赫尔曼·韦尔的照片（六）

考虑到n个维度的一般情况，并使用谎言组和谎言代数，Sophus Lie（Lie（Lie（1886/1935，1890a，b）），后来发展并改善了Helmholtz的理由。然而，与爱因斯坦一般相对论的到来的空间问题的Helmholtz-lie处理和解决方案有关。正如Weyl（1922b）指出的那样，我们现在必须考虑一个四维连续体，而不是三维连续体，其度量不是正定的，而是由不确定的二次形式给出。此外，Helmholtz的度量均匀性的前提不再成立，因为我们现在正在处理一个不均匀的度量场，该场在因果关系上取决于物质的分布。因此，Weyl提供了空间问题的重新制定，该问题与一般相对论理论所假定的因果关系和度量结构兼容。但是Weyl走得更远。这种重新制定不仅应按照爱因斯坦一般理论的要求，还应结合里曼的无限观点，还应与韦尔的要求相吻合。

更确切地说，Weyl概括了所谓的Riemann-Helmholtz-lie空间问题：首先，他允许不确定的指标以涵盖相对论的一般理论。其次，他考虑了具有可变量规λ（x（p））的指标以及相关的长度连接，以获得纯粹的无限几何形状。因此，相对于通过两个结构场（Strukturfelder）选择可变量规的一般几何形状类别的每个成员都是局部确定的：（1）可能是不确定的Finsler度量场[57] FP（DX）和（2）长度连接由1型场θidxi确定。韦尔的任务是证明：

如果几何形状满足自由的假设（空间的性质对可允许的度量关系没有任何限制），并确定独特的，对称的线性连接γ，那么Finsler Metric Field FP（DX）必须是Riemannian指标。一些签名。[58]

在Riemannian空间中，平行位移的概念由两个条件定义：

在适当选择的坐标系（地球坐标）中，载体的成分保持不变。[59]如果这种情况满足，如果

DV

我

p

= −γ

我

jk

v

j

p

DX

k

p

和γ

我

jk

=γ

我

凯杰

。

在无限平行位移期间，向量的长度保持不变。

从这些条件来看，黎曼空间具有确定的对称线性连接（一种对称线性指标连接[60]），由毕达哥拉斯 - 瑞马尼亚人度量标准界唯一地确定。 Weyl称此为此：

Riemannian几何形状的基本假设：

在可能无限接近点的平行位移可能的可能的系统中，这是可能的对称线性连接系数之一，存在一组，仅一组，因此仅一个和只有一个平行位移系统，即保留长度。

在他的演讲[61]中，关于1922年在巴塞罗那和马德里提供的空间问题的数学分析，韦尔勾勒出证明，证明了以下内容也是如此：

毕达哥拉斯 - 里曼尼亚的唯一性：

在可以放置在可区分的歧管上的所有可能的无限指标中，毕达哥拉斯 - 里曼尼亚式公制是唯一唯一决定对称线性连接的度量的唯一类型。

Weyl以两个自然的假设开始了他的证据。首先，指标的性质应独立于协调。如果DS由表达式FP（DX1，…，DXN）给出，相对于给定的坐标系统，则相对于另一个坐标系统，DS由与FP相关的函数给出（DX1，…，DXN） ）通过其参数DXI的线性，同质的转换。其次，可以合理地假设指标的性质到处都是相同的，从某种意义上说，在歧管的每个点，以及关于所讨论点附近的每个坐标系统，DS代表了任何一个这样的功能生成的函数的等价类别的元素，例如fp（dx1，…，dxn），通过其参数dxi的所有线性，均匀的转换。

对于fp是毕达哥拉斯的情况，即正定二次形式的平方根，只有一个可能的等效类[f]，因为每个函数都是正二次二次二次形式的平方根，转化为标准表达式

f = [（dx1）2+⋯+（dxn）2] 1⁄2

通过线性，均匀的转换。

对于同质函数的每个可能的等效类[F]，那里对应于一种指标空间。毕达哥拉斯 - 里曼尼亚人的空间，为此

2

p

=（dx1）2+⋯+（dxn）2，是几种可能的度量空间之一。因此，问题是要挑出等价类[f]，其中f对应于f

2

p

=（dx1）2+⋯+（dxn）2，来自其他可能性，并为此优先提供参数。

通过术语“度量” WEYL表示任何无限距离函数fp∈[f]，其中等效类[F]代表一种公制结构或公制场的类型。任何类型的度量场结构在每个p∈M处都有一个微对称组GP。

