赫尔曼·韦尔的照片（二）

3. 数学基础和哲学研究

韦尔在 1954 年哥伦比亚大学二百周年庆典上发表的关于知识统一的演讲接近尾声时，列举了他认为知识的基本组成部分。在他的列表的顶部[7]是

......直觉，心灵看到赋予它什么的普通行为。 (韦尔 1954, 629)

特别是，韦尔认为直觉或洞察力——而不是证据——提供了数学知识的最终基础。因此，他在 1918 年的《Das Kontinuum》中说道：

在《戴德金》的序言（1888）中，我们读到“在科学中，任何可以证明的东西都不能在没有证据的情况下被相信”。这句话无疑是大多数数学家思维方式的特征。然而，这是一个荒谬的原则。就好像这样一种间接的理由串联，尽管我们可以称之为证据，可以唤醒任何“信念”，除了通过直接的洞察力来保证我们自己每一步都是正确的。在所有情况下，这种确认过程（而不是证明）仍然是知识获得权威的最终来源。这就是“真理的体验”。 （韦尔 1987，119）

韦尔的唯心主义自然地使他倾向于这样一种观点，即他自己的学科数学的最终基础必须在直觉中找到，而不是超越的。尽管如此，他认识到要求所有数学知识都具有直观的即时性是不合理的。例如，在《Das Kontinuum》中，他说：

数学所处理的事态，除了最简单的事态之外，都非常复杂，以至于实际上不可能将它们带入意识中完全给定的状态，并以这种方式完全掌握它们。 （同上，17）

然而，韦尔认为，这一事实尽管可能是不可避免的，但并不能证明将数学的界限扩展到包含诸如实际无限之类的概念是合理的，因为即使在原则上，这些概念也不能完全用直觉给出。相反，他认为，只有数学在物理科学中发挥着不可或缺的作用，直觉证据必然被超越，这一事实才能保证数学向超越性的延伸。正如他在《开放世界》[8] 中所说：

......如果数学本身，人们应该像布劳威尔一样将自己限制在直观可认知的真理......没有什么能迫使我们走得更远。但在自然科学中，我们接触的是一个不受直观证据影响的领域。在这里，认知必然成为象征性的建构。因此，我们不再需要要求当数学被纳入物理学的理论建构过程时，应该可以将数学元素划分为一个特殊的领域，在这个领域中所有的判断都是直观确定的；从这个使整个科学表现为一个整体的更高立场来看，我认为希尔伯特是正确的。 （韦尔 1932，82）。

在数学的一致性（1929）中，Weyl 将数学方法描述为

可能性的先验构造与实际给出的后验描述相反。 [9]

确定在这个意义上构建“可能”的限制的问题困扰着韦尔。他特别关注数学无限的概念，他认为数学无限可以逃避朴素集合论意义上的“构造”[10]。再次引用《Das Kontinuum》中的一段话：

除了指出集合元素的属性特征之外，没有人能够描述无限集合……。认为集合是由无限多个单独的任意选择行为聚集在一起，然后通过意识将其作为一个整体进行审视的“集合”的概念是荒谬的； “取之不尽，用之不竭”是无限的必要条件。 (韦尔 1987, 23)

但正如韦尔在《开放世界》结尾时所证明的那样，“对整体性的需求和对现实的形而上学信仰不可避免地迫使心灵通过象征性的建构将无限表示为封闭的存在”。完整的无限的概念，即使是荒谬的，也是不可避免的。

3.1 连续体

外尔深入思考的另一个数学“可能性”是连续统。 1918 年至 1921 年间，他致力于解决为数学连续统（实数轴）提供逻辑上合理的表述的问题。韦尔对数学连续统的集合论构造的基本原理越来越持批评态度。他开始相信整个集合论方法涉及恶性循环[11]，以至于正如他所说，“这个强大有机体的每个细胞（可以这么说）都充满了矛盾。”在《连续论》中，他试图通过提供带有谓词表述的分析来克服这个问题，而不是像罗素和怀特海所尝试的那样，通过引入逻辑分支类型的层次结构（韦尔似乎认为这种层次结构过于复杂），而是通过限制理解来克服这一点。约束变量范围仅限于初始给定实体（数字）的公式的原则。因此，他将分析限制为借助于三种基本逻辑运算，以及替换运算和“迭代”过程（即原始递归），可以用自然数来完成什么。韦尔认识到，这种限制的影响将导致经典分析的许多核心结果变得无法证明——例如，任何有界实数集都有最小上界的狄利克雷原理[12]——但他准备接受这一点：为了数学的安全而必须付出的部分代价。

