赫尔曼·韦尔的照片（七）

时空中的物理动力学量，例如四维时空连续体上的几何结构场，可以描述为范围在四维数空间 R4 上的变量点的函数。人们不会将时空点视为真实的实体，也不会将任何关于场的讨论视为描述点之间几何关系的一种便捷方式，而是将诸如射影场、共角因果场、仿射场和度量场等几何场视为真实的。具有动力学特性的物理实体，例如能量、动量和角动量，而场点只是数学抽象。时空并不是旧以太概念意义上的媒介。这里不存在那种意义上的以太。正如电磁场不是介质的状态，而是构成不可简化为其他任何东西的独立现实一样，根据韦尔的说法，几何场是独立的不可约物理场。 [66]

给定类型的一类几何结构域由特定的李群来表征。属于给定类的几何结构域在每个点 p∈M 处都有一个微对称群（参见定义 4.1），它与作为该类特征的李群同构。在相对论中，这个微对称群与洛伦兹群同构，并且留下洛伦兹签名的伪黎曼度量不变。

从现代数学的角度来看，不同类型的几何结构场可以表示为流形 M 上适当纤维束的横截面；也就是说，非晶流形 M 具有与其相关的各种几何场，这些几何场是从流形 M 到 M 上相应的丛空间的某种映射（称为横截面）。 [67]特别是，爱因斯坦的广义相对论假设了一个物理场，即度量场，从数学上来说，它可以被表征为 M 上洛伦兹签名的非简并、二阶、对称、协变张量束的横截面。 Weyl (1931a, 336) 谈到这个世界结构时说：

然而，无论如何准确、完整地描述这种结构，也无论其内在基础是什么，所有自然法则都表明，它对物理事件的演化构成了最具决定性的影响：刚体和时钟的行为几乎完全由度量结构，就像无力质点的运动模式和光源的传播一样。只有通过这些对具体自然过程的影响，我们才能认识到这种结构。

韦尔的观点与几何约定主义和某些形式的关系主义截然相反。根据韦尔的说法，我们通过物理现象的行为发现了一个已经确定的时空度量结构。物理对象的度量关系由物理场（度量场）决定，度量场由二阶度量张量场表示。与几何约定论相反，时空几何与刚性棒、理想时钟、光线或自由落体粒子无关，除了提供有关物理真实度量场的信息的导数意义外，根据韦尔的说法，该度量场与物理真实度量场一样物理真实。电磁场，它决定并解释了传输下同余标准的度量行为。韵律领域具有物理和计量意义，而计量意义并不在于仅仅阐明刚性杆或理想时钟之间的关系。

特殊时空理论、一般时空理论以及非相对论时空理论都假设了事件必须满足的各种结构约束。当以物理方式解释时，这些数学结构或约束对应于物理结构场（Strukturfelder）。与电磁场类似，这些结构场作用于物质，并且在广义相对论的背景下，反过来又受到物质的作用。 n 维流形 M 的唯一属性是那些属于流形概念的属性，Weyl (1918b) 在物理上将其解释为一个 n 维空世界，即一个既没有物质也没有场的世界。另一方面，n 维流形 M 是仿射连通流形，Weyl 在物理上将其解释为充满引力场的 n 维世界，赋予射影结构的 n 维流形 M 表示 n 维流形充满惯性引力场的非空世界，或者韦尔所说的引导场（Führungsfeld）。类似地，具有洛伦兹型共形结构的 n 维流形 M 代表一个充满因果场的非空 n 维世界。最后，赋予度量结构的n维流形M可以在物理上被解释为充满度量场的n维非空世界。

4.3.2 因果和惯性场最终确定

物理时空的数学模型是四维伪黎曼流形。 Weyl (1921c) 区分了该模型的两个原始子结构：共形结构和射影结构，并表明共形结构对控制光传播的因果场进行建模，而射影结构则对控制所有自由（落体）的惯性或引导场进行建模运动，唯一确定度量。也就是说，Weyl (1921c) 证明了

定理4.3

度量空间的射影和共形结构唯一地确定了度量。

流形上的度量 g 决定了流形上的一阶共形结构，即共形相关度量的等价类

[g]={

￣

克

∣

￣

克

=eθg}。

度量 g 还唯一地确定了流形上的对称线性连接 Γ。在保形变换下

g→eθg=

￣

克

,

对称线性连接分量的变化由式(14)给出，即

γ

我

jk

→

￣

γ

我

jk

= γ

我

jk

+

1

2

(δ

我

j

θk+δ

我

k

θj−gjkgirθr)。

因此，度量的所有任意共形变换的集合得出共形相关对称线性连接的等价类 K。该等价类 K 构成了流形上的二阶共角结构，等价类中任意两个连接之间的差由式（29）给出。 Weyl 表明，当且仅当 θj=0 时，共形变换 (29) 保留射影结构，因此是射影变换（即，也满足 (7) 的共形变换），在这种情况下，共形和射影结构Weyl 在证明后评论道：