定义4.1（微对称组）

点p∈M处的结构场（strukturfeld）的微对称性是局部差异形态，它将p∈M吸入p并保留在p∈M处的结构场。 p∈M处的磁场的微对称基是其在组成操作下的微观对称组。

公制结构的P∈M处的微对称组GP是一组可逆的，切线空间t（MP）的线性图，该图可保留p∈M处的无限距离函数。对于每个p∈M，GP都是同一抽象组的同构。

对于Riemannian类型的度量结构，切线空间t（MP）的一致线性图本身形成了一个GP组，该组与正交组O（n）是同构的。因此，通过P在P处的正交群的具体实现，在P中，Pythagorean-Riemannian指标是P，该基团在p不变下留下了基本的二次差异形式。因此，毕达哥拉斯 - 利曼类型的度量标准的特征是抽象的微对称组O（n）。对于不属于毕达哥拉斯 - 利马尼亚公制类型的度量，抽象的微对称组GP将与O（n）不同，并且将是GL（N）的其他一些亚组。在歧管的每个点上，微对称组将是该亚组GL（n）的具体实现。 Weyl现在说他所说的

自由的假设：

如果只指定了（任何类型的）度量的性质，也就是说，仅指定相应的抽象微对称组GP，而所涉及的度量是任意的，则相应的微对称组的相互取向不同点也是任意的。

Weyl强调，自由的假设为简洁的表述提供了一般框架

动态几何学的假设：

无论该度量的性质或类型可能是所处的，到处都是相同的，从点到点的混凝土微对称基团的相互取向的变化是由填充空间的材料含量确定的。

与Helmholtz的分析相反，该分析以空间的均匀性为前提，自由的假设允许替换Helmholtz的同质性要求，并可能使度量场可能会导致任意，无限变化。要断言这种动力学可能性并不要求指定度量的性质。

接下来，Weyl指出，到目前为止所提供的只是对概念指标，长度连接和对称线性连接的解释。

韦尔认为，为了证明在可以放在代表物理空间的可微流形上的各种可能的度量结构中，毕达哥拉斯-黎曼形式是唯一的，必须提出一些超越概念分析的主张。韦尔提出以下假设：

韦尔的假设：

无论流形的某个点 p 处的基本自由长度连接与其无穷小邻域中的点可以实现什么确定，在切空间 T(Mp) 的可能平行位移系统中始终存在一个且唯一一个，即同时也是一个无穷小的全等传输系统。

韦尔表明，这个假设实际上通过证明以下定理来挑选出毕达哥拉斯-黎曼类型的度量：

定理4.2

如果特定长度连接确定了唯一的对称线性连接，则度量必须是毕达哥拉斯-黎曼形式（对于某些签名）。

因此，自由公设和外尔假说一起意味着，在每个 p∈M 处，存在一个非简并的二次形式，该形式在 p∈M 处的规范选择上是唯一的，并且在微对称性的作用下是不变的群 Gp 与某个签名的正交群同构。

根据韦尔的说法，这种表述表明了欧几里得的“距离几何”与黎曼的“近几何”（Nahgeometrie）或“场几何”之间的直观对比。 Weyl (1949a, 88) 将欧几里得的“距离几何”比作“由均匀的、不可改变的原子以刚性且不可改变的晶格排列构成”的晶体，而后者 [黎曼场几何] 比作液体，“由同样不可辨别的、不可改变的原子，然而，它们的排列和方向是可移动的，并且会屈服于作用在它们上的力。”

