赫尔曼·韦尔的照片（四）

将 p 处的切向量 vp 传送到附近无限小的点 q 会得到 q 处的切向量 vq，即：

vq=vp+dvp。

当且仅当存在坐标系时，Weyl 将这种无穷小切向量传输定义为无穷小平行位移

￣

x

，称为 p 邻域的测地坐标系，相对于传输的切向量

￣

v

q 在 q 处具有与原始切向量相同的分量

￣

v

p at p；那是，

￣

v

我

q

-

￣

v

我

p

=d

￣

v

我

p

=0。

数字

图 1：测地坐标系中的并行传输

￣

x

对于任意坐标系 x 的分量 dv

我

p

每当 v 消失

我

p

或 dx

我

p

消失。 因此， dv

我

p

v 是双线性的

我

p

和 dx

我

p

;那是，

DV

我

p

=−γ

我

jk

(xi(p))v

我

p

dx

k

p

,

其中，在四维情况下，43=64 个系数 Γ

我

jk

(xi(p))是坐标函数，即xi(p)(i=1,…,4)的函数，为了符合约定引入负号。

数字

图 2：任意坐标系 x 中的并行传输

重要的是要理解可微流形上不存在无穷小平行位移的内在概念。 “并行性”的概念并不是流形仅仅因为是光滑流形而拥有的。必须引入驻留在流形上并允许无穷小并行性概念的附加结构。如果一个流形除了它的流形结构（微分拓扑结构）之外还被赋予了一个仿射结构 Γ ，并且为它的每个点分配了 64 个系数 Γ ，那么它就是一个“仿射流形”（M，Γ）

我

jk

(xi(p)) 满足对称条件 Γ

我

jk

(xi(p))=Γ

我

凯杰

(xi(p))。

n 维流形 M 是一个仿射连通流形，Weyl (1918b) 在物理上将其解释为充满引力场的 n 维世界（时空）。韦尔说，“……仿射联系在物理学中表现为引力场……”因为每个时空点都存在一个测地坐标系，其中的分量 Γ

我

jk

如果对称线性连接的消失，则可以使流形的每个点处的引力场消失。

由亥姆霍兹、庞加莱和希尔伯特发展起来的经典物理几何理论，将“度量同余”的概念视为几何学的唯一基本关系，并仅从这一概念出发，根据物理物体的相对位置和位移来构造物理几何。一致性标准。尽管爱因斯坦的广义相对论所倡导的时空几何的动力学观点与经典物理几何理论有很大不同，但爱因斯坦最初是从度量的角度来处理时空结构问题的。 Weyl (1923b) 强调并发展了对称线性连接的度量独立构造，并指出了这样做的基本原理。在非相对论和相对论背景下，对称线性联系，而不是度量，在用微分方程表达的所有物理定律的公式中发挥着重要作用。它是对称线性联系，将系统在某一时空点的状态与相邻时空事件的状态联系起来，并进入相应幅度的微分中。在牛顿物理学和广义相对论中，所有动力学定律都以射影和仿射结构为前提，因此也以惯性定律为前提。事实上，整个张量分析及其协变导数是基于无穷小平行位移的仿射概念而不是基于度量。

韦尔的度量独立构造不仅使人们对引力的数学表征有了更深入的理解，还为微分几何和广义相对论的新构造和推广铺平了道路。特别是，它导致了

路径几何学的发展，由 Weyl 于 1918 年首次提出。

韦尔发现了因果惯性方法，为以非循环、非常规方式凭经验确定时空度量奠定了基础。

韦尔对黎曼几何的推广，试图统一引力和电磁学。

韦尔在试图统一重力和电磁学的背景下引入了规范的概念。

有关仿射连接（线性对称连接）的 Weyl 度量无关构造的更多详细信息，请参阅补充材料。

4.1.2 射影几何或路径几何

韦尔对仿射结构的度量独立构造导致了微分射影几何或路径几何的发展。射影几何的兴趣在于路径，即曲线图像集的连续点集，而不是曲线的可能参数描述。曲线有一个自由度；它取决于一个参数，并且其图像集或路径是流形的一维连续点集。一个将流形 M 上的曲线表示为从实线 R 的某个开区间 I=(−ε,ε) 到 M 的平滑映射（即 C∞）γ。