正如韦尔所看到的，一方面直观给定的连续体（例如空间、时间和运动的连续体）与另一方面数学的“离散”精确概念（例如自然数的概念[13]）之间存在着不可逾越的鸿沟。其他。这一鸿沟的存在意味着数学连续体的构造不能简单地从直觉中“读出”。在韦尔看来，随之而来的是，数学连续体必须被视为超越领域的一个元素，因此最终以与物理理论相同的方式被证明是合理的。数学理论的一致性还不够，还必须一致。它也必须是合理的。

Das Kontinuum 体现了韦尔试图构建一种连续统理论，该理论满足第一个要求，并尽可能满足第二个要求。在这部作品的以下段落中，他承认这项任务的难度：

……数学的概念世界与直觉连续体向我们呈现的内容是如此陌生，以至于必须将两者之间的巧合要求视为荒谬而予以驳回。 (韦尔 1987, 108)

…立即通过直觉（在时间流和运动的流动中）给予我们的连续性尚未按数学上的掌握，作为与其内容的一部分，可以以确切的方式进行概念化的整体“阶段”。 （同上，24）[14]

确切的时间或空间点不是经验中给我们的持续时间或延长的最终原子元素。相反，唯一的原因彻底渗透了经过体验的东西，才能够掌握这些确切的想法。只有在属于纯正式领域的实际数字的算术分析概念中，这些思想才能完全确定。 （同上，94）

当我们的经验变成了现实世界中的真实过程，而我们的惊人时代已经在这个世界上传播并假设一个宇宙的维度，我们对通过实际数字的确切概念代替连续体感到不满意，尽管源于给出的基本和不可否认的不切实。 （同上，93）

正如这些引文所示，魏尔（Weyl）开始接受，原则上不可能以精确的数学表达方式提供直觉的连续体：因此，他不情愿地降低了他的视线。在Das Kontinuum中，他的目标首先是通过将实际数字的算术概念置于坚定的逻辑基础上，以建立连续体数学理论的一致性。一旦实现了这一目标，他将继续证明，通过将其作为在客观物理世界中持续过程的合理描述的基础，这是合理的。[15]

在Das Kontinuum Weyl的第6节中，他就直观和数学连续性之间的关系得出了他的结论。他提出了一个问题：他所建立的数学框架是否可以像实际经历的那样提供足够的物理连续性或时间连续性的代表？在提出这个问题时，我们可以看到胡塞尔和现象学学说的持续影响。 Weyl开始调查他的调查，指出，根据他的理论，如果有人问给定功能是否连续，答案并非一劳永一直定义到提出问题的地步。因此，功能的连续性必须始终保持临时性；现在，随着“新”实数的出现，现在被认为连续的函数可能会在将来是不连续的。 [16]

为了揭示基于实数的正式记载与直觉上的连续体的属性之间的差异，Weyl接下来考虑了在特定时间间隔内看到铅笔位于他面前的桌子上的经历。在此间隔期间，铅笔的位置可以作为时间的函数，而Weyl认为这是一个观察到的事实，即在可疑的时间间隔内，此函数是连续的，并且其值落在确定的范围内。所以，他说，

这个观察结果使我断言，在某个时期，这支铅笔在桌子上。即使我这样做的权利并不是绝对的，但这仍然是合理且良好的。显然，假设“我们的定义原则的扩展”可能会破坏这一权利，就像如果我的直觉忽略了新的时刻，可以添加到这个间隔中，这是铅笔在其中，也许是铅笔的时刻在小天狼星附近或谁知道哪里。如果时间连续体可以用“范围为”实数的变量表示，那么它似乎是在从而确定的，从而确定我们必须多么狭窄或广泛地理解概念“实际数字”，并且对此的决定不得将其委托给逻辑审议定义原则之类的原则。 （Weyl 1987，88）

为了将重点带回家，Weyl将注意力集中在立即给定时间的基本连续体上，也就是说，正如他所表征的那样，

…依赖于我的意识经历的这种不断形式，它们在我看来是依次逐渐流动的。 （通过“经验”，我的意思是我所经历的，完全按照我的体验。我并不是说在确定的心理派个人中发生的真实心理或身体过程，属于现实世界，也许与直接经验。）（同上，88）

为了将数学概念与现象时期相关联，Weyl赋予了引入严格的点状“现在”并识别和表现出所得的时间点的可能性。在收集这些时间点时，定义了与时间间隔平等的早期关系，以及一个简单数学时间理论的基本组成部分。现在，Weyl观察到，如果可以证明以下条件得到满足，那么现象时间和实际数字概念之间的差异将消失：