度量场的本质，即各处度量的本质，是相同的，因此是绝对确定的。根据韦尔的说法，它反映了空间或时空的先验结构。相比之下，后验的，即偶然的和能够连续变化的，因果上依赖于填充空间的材料内容，是不同点上度量的相互取向。因此，根据 Weyl 的说法，先验和后验之间的界限已经发生了变化：对于任何给定点的无穷小邻域，欧几里得几何仍然保留，但度量法则采用标准形式 ds2=Σ 的坐标系

n

我=1

(dxi)2 一般来说，每个地方的情况都不同。

外尔的先验和后验的区分决不能与康德的区分相混淆。 Weyl (1949a, 134) 评论道：“就物理空间而言，可以在某种客观意义上反区分先验特征和后验特征，而无需像康德那样提及它们的认知来源或认知特征。”韦尔在（Weyl，1922b，266）中也做出了同样的评论。[62]另请参见第 4.5.8 节中的讨论。

在群论分析的背景下，Weyl（1922b，第 266 页）做出了以下有趣且重要的陈述：

我从认识论的角度说：空间或世界[时空]本身先于任何物质内容，在分析位置的意义上只是一个无形的连续流形，这是不正确的；度量的本质[其无穷小的毕达哥拉斯-黎曼特征]是空间本身的特征，只有度量在各个点的相互方向是偶然的、后验的并且依赖于材料内容。

在广义相对论的背景下，如果“空”被理解为不仅意味着空无所有物质，而且空空所有场，那么空时空是不可能的。在另一个地方，Weyl（1949a，Engl.edn，172）说：

几何与场论有机结合；空间并不与事物对立（正如在物质理论中那样），就像一个空容器，它们被放置在其中并赋予它们远的几何关系。这里不存在空白；场遗漏了部分空间的假设是荒谬的。

根据韦尔的观点，度量场在没有物质的世界中并没有停止存在，而是处于静止状态：作为静止场，它具有度量同质性；表征度量的毕达哥拉斯-黎曼性质的正交群的相互方向在任何地方都不会有所不同。这意味着在物质空的宇宙中，度量是固定的。因此，时空上的同余关系集是唯一确定的。由于度量唯一确定对称线性连接，齐次度量场（静止场）确定可积仿射结构。因此，与完全不存在物质一致的平坦的闵可夫斯基时空被赋予了可积的联系，从而决定了所有（假设的）自由运动。根据韦尔的观点，在没有物质的情况下，存在一个齐次度量场，一个结构场​​（Strukturfeld），它具有静止场的特征，并且构成了一个无法消除的普遍背景。这个静止场的结构决定了时空同余关系的外延，并决定了洛伦兹不变性。其余场不具有净能量并且对曲率没有贡献。

与亥姆霍兹和李的对比是：两者都要求物理空间的同质性和各向同性。从一般黎曼观点来看，后一个特征仅适用于物质空的宇宙。这样的宇宙是平坦的、欧几里得的，而包含物质的宇宙是不均匀的、各向异性的、曲率可变的。

这里需要注意的是，外尔关于度量场不会停止存在而是处于静止状态的断言的有效性，其根源在于度量场是 G 结构的数学事实。 G 结构可以是平坦的或非平坦的；但G结构永远不会消失。因此，可表征为 G 结构的几何场，例如射影、共角、仿射和度量结构，不会消失。 [63]

4.3 用于确定时空制动的韦尔因果惯性方法

4.3.1时空几何学的Weyl的田间本体论

黎曼寻找 n 维流形的最一般类型。在这个流形上，欧几里得几何被证明是由某种形式的度量产生的特殊情况。外尔以这种具有一定连续性和有序性的一般结构——流形结构为基础，但对其他几何结构，如射影、共角、仿射和度量结构等的确定则没有开放。格律公理不再像康德那样由纯粹的直觉决定。根据韦尔（1949a，87）的说法，对于黎曼来说，度量并不像康德那样，“现象的静态同质形式的一部分，而是它们不断变化的物质内容的一部分”。韦尔（1931a，338）说：

现在我们区分非晶连续体和它的度量结构。第一个保留了其先验特征，[64]……而结构场[Strukturfeld]完全受制于世界的权力博弈；作为一个真实的实体，爱因斯坦更喜欢称其为以太。

