界点发出的光锥自身折叠无数次。因此，观察者应该看到一颗恒星的无限多个图像，向他展示恒星处于经过亿万年的状态，即光绕地球一周所需的时间。”韦尔（1930）说：

......我从德西特的解决方案开始：根据其度量构成，世界具有四维“球体”（双曲面）的特征

\tag{39} x^{2}_{1} + x^{2}_{2} + x^{2}_{3} + x^{2}_{4} - x^{2} _{5} = ^{2}

在五维准欧几里得空间中，线元素

\tag{40} ds^{2} = dx^{2}_{1} + dx^{2}_{2} + dx^{2}_{3} + dx^{2}_{4} - dx^{2}_{5}。

该球体与狭义相对论的世界具有相同程度的度量同质性，可以将其视为同一空间中的四维“平面”。然而，平面只有一条相连的无限遥远的“接缝”，而球体最突出的拓扑性质却被赋予了两条——无限遥远的过去和无限遥远的未来。从这个意义上讲，人们可能会说德西特解中的空间是封闭的。然而，另一方面，它与著名的基于质量均匀分布的爱因斯坦解的区别在于，属于世界点的未来零锥体不与其自身重叠；从这个因果意义上来说，德西特空间是开放的。

在这个双曲面上，一颗恒星（后来的语境中为星云或星系）A，也被韦尔称为“观察者”，追踪测地线世界线，从恒星世界线的每个点，一个光锥通向未来并充满D 区，韦尔称之为恒星影响域。在德西特的宇宙学中，这个影响域仅覆盖了双曲面的一半，而韦尔表明，假设双曲面的这一半对应于现实世界是合​​理的。

数字

图 10：德西特双曲面，影响域 D 覆盖一半双曲面和恒星世界线。

根据韦尔的说法，有无数的恒星或测地线与任意选择的恒星 A 具有相同的影响范围；他说，它们形成了一个自古以来就因果关联的系统。这样一个由因果相互关联的恒星组成的系统，外尔将其描述为具有共同起源的恒星，这些恒星都位于无限遥远的过去。这样一个恒星系统的世界线束在双曲面总范围的无限小部分上朝无限遥远的过去的方向汇聚，并在不断增加的范围内朝未来的方向发散。双曲面。韦尔选择挑选出一组特定的不相交的类时测地线作为构成宇宙学基础，这就是韦尔公设的内容。韦尔（1923b，295）说：

这个假设是有启发性的，我们所知道的所有天体都属于这样一个单一的系统。这可以解释恒星由于其共同起源而具有如此小的速度。

从静态宇宙到动态宇宙的转变开启了无序宇宙的可能性，其中星系可能发生碰撞，也就是说，它们的世界线可能相交。粗略地说，韦尔假设指出，实际的宇宙是一个有序的宇宙。它说星系的世界线形成了与空间超曲面层正交的 3 束不相交的[87]测地线。

数字

图 11：韦尔假设

由于在天文邻域上延伸的每个星系集合中物质的相对速度都很小，因此我们可以近似星系的“模糊”运动，并引入一种填充空间的基质或流体，并且星系在其中像“基本运动”一样运动。粒子”。[88]韦尔的假设说，与这种模糊运动相关的观察者构成了宇宙观察者的特权阶级。由于测地线不相交，根据外尔公设，存在且仅有一条穿过每个时空点的测地线。因此，物质在任何时空点都具有独特的速度。因此，该流体可视为完美流体；这就是外尔公设的本质内容。

由于根据韦尔假设，星系的测地线与一层类空间超表面正交，因此可以引入坐标 (x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3})，使得类空间超曲面由 x^{0} = 常量给出，并且类空间坐标 x^{\alpha} (\alpha = 1, 2, 3) 沿每个测地线是常量因此，类空间坐标 x^{\alpha} 是沿着每个星系测地线的共动坐标。正交条件允许选择时间坐标 x^{0}，使得度量或线元素具有以下形式

\begin{align} ds^{2} &= (dx^{0})^{2} - g_{\alpha \beta}dx^{\alpha}dx^{\beta} \\ \tag{41} &= c^{2}dt^{2} - g_{\alpha \beta}dx^{\alpha}dx^{\beta}, \end{align}

其中ct = x^{0}，x^{0}称为宇宙时，t是任意星系的本征时。因此，类空间超表面是相对于宇宙时间 x^{0} 的同时性表面。宇宙学原理反过来告诉我们，这些同时性超曲面是均匀且各向同性的。

随后，罗伯逊和沃克独立地通过假设韦尔假设和宇宙学原理，能够对最一般的度量进行精确的数学推导。

4.4.7发现哈勃策略

韦尔对他的公设的引入使他能够对宇宙红移提供第一个令人满意的处理。考虑一个光源，比如一颗恒星 A，它发出单色光，沿着零测地线 L, L',\ldots 传播到观察者 O。令 s 为光源的本征时间，令 σ 为本征时间则光源 A 的世界线上的每个点 s 都对应观察者 O 的世界线上的一个点，即 sigma = sigma(s)。