赫尔曼·韦尔的照片（五）
Weyl的长度连接：
点P长度与其无限邻域连接，并且仅当且仅当每个长度在p处的每个长度时，在每个点q无限地确定无限近的p长度，当p的长度从p从p转移到q时，p的长度在p时产生的长度会产生。 。
该定义仅说，如果多种歧管接纳了长度的无限同等位移的过程，则是“长度连接的”。唯一对一致位移的概念施加的条件是：
长度的一致位移：
关于P的选择量规，P长度LP处于P的长度LP到无限的相邻点Q构成一个一致的位移，并且仅当存在P相对于p附近的量规选择。运输长度
￣
我
Q具有与
￣
我
p;那是
￣
我
Q-
￣
我
p = d
￣
我
p = 0。
Weyl在p。[48]的p a Geodesic量规上称为量规Weyl证明以下定理的证明与Weyl的仿射连接独立构造的补充剂中的定理A.3的证明相似。
定理4.1：
如果在M附近u中的每个点p，则存在一个仪表的选择，以至于P在p的一致位置下，p的任意长度的变化由Q的无限量Q给出
d
￣
我
p = 0，
然后在任何其他选择量规上本地，
dl = -laj（x（p））dxj，
相反。
使用
DV
我
p
= −γ
我
jk
（x（p））v
j
p
DXK
lp = gij（x（p））v
我
p
v
j
p
dlp = -lpajx（p）dxj，
Weyl（1923a，124–125）表明，补充了长度连接或量规场AJ（x）的结构的形式，从等效等效连接的等效类别k = [γ]单打。[49]这种称为Weyl连接的独特连接由
γ
我
jk
=
1
2
gir（grj，k+gkr，j -gjk，r）+
1
2
gir（grjak+gkraj -gjkar）
=
1
2
gir（grj，k+gkr，j -gjk，r）+
1
2
（δ
我
j
AK+δ
我
k
aj -gjkgirar），
类似于（14）。 Weyl连接的第一项与Riemannian几何形状的度量连接（9）相同，而第二项表示Weyl几何形状中的新事物。在仪表转换下，Weyl连接是不变的
￣
克
ij（x）=eθ（x）gij（x）
￣
一个
j（x）= aj（x） - −∂jθ（x），
其中量规函数为λ（x）=eθ（x）。因此，共形结构加长连接或量规场AJ（x）确定配备了独特的Weyl连接的Weyl几何形状。因此，无穷小几何形状的基本原理也存在于Weyl几何形状中。也就是说，Weyl几何形状的度量结构决定了独特的仿射连接，即Weyl连接。
在Weyl对他的纯粹无限度度几何形状（Weyl几何形状）的物理解释中，具有电磁四电位的量规场AJ（X），并通过电磁场张量给出。
fjk（x）=∂Jak（x） - ∂Kaj（x）。
一个可以正式特征为Weyl几何形状的时空，不仅具有方向曲率（Richtungskrümmung），而且还具有长度的曲率（streckenkrümmung）。由于后者的特性，长度的一致位移的形式表征是不可集成的，即在韦尔几何形状中，路径依赖性。
数字
图6：在沿不同路径的矢量的Weyl几何平行位移中，不仅会改变其方向，还会改变其长度
假设物理时空对应于Weyl几何形状。然后在一个具有共同时间单元的事件P处的两个相同的时钟A和B经过的时间（第一个时钟效应（即相对论效应）），但通常，时钟在Q处的常见时间单位（滴答率）（第二个时钟效应）会有所不同。也就是说，在Weyl几何形状中的一致时间位移是如此，以至于P在Q上的两个一致时间间隔在Q上不一致，当时，当一致地沿着P到Q的不同世界线平行流离失所，也就是说。
一个
q
≠l
乙
q
。这意味着一个双胞胎进入遥远的恒星然后返回地球，不仅会发现地球上的另一个双胞胎的年龄更高，而且是地球上所有时钟都以不同的速度勾选。因此，在存在非变化的电磁场FJK（x）的情况下，时钟速率通常不会相同。也就是说，除了相对论效应（第一个时钟效应）外，还会有第二个时钟效应。因此，l
一个
q
= l
乙
q
当且仅当AJ（x）的卷曲消失时，也就是，当且仅当电磁场张量fjk（x）消失时，即
fjk（x）=∂jak（x）-∂kaj（x）= 0。
