赫尔曼·韦尔的照片（三）

因此，Weyl对连续体的描述之间只有很小的差异，因此Weyl放弃了他先前的分析重建尝试，并加入了Brouwer。他解释说：

我试图在分析状态的即将消除的状态下找到坚实的基础（这是在准备中，尽管仍然只有很少的认可），而无需纯粹和诚实地执行其基本原则，而没有抛弃其建立的顺序。我相信我很成功 - 尽可能。因为这个命令本身是站不住脚的，因为我现在已经说服了自己，而布鲁瓦（Brouwer） - 那是革命！ 。相反，后者胜过前者。我们欠连续性问题的新解决方案是Brouwer。历史已经从加里利的临时解决方案以及差分和整体演算的创始人中再次破坏。 （Weyl 1921，98–99）

韦尔最初对直觉主义的热情似乎后来减弱了。这可能是由于他越来越相信，遵守直觉学说所要求的数学牺牲（例如，放弃最小上限原则以及其他古典分析的其他重要结果）将被证明是无法实践的数学家。见证了数学和自然科学哲学的这一经文：

与Brouwer的数学具有最高的直观清晰度。他成功地以自然的方式发展了分析的开端，一直以来一直在保持与直觉的联系比以前更加接近。然而，不能否认，在发展到更高和更一般的理论时，古典逻辑的简单定律的不适用性最终导致几乎难以忍受的尴尬。数学家痛苦地看着他高耸的大厦的大部分，他认为这是由混凝土块建造的，在他的眼前溶解在雾中。 （Weyl [1949]，54）

尽管如此，Weyl可能仍然相信他的日子结束时，直觉主义尽管具有技术性的“尴尬”，但最接近所有数学方法，以捕捉连续体的本质。

3.3 Weyl和Hilbert

韦尔（Weyl）在1920 - 21年在数学基础上对直觉的立场的拥护者不可避免地导致了他的老导师希尔伯特（Hilbert）摩擦。希尔伯特（Hilbert）长期以来一直认为，原则上存在对自然世界充分科学理解的可能性，并且在数学的情况下类似地，一旦以所需的精度构成了问题，就可以至少原则上可溶。在1904年，他被感动以回应埃米尔·杜·博伊斯·里蒙德（Emil du Bois-Reymond）关于科学局限的著名宣言，Ignoramus et ignorabimus（“我们无知，我们将保持无知”）：）：

我们在我们内心听到了永恒的电话。有问题。寻求解决方案。您可以通过纯粹的理由找到它，因为在数学中没有Ignorabimus。[24]

希尔伯特（Hilbert）无情地反对“通过法令”对数学的任何限制，这是他在职业生涯的早期遇到的障碍，以利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）的形式（19世纪有影响力的19世纪德国数学家）对所有数学的态度进行了反对有限的数学化的障碍。 。在布鲁维尔的直觉计划中，由于其严厉的限制了对数学论点中可以接受的内容的限制，特别是它拒绝了被排除的中间，“纯”的存在证明，实际上是整个Cantorian set理论 - 赫尔伯特看到了克罗内克利亚人的回归关于数学的构造（也许还有Du Bois-Reymond的“ Indigorabimus”的痕迹），他已经挣扎了很长时间。那时，韦尔伯特加入布鲁维利亚营地时，希尔伯特很沮丧。[25]

希尔伯特的回应是为数学基础开发一种全新的方法，其最终目标是毫无疑问地建立整个古典数学的一致性，包括算术，分析和坎托里亚集合理论。随着实现这一目标，经典数学将被牢固地放在直觉主义者的破坏性范围之外。希尔伯特计划的核心是将古典数学演示的整个设备翻译成一个简单，有限的框架（他称为“ metAmathematics”），原则上不再涉及到符号的直接​​操纵，而纯粹是正式的，并且没有进一步的含义。[26]在变质学本身中，希尔伯特（Hilbert）施加了一个比直觉主义者所要求的更严重的证明证据标准，这是一种有限主义的形式（具有讽刺意味的是），这是克罗内克（Kronecker）的形式。然后，通过在希尔伯特坚持的严格有限证据的限制中表明，经典数学的一致性的证明是可以实现的，希尔伯特坚持的严格有限证据表明，在该系统中，正式的经典证据的形式化对应物绝对会导致断言，例如AS 0 = 1。