如果我们在现实世界中能够辨别因果传播，特别是光传播，而且如果我们能够识别和观察遵循引导场的自由质量点的运动，那么我们能够仅凭此读取公制字段，而不依赖于时钟和刚性杆。

在其他地方，Weyl (1949a, 103) 说：

事实上，可以证明，世界的计量结构已经完全由其惯性和因果结构决定，因此测量不必依赖于时钟和刚体，而是在光信号和质点的影响下移动。仅靠惯性就足够了。

在任何一种理论的背景下，使用时钟和刚性杆都是不受欢迎的权宜之计，原因有两个。首先，由于空间和时间间隔都不是狭义相对论和广义相对论的四维时空的不变量，所以不变的时空间隔ds不能直接通过标准钟和刚性棒来确定。其次，刚体和周期系统（例如摆或原子钟）的概念不是基础概念，也不是理论上自给自足的概念，而是涉及以量子理论原理为基础的假设，因此超出了当前概念相对论框架的范围。因此，方法论和本体论的考虑显然有利于韦尔的因果惯性方法来确定时空度量。

从物理角度来看，韦尔强调了光传播和自由（落体）运动分别在揭示共形因果结构和射影结构中的作用。然而，从数学的角度来看，Weyl并没有直接使用这两种结构，而是为了从它们及其相容关系——度量域——推导出来。相反，韦尔将度量结构和仿射结构视为基础，并通过数学抽象表明，共角结构和射影结构分别由这些结构产生。

数字

图 7：Weyl 以度量结构和仿射结构为基础，并通过数学抽象表明，共角结构和射影结构分别由它们产生。

4.3.3 Ehlers，Pirani，计算器惯性方法的Schild构造

埃勒斯等人。 （1972）通过直接从共形场和射影场导出度量场来推广韦尔的因果惯性方法，并导出一个独特的伪黎曼时空度量，该度量仅作为一组自然的、物理上有充分动机的、建设性的“几何-关于光传播和自由（下落）运动的入射和微分特性的“自由”公理。埃勒斯、皮拉尼和希尔德采用赖兴巴赫（Reichenbach，1924）的术语“构造性公理学”来描述他们的方法的本质。 “无几何”公理是关于自由（下落）运动和光传播的一些一般定性假设的命题，这些假设可以通过经验直接验证，而不需要以广义相对论的成熟大厦为前提。从这些公理出发，逐步重构了该理论的理论基础。

时空结构的构造性公理方法大致是这样的：

原始观念。构造性公理方法基于三组集合

⟨M,P,L⟩

分别对应于事件、粒子路径和光线的概念的对象，它们被视为原始的。假设事件集 M 具有具有可数基础的 Hausdorff 拓扑，以便通过使用“邻域”等术语来陈述局部公理。集合 P={P,Q,P1,Q1,…} 和 L={L,N,L1,N1,…} 的成员是 M 的子集，表示时空中大质量粒子和光线的可能或实际路径。

差异化结构。微分结构不是预设的；相反，通过前几个公理，在事件集 M 上引入微分流形结构，该结构足以通过局部坐标（例如雷达坐标）来定位事件。一旦通过粒子和光线引入局部雷达坐标（使得任意两个雷达坐标彼此平滑相关），赋予 M 微分流形结构，就可以对 M 进行微积分，可以说正切和方向空间。

需要强调的是，P 的成员代表任意大质量粒子的可能或实际路径，这些粒子可能具有某种内部结构，例如高阶引力和电磁多极矩，因此可能以复杂的方式与各种物理场相互作用。为了建设性地建立时空的射影结构，有必要选出P的一个子集，即Pf，球对称电中性粒子的可能或实际路径的集合（即自由落体粒子的世界线）然而，只有在坐标系（微分结构）可用之后，才能正确表征集合Pf⊂P，因此，在导致时空局部微分结构的公理的陈述中必须使用任意粒子。

二阶共形结构。因果律断言时空中存在独特的一阶共角结构 (27)，即无穷小的光锥场。

仅确定空单方向。因此，该结构没有确定沿着光线的参数的特殊选择。仅使用局部微分拓扑结构即可测量一阶共形结构。此外，通过仅涉及微分的纯数学过程，一阶共形结构确定二阶共形结构，即共形相关对称线性连接的等价类K。

射影结构。受引导场控制的自由落体粒子的运动揭示了时空测地线，即对应于投影等效对称线性连接的等价类Π的测地线。仅确定测地线单向，即，在表征自由落体运动时不涉及参数的特殊选择。