在这种情况下，韦尔连接的第二项消失，（19）还原为riemannian几何形状的度量连接（9）。
在Weyl几何形状中，没有理想的绝对“仪表”或“时钟”。例如，任何时钟测量时间的速率都是其历史记录的函数。但是，正如爱因斯坦在Weyl（1918a）的Nachtrag（附录）中指出的那样，正是这种情况表明Weyl的几何形状与经验冲突。在Weyl的几何形状中，原子钟的光谱线的频率将取决于原子的位置和过去历史。但是经验表示其他方式。光谱线定义明确；它们似乎独立于原子的历史。原子钟定义了时间单位，并且经验表明它们是整合运输的。因此，如果我们假设原子时间和重力标准时间相同，并且引力标准时间由Weyl几何形状确定，则电磁场张量为零。但是，如果是这种情况，那么Weyl几何形状将减少为基础相对论的标准riemannian几何形状，因为Weyl的Streckenkrümmung（长度曲率）消失是必要的，并且足以存在Riemannian Metric Gij。
几年后，当量子理论开发时，很明显，Weyl的理论与经验以一种更基本的方式与经验冲突，因为量子速率与量子理论中的粒子质量之间存在直接关系。具有一定静止质量M的粒子具有固有频率，这是其剩余质量，光C的速度和普朗克常数H的函数。这意味着在Weyl几何形状中，时钟不仅取决于它们的历史，还取决于颗粒的质量。例如，如果两个质子具有不同的历史，那么它们在Weyl几何形状中也将具有不同的质量。但这违反了量子机械原理，即在这种情况下，质子的颗粒是完全相同的。
但是，在1918年，Weyl仍然有可能通过以下方式捍卫他的理论。为了回应爱因斯坦的批评，韦尔指出，原子，时钟和仪表棒是复杂的对象，其在任意引力和电磁场中的真实行为只能从物质的动力学理论中推断出来。由于当时没有详细且可靠的动力学模型，因此Weyl可以说没有理由假设，例如，时钟速率是正确建模的。 Weyl（1919a，67）说：
乍一看，根据纯粹的近距离几何形状，长度转移在存在电磁场的情况下是不可集成的，这可能令人惊讶。这并不清楚地与刚性身体和时钟的行为相矛盾？但是，这些测量仪器的行为是一个物理过程，其课程由自然定律决定，因此与我们在时空几何形状的数学结构中采用的理想的“时空距离位移”的理想过程无关。 。如果一个人不限制自己限制了准平台运动，则指标场与刚性杆和时钟的行为之间的联系已经非常清楚。尽管这些仪器在Praxis中起着必不可少的作用，作为度量场的指标（为此，更简单的过程是可取的，例如，光波的传播），但通过数据字段通过数据字段来定义度量字段显然是不正确的。直接从这些仪器中获得。
Weyl通过暗示这种时间保留系统的动力学性质使它们不断适应时空结构，以保持其速率保持恒定，从而阐述了这一想法。他区分了由于这种动力调整而导致保持恒定的数量，以及由于它们是孤立和不受干扰而保持持续性的数量。他认为，所有保持完美恒定的数量可能是由于动态调整而进行的。 Weyl（1921a，261）以以下方式表达了这些想法：
一致转移的想法与测量杆和时钟的行为之间的这种差异的原因是什么？我通过“持久性”（Beharrung）和“调整”（Einstellung）区分了自然界中幅度的确定。我将通过以下图表清楚地表明差异：我们可以将空间中任何任意方向旋转的旋转顶部的轴置。然后，这个任意的原始方向通过持久倾向，从而确定了所有时间的轴向轴的方向。轴每一刻都有平行位移。磁场中的磁针完全相反。它的方向是在每次瞬间在其他瞬间独立于系统状况而确定的，这是因为其构成，该系统以明确确定的方式对其所在的领域进行了明确确定的方式调整自身。先验，我们没有理由假设可以整合的转移，这纯粹是由于持久性的趋势。 ……因此，例如，例如，麦克斯韦的方程要求电子的电荷e/dt = 0，但我们无法从这个事实中理解为什么电子，即使是无限期的长时间之后，电子也始终拥有一个不变的电荷以及为什么相同的电荷E与所有电子相关。这种情况表明，电荷不是由持久性决定的，而是通过调整来确定的，并且只能存在一种负电能的平衡状态，在每个瞬间，Corpuscle都会重新调整自身。出于同样的原因，我们可以为原子的光谱线结论相同的事情。原子发出相同频率的一件事是它们的宪法，而不是在遥远过去的相遇之际的频率达成协议。同样，测量杆的长度显然是由调整确定的，因为我无法在此野外地点中任意任何其他长度（例如双或高音长度）代替现在拥有的长度，而它现在拥有的长度，以我可以预先确定其方向的方式。通过调整来确定长度的理论可能性是由于世界形象而产生的，这是根据一个复杂的数学定律源于度量场引起的。由于其构成，测量杆假定具有该值或该值的长度与田间的曲率半径有关。