黎曼关于引力和电磁学的著作中没有任何迹象表明他预见到了爱因斯坦理论背后的概念革命。然而，韦尔对黎曼工作的解释表明，黎曼在以下意义上预见到了类似的可能性：

通过在形式上将仿射、射影、共形和度量结构等后拓扑结构从流形中分离出来，使这些结构不再严格地与其联系在一起，黎曼剥夺了它们形式上的几何刚性，并在他的无穷小几何观点或“近几何”，允许将它们解释为时空流形上灵活的动态物理结构场[Strukturfelder]的数学表示，几何场与物质相互作用。

黎曼的分离论文以及他对无穷小观点的采用，是微分几何发展为流形上可微几何场的数学的先决步骤。正如韦尔所说，当用物理方式解释时，这些数学结构或几何场对应于物理结构场（Strukturfelder）。与电磁场类似，这些结构场作用于物质，反过来又受到物质的作用。 Weyl (1931a, 337) 评论：

我现在来谈谈广义相对论的关键思想。任何像世界的度量结构那样发挥强大而真实的影响的东西，都不能是世界的刚性的、一劳永逸的、固定的几何结构，而它本身必须是真实的东西，它不仅对物质产生影响，而且反过来又对物质产生影响。通过物质让他们受苦。黎曼已经在空间中提出了结构场与电磁场一样与物质相互作用的想法。

Weyl (1931a, 338) 继续说道：

我们已经用惯性的例子解释了，结构场 [Strukturfeld] 必须作为一个近距离作用 [Nahewirkung] 被无限地理解。黎曼从高斯的曲面理论中抽象出了这一点如何在空间的度量结构中发生。

各种几何场并不是时空流形结构的“固有”。流形代表分析位点意义上的无定形四维可微连续体，并且除了属于流形概念的属性之外没有其他属性。

非晶四维可微流形具有高度的对称性。由于其同质性，所有点都是相似的；没有客观的几何特性可以使人区分一个点和另一个点。空间的这种完全同质性或对称性必须通过其自同构组来描述，即点场到自身的一对一映射，这使得点之间所有客观意义的关系不受干扰。如果给定一个几何对象F，即具有确定关系结构的点集，那么那些使F不变的空间自同构构成一个群，并且这个群准确地描述了F所具有的对称性。例如，使用 Weyl (1938b) 的例子（另请参见 Weyl (1949a, 72–73) 和 Weyl (1952)），如果 R(p1,p2,p3) 是断言 p1,p2,p3 的三元关系位于一条直线上，那么我们要求满足关系 R 的任何三个点通过自同构映射到其他三个点 p

′

1

,p

′

2

,p

′

3

，满足同样的关系。[65]

n 维数空间的自同构群仅包含恒等映射，因为 Rn 的所有数都是不同的个体。本质上正是由于这个原因，才使用实数来进行坐标描述。实数的连续统由个体组成，而空间、时间和时空的连续统是同质的。时空点不允许有绝对的表征；根据韦尔的说法，它们只能通过“一种示范性的行为，通过指出和说出此时此地”来区分。

在一本题为《Riemanns geometrische Ideen, ihre Auswirkung und ihre Verknüpfung mit der Gruppentheorie》（于 1988 年去世后出版）的小书中，Weyl (1988, 4-5) 做出了这样有趣的评论：

通过映射到数字空间，以最直接的方式在 Mf [流形]上引入坐标，这样，通过一对一连续变换产生的所有坐标都是同样可能的。这样，坐标概念就摆脱了早期几何学中所束缚的所有特殊结构。用相对论的语言来说，这意味着：坐标不是被测量的，它们的值不是从真实的测量杆上读出的，这些测量杆以明确的方式对物理场和度量结构做出反应，而是它们是先验地任意放置在世界上的，在为了以数字方式表征那些物理场，包括度量结构。可以说，度量结构由此摆脱了空间的束缚。它成为剩余无结构空间内的现有场。由此，作为外观形式的空间与其真实内容形成了更清晰的对比：在形式与坐标任意相关之后，内容才被测量。

通过将给定的时空同胚映射到实数空间，通过映射的任意性提供韦尔所说的定性无微分的自由可能性场（所有可能巧合的连续体），我们用对应于的坐标来表示时空点一些坐标系。四维算术空间可以用作定位所有可能的“此时此地”事件的四维模式。