直观的发现的即时表达，即在一定时期，我看到那里的铅笔的解释是这样的方式，即“在某个时期”中的短语被“在每个时间点落在特定时间范围内的每个时间点中”所取代。 。 [Weyl在这里继续说，他承认“这不再再现了直觉上的内容，但是如果真正合理地将一段时间溶解到时间点上是合理的，则必须让它通过。”）

如果p是一个时间点，则在且仅当时间点l比p之前l比p之前，l的理性数字域

ol = l.oe

可以根据我们的定义原则在纯数理论中算术构建，因此在我们的意义上是一个真实的数字。 （同上，89）

条件2意味着，如果我们将时间跨度为单位，则每个时间点P与确定的实际数字相关。在附录中，Weyl还规定了相反。

但是，时间直觉本身可以为这两个条件的真理或虚假性提供证据吗？ Weyl认为没有。实际上，他非常明确地指出

…我们在这里要求的一切都显而易见：对于这些问题，时间的直觉没有提供任何答案 - 就像一个人一样，没有回答问题，这些问题清楚地被错误地解决了，因此，当给他解决时，这是难以理解的。 （同上，90）

这种断言的理由绝不是立即明显的，但是一个从之后的段落中收集到Weyl认为现象时代的连续持续流动，因为它构成了代表连续体的整个企业的不可驱动的障碍，因为它代表了连续体，这是根据各个点来体验的。 ，甚至是“个体时间点”本身的特征。正如他所说，

流动的观点由点组成，因此也溶解成点是错误的：确切地说，我们避免了我们的终止，是连续性的本质，从点到点流动；换句话说，持续持久的存在如何不断地溜进过去的过去的秘密。我们每个人在每时每刻都直接体验到这种时间连续性的真实特征。但是，由于现象时代的真正原始性，我们无法将我们的经验置于言语中。因此，我们将对以下描述感到满意。我意识到的是对我来说是一个现在，而且本质上是它的暂时位置。这样，就会出现持续的事实范围，这是有史以来坚持意识和变化的新事物。 （同上，91–92）

Weyl总结了他认为“客观提出的时间”可以肯定的 - 他可能意味着“以客观的方式描述的现象时间” - 在以下两个断言中，他声称这同样适用于Mutatis Mutandis，以授予每一个直观地给出的每个主张尤其是连续到空间扩展的连续体。 （同上，92）：

它的个别观点是非独立的，即当被本身占据时，纯粹是虚无的，并且仅作为“过渡点”（当然，这绝不可以从数学上可以理解）；

正是由于时间的本质（而不是由于我们的介质中的偶然性不完美），因此不能以任何方式表现出固定的时间点，总是只有大概一个大概，绝不可能确切的确定。

Weyl断言，真正连续性“无法展示”中的单点是由于他们不是真正的个体，因此无法以其特性来表征这一事实。在物理世界中，它们从来没有被绝对定义，而仅在坐标系统方面定义，在逮捕的隐喻中，韦尔将其描述为“根除自我的不可避免的残留物”。韦尔将不止一次地使用这种隐喻[17]，再次反映了现象学学说在他的思想中的持续影响：在这里，首先给出了存在的论点是意识的内容。

3.2 Weyl和Brouwerian直觉主义

到1919年，Weyl开始接受Brouwer对直觉连续体的看法。考虑到始终使韦尔思想动画的唯心主义，这并不奇怪，因为布鲁沃（Brouwer）将思想分配给了数学世界的创建中的中心地位[18]。

布鲁沃尔（Brouwer）在早期的思想中认为，连续体是整体上的，并且不可能作为个人构建其所有观点。但是后来他从根本上改变了“点”的概念，以足够的流动性赋予了点，使它们能够成为“真实”连续体的发电机。这种流动性是通过承认为“要点”来实现的，不仅完全定义了离散数字，例如1/9，e之类的 - 可以这么说，而且已经实现了“存在”，而且还在永恒的“成为”状态是，十进制（或二元）扩展中的条目是在整个无限期延长的主题中进行自由行动的结果。所得的选择序列不能被认为是完成的，完成的对象：在任何时候，只有一个初始段。因此，布鲁维尔（Brouwer）以一种与他对时间的原始直觉相吻合的方式获得了数学连续体，即在永久增长状态下未完成的，实际上是一个未知的实体，是一种“自由发展的媒介”。在布鲁维尔（Brouwer）的愿景中，数学连续体确实是“构建”的，但是，不是最初像Cantor和Dedekind一样打碎了直观的连续体，而是通过不断改变重叠部分的复杂组装来组装。

Brouwer的影响力在Weyl 1921年的论文中，关于新的数学基础危机。 Weyl在这里识别了连续体的两个不同观点：“原子”或“离散”；和“连续”。在其中的第一个中，连续体由单个实数组成，这些数字定义明确，可以被彻底区分。 Weyl将他早期在Das Kontinuum中重建分析的尝试从这种意义上说：