数字

图3：流形M上的一条曲线是光滑映射γ:I⊂R→M

重要的是要理解，“曲线”指的是地图（参数化描述）本身，而不是其图像点的集合，即路径。因此，如果两条曲线由不同的映射（不同的参数描述）给出，则在数学上被认为是不同的曲线，即使它们的图像集（即它们的路径）是相同的。如果我们更改曲线的参数描述，我们会更改曲线，但不会更改其图像集（其路径）及其经过的点。因此，路径有时被定义为任意参数变换下的曲线的等价类。因此，射影几何可以定义为仿射几何的等价类。

平坦空间中的测地曲线是一条直线。它在某一点的切线与前一点或后一点的切线平行。欧几里得空间中的直线是唯一平行传输其自身切向量的曲线。切向量平行传输的概念也表征了弯曲空间中的测地曲线。也就是说，弯曲空间中的一条曲线 γ 沿其所有点平行传输自己的切向量，称为测地曲线。给定具有仿射结构的流形和任意局部坐标系，测地曲线 γ 的坐标函数（分量）γi 满足二阶非线性微分方程

d2γi

DS2

+γ

我

jk

dγj

ds

dγk

ds

=0。

人们可以用任意参数微分同胚下的测地曲线的等价类来表征仿射流形上的射影几何 Π [40]，从而消除所有参数描述，从而消除沿着满足 (6) 的曲线的所有可能的距离概念， [41]或者人们可以将方向的自平行过程作为定义射影结构的基础。

数字

图 4：路径 xi 是所有参数微分同胚下曲线的等价类 [γ] μ:R→R;λ↦μ(λ)

韦尔采取了后一种方法。根据韦尔的观点，矢量平行位移的无穷小过程包含作为一种特殊情况，一个方向向其自身方向的无穷小位移。这种方向的无穷小自平行性是仿射连通流形的射影结构的特征。

方向的无穷小自平行：

任意点 p 处的方向 R 的无穷小自平行性在于 p 处的 R 到位于 p 处的方向 R 上的相邻点 p' 的平行位移。

当且仅当一条曲线的切线方向 R 在沿着曲线的所有点移动时经历无穷小的自平行时，该曲线才是测地线。测地曲线的这种表征构成了仿射几何的抽象。通过这种抽象，测地曲线只能根据切线方向的自平行性而不是切线向量来定义。粗略地说，仿射几何本质上是一种射影几何，具有沿曲线定义的距离概念。通过消除沿曲线的所有可能的距离概念，或者等效地，消除曲线的所有参数描述，人们将射影几何抽象为仿射几何。

如上所述，射影几何Π可以被定义为仿射几何的等价类，即射影相关的仿射连接[Г]的等价类。韦尔在 1922 年春天在巴塞罗那和马德里举行的一系列讲座中详细介绍了他的射影几何方法，该方法使用方向自平行性的概念（韦尔（1923a）；另见韦尔（1921c））。外尔从以下充要条件开始，证明射影结构 Π 在变换 Γ→ 下保持不变

￣

γ

仿射结构：

投影变换：

变换 γ→

￣

γ

保留具有仿射结构 Γ 的流形的射影结构 Π，称为射影变换，当且仅当

（

￣

γ

− Λ)

我

jk

vjvk∝vi,

其中 vi 是任意向量。

Weyl 的定义表明，如果向量 v，则流形 M 的仿射结构的变化将保留 M 的射影结构 Π

我

q

和

￣

v

我

q

在 q 处，由向量 v 产生

我

p

在 p 处通过 Γ 下的平行传输且

￣

γ

分别最多在长度上不同，但在方向上没有差异。[42]

时空流形 M 是一个“射影流形”(M, Π)，如果除了它的流形结构（微分拓扑结构）之外，它还被赋予一个射影结构 Π，为它的每个流形点分配 64 个系数 Π

我

jk

xi(p)) 满足一定的对称条件。[43]这些射影系数表征了射影等价连接的等价类[Г]，即射影变换(7)下的等价连接。

根据韦尔的说法，在物理时空中，射影结构具有直接的直观意义。现实世界是一个充满惯性引力场的非空时空，韦尔称之为引导场（Führungsfeld）[44]。根据 Weyl (1923a, 13) 的说法，一个不容置疑的事实是，一个在某个时空方向（类似时间的方向）上自由的物体会执行一种独特确定的自然运动，只能通过外部因素来改变它的方向。因此，方向自平行的过程表现为自由粒子的时空方向持续存在的趋势，其运动受外尔所说的引导场控制（Führungsfeld）。这种自然运动是基于有效的无穷小持久性趋势而发生的，它将物体轨迹上任意点 p 处的时空方向 R 平行移动到位于 p 方向 R 上的相邻点 p'。