希尔伯特（Hilbert）的计划基于这样的见解：Au Fond，这是数学的唯一部分，其可靠性完全毫无疑问是有限的或具体的部分：特别是，对不同对象的可调节域（包括数学符号，包括以纸上标记为标记）的可调节域进行有限的操纵。数学命题仅在这种意义上指的是混凝土对象，希尔伯特被称为真实，具体或内容命题，以及他认为具有理想或抽象特征的所有其他数学命题。 （例如，2+2 = 4将算作一个真实的命题，而存在一个奇怪的完美数字将算作理想的命题。）希尔伯特将理想命题视为类似于理想的线条，并指向“无限”的“无限”。投影性几何形状。就像使用这些的使用不会违反通常笛卡尔平面的“具体”几何形状的任何真理，因此他希望表明，使用理想命题（即使是坎托里亚人的理论的），也永远不会导致真实的虚假性换句话说，这种使用永远不会与关于具体物体的任何不言而喻的事实相矛盾。因此，通过严格的具体建立了这一点，因此无法实现的手段是希尔伯特计划的核心目的。可能会发现希尔伯特（Hilbert）遵循康德（Kant）试图对时空配置的理解进行数学的扎根。但是希尔伯特将这些配置限制为具体标志（例如纸上的铭文）。希尔伯特将一致性视为存在的试金石，因此对他来说，重要的是，在混凝土迹象的范围内不会出现不一致之处，因为对混凝土物体的正确描述总是相互兼容的。特别是，在具体标志的领域中，实际的无穷大不能产生不一致之处，因为他再次与康德一起认为，这个概念不能与任何具体对象相对应。希尔伯特的观点似乎是因为，数学问题的正式健全性最终不是从逻辑来源，而是从混凝土来源[27] [27]，与真正报道的经验陈述的一致性几乎相同。外部世界[28]。

韦尔很快就掌握了希尔伯特计划的重要性，并承认其“巨大的意义和范围” [29]。当然，该计划是否可以成功实施仍然是一个悬而未决的问题。但是，与这个问题无关，Weyl担心他认为由于希尔伯特（Hilbert）彻底进行数学形式化而导致的内容丧失。 Weyl警告说：“毫无疑问，如果数学要保持严重的文化关注，那么希尔伯特的公式游戏必须具有某种意义。” Weyl认为，这种感觉只能通过“融合”的数学和物理学来提供，以便“数字，功能等的数学概念等（或希尔伯特的符号）通常以与现实的理论结构相同，就像与的概念相同[30]实际上，在韦尔的角度，“为天然科学服务是数学的功能”。但仍然：

理论物理学的命题……缺乏布鲁威尔对数学命题的要求，即，每个特征都应该在自己内部携带自己的直觉上可理解的含义……。相反，通过与经验相遇的理论物理学来测试的是整个系统。似乎我们必须区分现象知识或洞察力，例如：“这片叶子（在当前的感知行为中给我）具有这种绿色（在同一感知中给予我）” - 和理论结构。知识提供了真理，其器官在最广泛的意义上是“看到”的。尽管出现错误，但基本上是确定的且不改变的。理论构建似乎仅绑定到一个严格的理性原理，一致性，在数学中，在数学中，有义务数据的领域仍然没有受到影响，从而降低了一致性。它的器官是创造性的想象力。 （Weyl 1949，61-62）

Weyl指出，就像在理论物理学中一样，希尔伯特对数学的描述“已经……通过……理想的假设超越了可确定的事务状态的范围。” （Weyl 1927，484。）如果希尔伯特的内容或“真实”命题（metamathematics的领域）与Weyl术语“洞察力”或“现象知识”，那么“认真”数学可以直接访问世界的那个部分 - 实践数学家实际上正在从事的数学，这与希尔伯特的“理想”命题的领域相对应。 Weyl将这个领域视为由“象征性结构”产生的域的对应物，该领域是由理论物理学重点关注的超越世界。因此，他令人难忘的特征：

设定的理论方法是幼稚现实主义的阶段，它并不意识到从给定向超然的过渡。布鲁维尔（Brouwer）代表理想主义，要求将所有真理减少到直觉上。最后，在[希尔伯特]的形式主义中，意识试图“跳过自己的阴影”，抛弃给定的东西，代表超越者，但是，只有通过符号才能否则？ （Weyl 1949，65-66）