Weyl对爱因斯坦（Einstein）的批评的回应是，Weyl几何形状与经验发生冲突，利用了这样一个事实，即当时尚不清楚那些尚不清楚时钟和刚性杆的物质的动态定律。因此，Weyl可能会说，至少在理论上可能存在一种基本的物质动力学，因此Weyl几何形状，据此，长度转移是不可汇总的，尽管如此，但与可观察的经验相干，据此，长度转移似乎是可积。但是，正如沃尔夫冈·保利（Wolfgang Pauli）明确指出的那样，韦尔（Weyl）的合理辩护是有代价的。[50]保利（Pauli，1921/1958，196）认为，韦尔对理论的辩护从物理的角度剥夺了它固有的令人信服的能力。
韦尔（Weyl）对这个问题的目前态度如下：世界长度的一致转移的理想过程……与测量杆和时钟的真实行为无关；绝不能通过从这些测量工具中获取的信息来定义度量场。在这种情况下，与爱因斯坦理论的线元素相比，GIK和φi的定义不再可观察到。这种放弃似乎会产生非常严重的后果。尽管现在不再存在与实验直接矛盾的，但从物理的角度来看，该理论似乎仍然被剥夺了其固有的令人信服的力量。例如，电磁和世界指标之间的联系现在不是物理的，而是纯粹的正式。因为电磁现象与测量杆和时钟的行为之间不再有直接的联系。前者和理想过程之间仅存在相互关系，而该过程在数学上定义为向量的一致转移。此外，只有正式的，而没有物理证据，证明了世界指标与电力之间有联系的证据。[51]
保利总结了他对韦尔理论的批判性评估，并以下声明：
总而言之，我们可以说，韦尔的理论还没有成功地解决问题结构的问题。正如将会更详细地争论的那样……相反，有话要说，认为该问题的解决方案根本无法以这种方式找到。
但是，应该指出的是，韦尔对他的理论的辩护隐含地解决了关于理论与证据之间关系的重要方法论上的考虑。正如Pauli所说的那样，根据Weyl的说法，“绝不能通过从这些测量仪器（刚性杆和理想时钟）中获取的信息来定义公制场”。也就是说，Weyl拒绝爱因斯坦的操作角度，该角度在理想刚性杆和理想时钟的可观察行为方面对度量场赋予了操作意义。[52]与光的传播和自由落下（球形对称，中性）颗粒，刚性棒和理想时钟不同，相对定义的底证性系统，因此不适合确定由相对性理论提出的时空固有结构。 Weyl（1918a）在回应爱因斯坦的批评时清楚地意识到了这一点。光信号的到来。”有趣的是，括号内注意到，在他的书的第一版中，Weyl认为只有通过使用光信号，可以使用一种内在的方法将任意时空间隔的长度与两个基准时空事件之间的间隔进行比较。正是洛伦兹向Weyl指出，不仅是世界的光线线条，而且还需要一种固有的比较长度的方法。 Weyl不仅在随后的版本中纠正了这个错误，而且已经在1921年，Weyl（1921c）发现了通过证明一个重要定理表明时空度量已经完全已经完全的定理来确定时空度量标准的因果惯性方法（请参阅第4.3节）由时空的惯性和因果结构决定。 Weyl（1949a，103）说：“……因此，经过测量不必依赖于时钟和刚性的身体，而是……仅在惯性的影响下移动的光信号和质量点就足够了。”很明显，在特殊和一般理论的背景下，Weyl将使用时钟和刚性杆作为不良临时的使用。由于空间间隔和时间间隔都不是时空不变的，因此无法通过标准时钟和刚性杆直接确定不变的空间间隔DS。此外，后者的前提是量子理论的理由，因此在相对论框架之外，因为尚不清楚控制其身体过程的法律。[53]
Weyl（1929c，233）仅随着电子量子理论的出现，放弃了他的统一田间理论。他之所以这样做，是因为在这种理论中，发现了与Dirac的电子理论相关的不同类型的规格不变性，这更充分地说明了电荷的保护。 Weyl对量子力学的贡献以及他的构造量规不变性原则的构建在第4.5.3节中进行了讨论。[54]