共形结​​构和射影结构之间的兼容性。根据 Ehlers、Pirani 和 Schild 的说法，高能实验表明共形结构和射影结构是兼容的：“大质量粒子 (m>0) 虽然总是比光子慢，但可以任意紧密地追逐光子。因此，Ehlers、Pirani 和 Schild 假设共形结构和射影结构之间存在相容性公理，这导致了 Weyl 空间：如果射影结构和共形结构相容，则交集

Π∩K=Γ（Weyl 连接）

共形等效对称线性连接的等价类 K 和射影等效对称线性连接的等价类 Π 包含唯一的对称线性连接，即 Weyl 连接。因此，光传播和自由（下落）运动揭示了时空上独特的韦尔连接，它决定了向量的平行传输，保留了它们的类时、零或类空间特征，并且对于任何一对非零向量，韦尔连接使比率保持不变它们的长度和它们之间的角度，前提是矢量沿着相同的路径传输。

伪黎曼度量。由于长度传递在 Weyl 空间中是不可积的（即路径相关），因此当且仅当 Weyl 的长度曲率 (Streckenkrümmung) 张量等于 0 时，Weyl 几何简化为伪黎曼几何，在这种情况下，Weyl 的长度并行传输下向量是路径无关的，并且不存在第二时钟效应。

4.3.4 因果惯性方法的哲学意义

是否可以说，埃勒斯、皮拉尼和希尔德对韦尔确定时空度量的因果惯性方法的概括构成了一种不受惯例约束的、在相关方面独立于理论的证据体系，可以在时空几何之间做出裁决，从而在时空几何之间做出裁决假设它们的时空理论？正如韦尔所示，只要满足某些认知条件，即只要我们能够测量共形因果结构，并且只要“我们能够识别和观察自由质量点的运动”，我们就可以凭经验确定度量场。遵循引导场。”对埃勒斯、皮拉尼和席尔德的构造性公理学的批评表明，因果惯性方法并非不受约定俗成的影响，并且它在认识论上无法有效地为几何实在论和有利于实在论的约定主义之间的争论提供可能的解决方案。基本上，针对埃勒斯、皮拉尼和席尔德的构造性公理学的所有指控都集中在大质量粒子在其构造中所扮演的角色上。埃勒斯、皮拉尼和希尔德采用的构造公理之一，即射影公理，是对惯性定律、自由（落体）运动定律的无穷小版本的陈述，其中包含牛顿第一运动定律作为特例。没有引力。由于埃勒斯、皮拉尼和希尔德没有提供一个独立的、非圆形的标准来表征自由（下落）运动，他们的方法被诸如 Grünbaum (1973)、Salmon (1977)、Sklar (1977) 等哲学家指责为圆形。 ）和温妮（1977）。

这是一个很熟悉的问题；如何引入一类首选运动，即如何表征控制自由粒子 Pf 运动的特定路径结构，即中性、球对称、非旋转测试体，同时避免周围的圆度问题自由粒子的概念：了解物体何时不受力作用的唯一方法是观察物体作为自由粒子沿着时空测地线移动。但是，在不知道测地线或时空射影结构的情况下，如何确定哪些粒子是自由的，哪些不是呢？为了确定时空的射影结构，有必要使用自由粒子。

Coleman 和 Korté (1980) 通过提供一种用于射影结构的经验确定的非常规程序来解决这些和相关的困难。 [68]

值得强调的是，韦尔的微分几何方法，其中仿射、射影和共形结构被单独对待，而不仅仅是度量的各个方面，这对于他发现非圆形和非常规测地线起了重要作用。时空度量的经验确定方法。 “大地路径”的古老概念在经典的度量几何形状和“地球阶段”的背景下以其曲线的极端曲线为特征，这是指标的前提。是Weyl独立于对称线性连接的公制构造，这使他引入了路径的几何形状，并且就其切线方向的自动平行性过程而言，地球路径的无关表征。

4.4运动定律，马赫的原理和韦尔的宇宙学假设

Weyl对运动概念的一般概念/数学澄清，该运动概念适用于基于差分歧管的任何时空理论。特别是，韦尔的穿透分析表明，爱因斯坦对马赫原理对相对和宇宙学的一般理论的作用和意义的理解实际上与一般相对性的基本原理不一致。

Weyl对宇宙学的主要贡献被称为“ Weyl的假设”。该名称是由Weyl（1926d）本人在《大不列颠百科全书》中的一篇文章中创造的。[69]根据Weyl的假设，所有星系的世界线都是没有相互作用的分歧大地测量学，它们在遥远的过去具有共同的起源。从这个世界系统中，Weyl得出了一个共同的宇宙时间。在他的假设的基础上，Weyl（1923C，附录III）也是第一个表明银河光谱和距离的红移之间有大致线性关系的人。韦尔基本上在哈勃在哈勃在1929年提出的六年之前就发现了哈勃法律。对宇宙学的另一个贡献是Weyl（1919b）球形对称的静态精确解决方案，对爱因斯坦线性化[70]场方程。