在韦尔的眼中，希尔伯特的方法体现了“超然的象征性代表，要求得到满足”，因此他将其出现视为自然发展。但是到1927年，韦尔将希尔伯特的学说视为开始胜过直觉主义，在这种融合中，“对纯现象学的哲学态度的决定性失败，因此，这也被证明是不足以理解创造性科学的理解这是最原始的，最容易开放的证据 - 数学。超越了现象学上给出的东西，他大概已经接受了纯粹的现象学无法解决理论物理学，更不用说整个存在了。但是，在数学的情况下，承认这种类似的主张对他来说一定很痛苦。他在1932年断言：“如果数学是自己摄取的，那么人们应该用布鲁维尔将自己限制在直觉上可识别的真理……没有什么会迫使我们走得更远。”如果可以“自行捕捉数学”，那么就无需通过求助于“符号结构”来证明其实践合理的理由，即采用符号本身就是“什么都没有表示”，至少没有任何直觉可以访问。但是，与布鲁瓦不同，韦尔似乎终于对数学不能简单地“被抓住”的想法达成了人们的看法，它在世界上扮演的角色更大，超越其服务，无论是纯粹，还是纯粹，纯洁，无论主观的确定性。

戈德尔（Gödel）不完整定理对希尔伯特（Hilbert）计划的后来影响导致韦尔（Weyl）在1949年发表了评论：[32]

数学的最终基础和最终含义仍然是一个空旷的问题。我们不知道它将找到其解决方案，甚至根本无法期望最终的客观答案。 “数学化”很可能是人类的创造性活动，例如音乐，其产品不仅以形式，而且在实质上违背了完全客观的合理化。希尔伯特大胆企业的不确定结果不能影响哲学解释。 （Weyl 1949，219）

“戈德尔给我们留下了足够宽的形式主义，以涵盖古典数学的形式，这一事实将得到一致性证明的支持”，这似乎使韦尔对“在希尔伯特面前开发的无雄心勃勃的梦想中开发的公理系统没有如此雄心勃勃的梦想”引起了人们的重新兴趣” ，例如，Zermelo的集合理论，Russell's和Whitehead的型号理论以及Hilbert自己的几何体系系统（也可能是Das Kontinuum的Weyl自己的系统） 他谦虚地没有提及）。在他 1953 年之后写的最后一篇论文《数学中的公理化与构造性程序》中，他看到了希尔伯特形式主义和布劳威尔直觉主义之间的斗争，他在 1920 年代参与了这场斗争，因为这场斗争已经让位于公理化和构造性程序的“巧妙混合”。布尔巴基和代数学家（希尔伯特的数学后裔）所倡导的数学方法与几何和拓扑相关的构造过程。

通过让韦尔本人拥有最后的发言权来结束对韦尔在数学基础和哲学方面的工作的描述似乎是合适的：

这段历史应该清楚地表明一件事：我们比以往任何时候都更加不确定（逻辑和）数学的最终基础；就像当今世界上的每个人和每件事一样，我们也面临着“危机”。我们已经拥有它近五十年了。从表面上看，它似乎并没有妨碍我们的日常工作，但我承认它对我的数学生活产生了相当大的实际影响：它将我的兴趣引向了我认为相对“安全”的领域，并且它一直是一种持续的消耗我从事研究工作的热情和决心。其他数学家可能也有同样的经历，他们对自己的科学努力在人类在世界上的整个关怀和认知、痛苦和创造性存在的背景下的意义并不漠不关心。 (韦尔 1946, 13)

4. 对物理学基础的贡献

4.1 时空几何和韦尔统一场论

外尔对坐标、不变性或对称原理的作用的澄清，规范不变性的重要概念，关于度量的毕达哥拉斯形式的唯一性的群论结果，他对列维-奇维塔平行性概念的概括，他对路径几何，他发现了因果惯性方法，为凭经验确定非圆形、非常规的时空度量奠定了基础他对运动概念的深入分析以及马赫原理的作用，只是他对现代时空理论的哲学和数学基础做出的重要贡献的几个例子。

韦尔的书《Raum-Zeit-Materie》完美地体现了数学、物理学和哲学之间富有成效且和谐的相互作用。在这里，韦尔的目标是对一般的空间和时间问题进行数学和哲学阐明。在 1923 年这部伟大的古典著作第五德文版的序言中，韦尔在提到数学对其著作的重要性后说道：

尽管如此，这本书并没有否认其基本的哲学方向：它的中心焦点是概念分析；物理学提供经验基础，数学提供锋利工具。在这个新版本中，这种倾向得到了进一步加强；尽管投机的增长受到抑制，但支持的基本思想得到了更直观、更仔细、更完整的发展和分析。