Dirac（1973）以略微修改的形式恢复了Weyl的统一场理论，该形式融合了真实的标量场β（x）。 Dirac还认为，通过原子钟测量的时间间隔不必用Weyl几何形状中的时态矢量的长度来识别。[55]
4.2 Riemann-Helmholtz-lie空间问题
在高斯，格拉斯曼和里曼的作品之前，对几何学的研究倾向于强调三维物理空间的经验直觉和图像的利用。物理空间被认为具有确定的度量属性。地理表的任务是在该空间中采用物理月经的设备并与之合作。
在高斯和格拉斯曼的影响下，里曼的伟大哲学贡献在于以下证明，即与离散多种流形的情况不同，在连续流形的情况下，一定的确定一定意味着确定其数量或基本数量的确定，这种流形的概念及其连续性属性可以分开形成其度量结构。利曼使用现代术语将歧管的局部差异拓扑结构与其度量结构分开。因此，里曼的分离论文引起了空间问题，或者正如魏尔所说的那样，das raumproblem：如何在连续的歧管上确定公制关系？[56]
度量歧管是距离函数f：m×m→r的歧管。这样的距离函数必须满足以下最小条件：对于所有p，q，r∈M，
f（p，q）≥0，如果f（p，q）= 0，则p = q，
f（p，q）= f（q，p），（对称）
f（p，q）+f（q，r）≥f（p，r）（三角形不等式）。
在他在哥廷根著名的就职演讲中，题为《假设》（überdie sossothesen），韦尔奇（Welche der der der debothesen），韦尔奇·德·Zu Grunde Liegen（关于基于几何学的假设），Riemann（1854）研究了如何在连续歧管上确定度量关系。也就是说，应该有哪种特定形式f：m×m→r。考虑两个相邻点P，q∈M的坐标Xi（P）和Xi（P）+DXI（P）。距离ds = f（p，q）的度量必须是差分增量Dxi（p）;那是，
ds = fp（dx1（p），…，dxn（p））。
Riemann指出，FP应满足以下要求：
功能同质性：
如果λ> 0和ds = fp（dx（p）），则
λds=λfp（dx（p））= fp（λdx（p））。
签名不变性：
差异标志的变化应留下DS不变的值。
符号不变性可以通过2M度（M = 1,2,3，…）的每个积极均质功能满足。在简单的情况下，m = 1，长度元素ds是二级均匀函数的平方根，可以以标准形式表示
ds = [
n
Σ
我= 1
（DXI（P））2] 1⁄2。
也就是说，在M的每个点都存在一个坐标系（定义为正交组O（n）的元素，其中二级同质函数的平方根可以以上述标准形式表示。Riemann的井 - 相对于任意坐标系在p∈M处长度度量的一般表达
ds2 = gij（x（p））dxi（p）dxj（p），
公制张量的组件满足对称条件Gij = Gji。
DS2 = F的假设
2
p
是二次差异形式不仅是最简单的形式，而且是由于其他重要原因而是首选形式。里曼本人很清楚其他可能性。例如，ds可能是差速器中第四阶多项式的第四根。但是里曼（Riemann）限于特殊情况m = 1，因为他被压迫了时间，并且因为他想对自己的结果做出具体的几何解释。正如Weyl指出的那样，Riemann自己对空间问题的回答是不够的，因为Riemann对毕达哥拉斯案的限制的数学理由不是很引人注目。 Riemannian指标形式的第一个令人满意的理由，尽管范围限制，因为它以欧几里得空间的全部同质性为前提，是由Hermann von Helmholtz的调查提供的。 Helmholtz与Riemann的分析方法不同，仅使用了几何学的基本概念，即，一致的映射概念，并通过需要空间的空间来表征空间的几何结构。因此，他的分析仅限于恒定正，零或负曲率的情况。从我们对刚体运动的经验中抽象，赫尔姆霍兹能够从数学上从许多公理中得出关于空间中刚体运动的许多公理的距离公式。赫尔姆霍尔茨（Helmholtz，1868年）认为，里曼的假设是，空间的度量结构是通过二次差分形式在局部确定的，这实际上是刚体运动事实（Tatsachen）的结果。