4.4.1运动定律和马赫的原则

基本上有两种方法可以理解马赫的原理：（1）马赫的原理拒绝时空惯性结构的绝对特征，（2）马赫的原理拒绝时空本身的惯性结构。版本（2）的特征是莱布尼兹相对论或身体关系主义；也就是说，通过相对运动，只有相对于其他可观察到的身体或可观察到的身体参考帧的身体运动。人体相对于绝对空间或空间（牛顿）或时空的惯性结构的相对运动被排除在认识论和/或形而上学的基础上。

在他的相对论一般理论的背景下，爱因斯坦在牛顿力学中反对的是什么，而这意味着特殊相对论的理论是惯性结构的绝对特征。他没有断言自己的虚构人物。也就是说，相对论的一般理论通过将惯性结构视为动力学而不是绝对的，将MACH的原理纳入了MACH的原理。

然而，爱因斯坦还试图通过将马赫原理（2）版本（2）纳入相对论的一般理论中来扩展和概括相对论的特殊理论。爱因斯坦（Einstein）受到马赫（Mach）的经验主义计划的深刻影响，并接受了马赫（Mach）坚持可观察到的经验事实的首要地位：只有可观察到的经验事实才能被援引以说明运动现象。结果，爱因斯坦限制了身体之间相对运动的相对运动的概念。牛顿认为，福柯钟摆的平面仍然与绝对空间保持一致。由于固定的恒星相对于绝对空间处于静止状态，因此福柯的摆平面也与它们保持一致，并相对于地球旋转。但是，根据爱因斯坦的说法，牛顿的绝对空间中介概念是可疑的，这是不必解释福柯摆的行为。不是绝对的空间，而是整个宇宙的固定恒星的实际质量指导福柯摆的平面。

爱因斯坦（Einstein，1916）认为，相对论的一般理论从相对论的特殊理论和牛顿理论中消除了固有的认识论缺陷。 Mach的悖论（即爱因斯坦的两个流体体A和B的例子）将后者揭露，它们是围绕一个公共轴的恒定相对旋转。关于每个球的赤道凸起的程度，尽管在每种情况下这两个物体的相对旋转都是相同的，但无限的许多状态是可能的。爱因斯坦（Einstein）认为A是球体，而B是一个块状球体。悖论在于一个事实是，没有很容易辨别的理由解释了一个尸体凸起，而另一个身体则没有。根据爱因斯坦的说法，对这种悖论的认识论令人满意的解决方案必须基于“可观察到的经验事实”。爱因斯坦想根据动作的莱布尼兹 - 玛奇人关系概念，根据该概念，所有运动都应将其解释为某些机构相对于其他身体的运动。爱因斯坦希望将均匀惯性运动的人体相关概念扩展到身体相关的加速运动的概念。

4.4.2 Weyl对爱因斯坦的Machian想法的批评

Weyl非常批评爱因斯坦将Mach原理（2）版本（2）纳入一般相对论和相对论宇宙学理论的尝试，因为他认为Leibnizian-Machian Machian Machian Machian Motionalitional Motion的关系概念 - 所有运动都被解释为将其解释为动作的运动。与其他身体有关的一些身体，在相对论的一般理论的背景下是一个不连贯的概念。

在题为Massenträgheit和Kosmos的论文中。 EIN对话[惯性质量和宇宙。对话] Weyl（1924b）阐明了他在运动概念以及Mach原理在一般相对和宇宙学中的作用的总体立场。[71] Weyl定义了Mach的原则，如下所示：

M（马赫的原理）：

身体的惯性是通过宇宙中所有质量的相互作用来确定的。

Weyl（1924b）然后观察到，相对运动的运动学原理本身没有任何内容，除非一个人也做出了额外的物理因果假设

C（身体因果关系）：

所有事件或过程都是通过物质来唯一的因果决定，即通过电荷质量和物质基本粒子的运动状态。[72]

物理因果关系的基本动机本质上是马赫的经验主义计划，即马赫坚持可观察到的经验事实的至高无上。 Weyl（1924b）解决了爱因斯坦对马赫悖论的表述，只有当我们将相对运动的运动学原理与物理假设C结合在一起时，根据运动原理，它似乎是毫无根据的或不可能的，在没有任何外部力的情况下，流体的固定体具有“静止”球体的形式，另一方面，它具有“旋转”扁平椭圆形的形式。 Weyl拒绝身体因果关系的原则C，因为他否认M（Mach原理）的可行性，如上所述，在先验的基础上[73]。根据Weyl（1924b）

一个：

根据一般相对论的理论，几个孤立的身体相对于彼此的相对运动的相对运动的概念与单个身体的绝对运动的概念一样站不住脚。