4.1.1 Weyl 对称线性连接的度量独立构造

黎曼对高斯对欧几里得空间中曲面的处理进行了扩展和抽象，构建了 n 维流形的无穷小几何。这种 n 维黎曼流形中点 p 的坐标分配 xk(p) [k∈{1,…,n}] 是相当任意的，仅受任意微分坐标变换的要求。[33]黎曼的假设，即在点的无穷小邻域中，欧几里得几何以及毕达哥拉斯定理成立，在黎曼方程中找到了其形式表达

ds2=

Σ

我,j

gij(xk(p))dxidxj [其中 gij(xk(p))=gji(xk(p))]

对于从点 p=x(p)=(x1(p),…,xn(p)) 到任意无限接近点 p′=x(p′) 的无穷小线元素的长度 ds 的平方)=(x1(p)+dx1(p),…,xn(p)+dxn(p))。

欧几里得几何保持无穷小的假设意味着 dxi(p) 在任意坐标变换下线性变换。使用爱因斯坦求和约定[34]，方程（1）可以简单地写为

ds2=gij(xk(p))dxidxj。

黎曼假设毕达哥拉斯度量仅在无限小时有效。黎曼几何本质上是无限近点的几何，符合所有定律都被表述为场定律的要求。场定律是近作用定律，仅将场大小与空间中无限小的相邻点相关联。 [35]每个点处的某些场强度值仅取决于相应点的无穷小邻域中的其他场强度值。场大小由位置函数在某个点的偏导数组成，这需要了解位置函数仅相对于该点的邻域的行为[36]要构造场定律，只需了解世界的行为需要无限小。[37]

五十年后，黎曼的思想在爱因斯坦的广义相对论中得到了具体的实现。广义相对论的基本思想是爱因斯坦认识到，度量场对物质具有如此强大的实际影响，它不可能是一劳永逸的刚性时空几何结构，但它本身必须是真实的东西，而不是只对物质有影响，但反过来也受物质影响。黎曼已经提出，类似于电磁场，度量场与物质相互作用。爱因斯坦独立于黎曼提出了物质与场之间互易性的想法，并在他的广义相对论的背景下，将这种互易性原理应用于四维时空。因此，爱因斯坦可以采用黎曼的无穷小几何，但有一个重要的区别：考虑到爱因斯坦狭义相对论的因果要求，黎曼的二次形式不是正定的，而是不定的；它有签名 1.[38]韦尔（1922a）说：

到目前为止，我们所有的考虑都是基于这样的假设：空间的度量结构是固定且给定的。黎曼已经指出了通过广义相对论实现的另一种可能性。外部世界广泛媒介的韵律结构是物理现实的一个领域，它因果上依赖于物质的状态。

Weyl (1918b) 在另一处评论道：

度量本身并不是世界[时空]的属性，而是时空作为一种表现形式，在分析位置的意义上是一个完全无形的四维连续体，但度量表达了真实的东西，存在于世界中的东西，它通过离心力和引力对物质产生物理影响，并且其状态反过来受到物质的分布和性质的限制。

爱因斯坦将黎曼几何应用于广义相对论后，黎曼几何成为人们研究的热点。特别是，G. Ricci 和 T. Levi-Civita 所谓的绝对微分学发展并阐明了黎曼仿射联系和协变微分的概念。然而，这一发展的决定性一步是 T. Levi-Civita 在 1917 年发现了无穷小平行矢量位移的概念，以及这种平行矢量位移由黎曼几何的度量场唯一确定的事实。 Levi-Civita 在流形上构建无穷小并行传输需要将流形嵌入到平坦的高维度量空间中。 1918 年，Weyl 通过不需要这种嵌入过程的内在构造，推广了 Levi-Civita 的并行传输概念，因此独立于度量。 Weyl 的内在构造导致了与度量无关的对称线性连接。 Weyl 将后者简单地称为仿射连接。 [39]

Weyl 通过以下方式定义了仿射连接的含义：流形 M 上的点 p 与其直接邻域仿射连接，当且仅对于 p 处的每个切向量 vp，q 处的切向量 vq 确定为切向量 vp 在从 p 到无限小相邻点 q 的平行位移下产生。这个定义只是说，如果流形允许向量的无穷小的平行位移过程，则流形是仿射连接的。

韦尔的下一个定义描述了无穷小平行位移的本质。该定义表示，在流形的任意点处，都存在一个测地坐标系，使得该点处的任何向量的分量都不会因相对于该点的无穷小的平行位移而改变。这是爱因斯坦要求引力场总是可以局部消失的几何表达方式。根据 Weyl (1923b, 115) 的说法，它描述了流形上仿射连接的性质。仿射流形在这个意义上是齐次的。此外，不存在具有不同性质的仿射结构的流形。