关于实数的存在问题只有在我们以这种广泛的确定和划界方式分析实数概念的情况下，才会变得有意义。可以这么说，通过这种概念上的限制，单个要点的合奏是从连续体的流体糊中挑选出来的。连续体被分解为孤立的元素，基于“较大的恋者”关系，这些元素之间的某些概念关系取代了其流动的其他部分。这就是为什么我谈论连续体的原子观念的原因。 （Weyl 1921，91）

到这个时候，Weyl否定了连续体的原子理论，包括Das Kontinuum。[19]虽然直观的考虑以及布鲁维尔的影响力一定肯定助长了韦尔对这种理论的拒绝，但它也具有合理的基础。因为韦尔（Weyl）毫无意义地将正式程序（在das kontinuum中雇用）否定了有关构想为开发序列或理性集的实数的普遍和存在的陈述。这具有破坏其理论构建的整个基础的影响，同时使得不可能地表达了此类陈述的“排除中间定律”。因此，Weyl发现自己拥护一个比Brouwer的立场[20]更为激进，而Brouwer的否定陈述具有完全清晰的建设性含义，在此含义下，被排除的中间定律通常不可肯定。

Weyl的存在陈述说：

存在的陈述 - 例如，“有一个偶数的数字”，这根本不是一个正确意义上的判断，它主张了事务状态。事务的存在状态是逻辑学家的空洞发明。 （Weyl [1921]，97）

Weyl称这种伪恒定的“判断摘要”，将它们与典型的文学才华相提并论，以“一张纸，宣布存在宝藏，而不会泄露其位置。”普遍的陈述虽然具有比存在性更大的陈述，但仍然只是判断的暗示，即“判断说明”，Weyl提供以下隐喻描述：

如果将知识与水果进行比较，并将这些知识的实现与果实的消费相提并论，那么将将普遍的陈述与充满水果的硬壳进行比较。但是，它显然是有价值的，但不是作为壳本身，而是因为它的水果含量。只要我不打开它，实际上取出水果并吃掉它，这对我没有用。 （同上，98）

除了逻辑的主张之外，Weyl通过选择的自由行为所产生的序列来欢迎Brouwer的连续体构造，从而将其识别为“自由变为”的“媒介”，“不会将其溶解成一组实际数字，实体”。 Weyl认为，Brouwer通过直觉主义的学说[21]比其他任何人都更加接近，以弥合直觉和数学连续性之间的“无能为力的鸿沟”。特别是，他发现迫使一个事实，即Brouwerian的连续体不是两个不相交的部分的结合，而是一个词，而是不可或缺的。 Weyl说：“真正的连续体不能分为单独的片段。[22]在后来的出版物中，他通过引用Anaxagoras的效果来表达这一点。 ”

Weyl还同意Brouwer的观点，即连续定义的所有函数都是连续的，但是在这里出现了某些细微的观点差异。 Weyl认为，数学家认为不连续的功能实际上是由分离的连续图定义的几个连续函数组成的。例如，在Weyl的角度来分离的continua {x：x＜0}和{x：x≥0}。 （这两个连续图的结合并没有成为整个真正的连续体，因为被排除的中间定律的失败：对于任何实际数字x，x＜0或x≥0都不是没有这种情况。 ）另一方面，布鲁瓦（Brouwer）并没有否认可以在连续体的适当部分定义不连续功能的可能性，并且似乎仍然在寻找一种适当的方式来提出这一想法。[23]特别是，当时，Brouwer可能会倾向于将上述函数F视为在实际连续体的适当部分上定义的真正不连续的函数。对于Weyl来说，似乎是一个不言而喻的事实，即连续定义的所有函数都是连续的，但这是因为Weyl将注意力限制在对功能上的关注，从定义上讲，这是连续的。 Brouwer的功能概念比Weyl的概念限制不大，绝不是立即显而易见的功能必须始终是连续的。

Weyl定义的真实函数是将选择顺序中的每个间隔与选择序列确定参数确定的每个间隔的映射，以确定“按间隔”的值“按间隔”确定值，这个想法是，函数输入的近似值应有效地导致到输入的相应近似值。根据定义，这种功能是连续的。相比之下，布鲁维尔将实际功能视为将选择序列与选择序列相关联，而这些序列的连续性绝不是显而易见的。 Weyl拒绝授予（自由）选择序列的事实（他们的身份绝不是预定的），可以承认他们作为功能的参数，这一事实是对连续体的概念的承诺，作为“自由变得更加更深入”，更深入的概念也许，而不是布鲁维尔。