如果外力作用在物体上，则运动结果是由引导场引起的持久趋势与力之间的冲突决定的。引导场的持久性趋势是惯性引力场对每个物体施加的一种约束性引导。韦尔（1923b，219）说：

伽利略惯性定律表明，世界（时空）中存在一种约束性引导，它对在某个确定的世界方向上自由的物体施加一种独特的自然运动，只能通过外力来改变该运动；这是基于从点到点持续存在的有效无穷小趋势的基础上，该趋势自动并行地将任意点 P 处的物体的世界方向 r 转移到无穷小的邻近点 P'，该点位于方向 r 上P。

4.1.3 共形几何、韦尔几何和韦尔统一场论

1915年完成广义相对论后不久，爱因斯坦、韦尔等人开始研究统一场论。当时很自然地认为[45]这项任务只涉及重力和电磁学的统一。在爱因斯坦的引力几何化中，牛顿引力势和牛顿引力分别被度量张量 gij(x) 的分量和对称线性连接 Γ 的分量代替

我

jk

在广义相对论中，引力场因此被解释为时空曲率，但电磁场仍然与时空几何形状完全无关。然而，爱因斯坦广义相对论的数学表述并没有为另一个长程力场——电磁场——的几何化提供空间。 [46]因此，很自然地要问自然界仅有的两个远程力场是否有共同的起源。因此，很自然地认为电磁场也可能归因于时空的某些属性，而不仅仅是时空中嵌入的东西。然而，由于度量张量的分量 gij(x) 已经由爱因斯坦场方程充分确定，因此这需要建立一种比爱因斯坦理论基础更一般的微分几何，以便为将电磁学纳入到数学中腾出空间。时空几何。这种广义的微分几何将描述长程力，并且基于该几何的新理论将构成电磁和引力的统一场论。

1918年，韦尔提出了这样的理论。在 Weyl（1918a，1919a​​）和 Raum-Zeit-Materie 的第三版（1920）中，Weyl 提出了他通过构建规范不变几何（见下文）来统一引力和电磁学的巧妙尝试，或者他称之为纯粹的无穷小“公制”几何。由于时空的共形结构 C（见下文）并不能确定唯一的对称线性连接 Γ，而只能确定共形等效对称线性连接的等价类 K=[Γ]，因此 Weyl 能够证明，共形结构中的自由度时空结构为电磁势的几何化提供了足够的空间。由此产生的几何结构称为外尔几何结构，是介于共形结构和黎曼结构之间的中间几何结构。

局部描述的度量张量场

ds2=gij(x(p))dxidxj,

是黎曼几何的特征。该几何学要求对称线性连接 Γ 使得向量的无穷小平行传输始终保持向量的长度。因此，黎曼几何中的度量场决定了唯一的对称线性连接，即满足并行传输保长条件的“度量连接”。这意味着由（8）局部表示的度量字段在并行传输下是不变的。这种独特的对称线性度量连接的系数由下式给出

γ

我

jk

=

1

2

gir(grj,k+gkr,j−gjk,r).

如果 vp 是 p∈M 处的向量，则其长度

|vp|2=gij(x(p))v

我

p

v

j

p

。

此外，在 p∈M 处两个向量 vp 和 wp 之间的角度由下式给出

余弦θ=

gij(x(p))v

我

p

w

j

p

|副总裁||可湿性粉剂|

。

而在黎曼几何中，长度的平行传输是与路径无关的，也就是说，可以比较任何两个向量的长度，即使它们位于两个有限不同的点，向量在以下情况下也会遭受路径相关的方向变化：平行运输；也就是说，不可能以与路径无关的方式定义位于不同点的两个向量之间的角度。因此，当且仅当两个矢量沿同一路径传输时，给定点处两个矢量之间的角度在平行传输下保持不变。特别是，通过连续平行位移绕闭合回路返回到起始点的矢量将具有相同的长度，但通常不会返回到其初始方向。

数字

图 5：二维生物从 A→B→C→A 围绕二维表面 S2 上的测地三角形进行矢量的平行传输，最终在返回到 A 时指向不同的方向。

对于包围无限小空间部分的闭环，每单位面积的矢量旋转构成了空间局部曲率的度量。因此，方向的有限平行位移是否可积，即与路径无关，取决于曲率张量是否消失。

根据韦尔的说法，黎曼几何不是纯粹的或真正的无穷小微分（公制）几何，因为它允许在有限距离上比较长度。韦尔 (Weyl) 在 1918 年发表的题为 Gravitation und Elektrizität（引力与电）的开创性论文 (1918a) 中说道：

然而，在上述黎曼几何中，仍然存在最后一个遥远的几何[ferngeometrisches]元素——据我所知，没有任何合理的理由；造成这种情况的唯一原因似乎是黎曼几何从曲面理论的发展。该度量不仅允许在同一点比较两个向量的长度，而且还允许在任意分开的点比较两个向量的长度。然而，真正的近几何（Nahgeometrie）可能只认识到将一点的长度转移到无穷小的相邻点的原理，然后假设长度从一点转移到有限远的点就不再合理了。点是可积的，那么就假设方向的传递是可积的。

韦尔想要一种公制几何，它不允许对位于有限不同点的两个向量之间的长度进行距离比较。韦尔认为，在纯粹的无穷小几何中，如果注意力仅限于流形的单个点，那么在确定矢量的长度之前，必须任意选择某种长度或规格的标准。因此，纯无穷小度量微分几何概念的本质就是能够确定一点上任意两个向量的长度之比以及任意两个向量之间的角度。并且因为我们可以确定一点上任意两个向量之间的角度，所以这样的纯无穷小度量流形必须至少具有共形结构 C.[47]

共形时空结构的定义特征由以下方程给出

0=ds2=gij(x(p))dxidxj,

它决定了 p 处的光锥。度量的规范变换是一个映射

gij(x(p))→λ(x(p))gij(x(p))=

￣

克

ij(x(p)),

它将度量保留为正且平滑但任意的标量因子或规范函数 λ(x(p))。在伪黎曼结构的情况下，这种规范变换不会改变光锥。 p 处两个向量之间的角度由 (11) 给出。显然，规范变换

￣

克

ij(x(p))=λ(x(p))gij(x(p)) 是保角的，即保形的。通过共形规范变换相关的两个度量称为共形等效。共形结​​构不能确定一点上任何一个向量的长度。仅任意两个向量的相对长度，长度之比|vp|⁄|wp|已确定。

Weyl 利用了共形结构的这些特征，并建议给定共形结构，可以以平滑但任意的方式在每个点选择规范，使得流形的任何点的度量 (8) 是常规的或不确定的在某种程度上，该指标

d

￣

s

2=λ(x(p))gij(x(p))dxidxj

同样有效。

然而，共形结构本身并不能确定唯一的对称线性连接；它仅确定共形等效连接的等价类K=[Γ]，即在并行传输期间保持共形结构C的连接。任意两个共形等效对称线性连接之间的差异

￣

γ

我

jk

, γ

我

jk

ε[Γ] 由下式给出

￣

γ

我

jk

− γ

我

jk

=

1

2

(δ

我

j

θk+δ

我

k

θj−gjkgirθr),

在哪里

θj(x(p))dxj

是任意单一形式的字段。

由于共形结构仅确定共形等效对称线性连接 K=[Γ] 的等价类，因此此类几何中的仿射连接不是唯一确定的，并且矢量的并行传输一般也没有很好的定义。此外，即使以路径相关的方式，也无法确定位于不同点的两个向量的长度之比。根据 Weyl 的说法，无穷小几何的一个基本原理是流形 M 上的度量结构决定了 M 上唯一的仿射结构。正如前面指出的，这一原理在黎曼几何中得到满足，其中度量决定了唯一的对称线性连接，即根据（9）的度量连接。显然，对于仅是共形结构的结构，不满足无穷小几何的基本原理，因为共形结构仅确定共形等效对称连接的等价类。 Weyl表明，除了结构结构以外，还需要附加结构，以确定从同型等效对称线性连接的等效类别K = [γ]的唯一对称线性连接。 Weyl表明，这种额外的结构是由控制长度一致位移的长度连接或量规场AJ提供的。 Weyl称此附加结构为歧管上的“度量连接”。但是，我们将使用术语“长度连接”一词，以避免与“公制连接”一词的现代用法混淆，该术语今天表示由Riemannian Metric Tensor唯一确定的对称线性连接（9 ）。