数学原理中的符号（五）
12.基数算术（第三部分）
随着第二卷开头的*100，《数学原理》终于开始用弗雷格-罗素将数定义为等数类的类来发展基数理论。
Nc（类别与其基数之间的关系）[*100·01]
→
SM
{⟨α,β⟩∣β={γ∣γ≈α}}
NC（基数）[*100·02]
北卡罗来纳州
{α∣∃β(α={γ∣γ≈β}}
0（基数0）[*101·01]
0=NC‘Λ
{∅}
所有与空集等数的类的类就是包含空集的单例。
N0c‘α ( α 的齐次基数) [*103·01]
Nc‘α∩t‘α
{β∣β≈α} 对于与 α 类型相同的 β
N0C（同质基数）[*103·02]
D'N0c
{α∣∃β(α是β的齐次基数)}
α+β（α和β的算术和）[*110·01]
↓(Λ∩β)“ι”α∪(Λ∩α)↓“ι“β
这是通过将 β 的每个元素与 {α} 以及 α 的每个元素与 {β} 配对而使 α 和 β 不相交后的并集。类 α 和 β 与空类 Λ 相交，以调整和的元素类型。
{⟨{a},∅⟩∣a∈α}∪{∅,{b}⟩∣b∈β}
μ+cν（μ 和 ν 的基数和）[*110·02]
^
Ψ
{(∃α,β).μ=N0c‘α.ν=N0c‘β.Σsm(α+β)}
基数加法是齐次基数的算术和：
{γ∣∃α∃β[γ≈(α+β)]} 当 α 和 β 是齐次基数时。
读者现在可以理解为什么这个基本定理直到 PM 第二卷第 83 页才得到证明：
1+c1=2
怀特海和罗素评论道：“上述命题有时是有用的。它至少被使用了三次，在……”。这个笑话提醒我们，弗雷格著作中如此核心的自然数理论，在 PM 中仅作为基数和序数乃至更一般的同构结构类别的一般理论的特例出现。
β×α（类别的乘积）[*113·02]
s‘α↓,,‘‘β
{⟨x,y⟩∣xεβ&yεα}
μ×cν（同质基数的乘积）[*113·03]
^
Ψ
{(∃α,β).μ=N0c‘α.ν=N0c‘β.Σsm(α×β)}
如果μ=
ˉ
ˉ
α
&ν=
ˉ
ˉ
β
则 μ×ν={β∣β≈(α×β)}
α exp β（类的幂）[*116·01]
产品‘α↓,,‘‘β
{f∣Df=β&Rf⊆α}
μν（基数的幂）[*116·02]
^
γ
{(∃α,β).μ=N0c‘α.ν=N0c‘β.γ sm (α exp β)}
{γ∣∃α∃β(μ=
ˉ
ˉ
α
&ν=
ˉ
ˉ
β
&γ≈αβ)}
以下定理，α 的幂集的基数是 2 的 α 基数次幂，
￣
￣
℘α
=2
ˉ
ˉ
α
，被称为“康托尔命题”，据说“非常有用”（PM II，140）：
Nc‘Cl‘α=2Nc‘α
接下来是大于任意基数、有限基数和无限基数的概念。 α 的基数大于 β 的基数，以防存在 α 的子集与 β 等值，但不存在 β 的子集与 α 等值。康托尔著名的“对角论证”表明，实数类基数ℵc大于自然数类基数ℵ0。
μ＞ν（大于）[*117·01]
(∃α,β).μ=N0c‘α.ν=N0c‘β.∃!Cl‘α∩Nc‘β.∼∃!Cl‘β∩Nc‘α
∃δ(δε℘α&δε
ˉ
ˉ
β
)&∼∃γ(γε℘β&γε
ˉ
ˉ
α
）
更熟悉的结果，康托尔定理，证明 α 的幂集严格更大，2
ˉ
ˉ
α
＞
ˉ
ˉ
α
。
μεN0C.⊃.2μ＞μ
NC 感应器（感应基数）[*120·01]
^
α
{α(+c1)*0}
{x∣0S*x}
归纳基数是“自然数”，即 0 以及所有通过“后继关系”S 的祖先与 0 相关的基数，其中 xSy 就在 y=x+1 的情况下。
Infin ax（无穷大公理）[*120·03]
α∈NC 感应.⊃α.∃!α
∀α(αε{x∣0S*x}⊃α≠∅)
无穷大公理断言所有归纳基数都是非空的。 （回想一下 0 = {∅}，所以 0 不为空。）无穷大公理不是一个“原始命题”，而是在使用时被列为“假设”，即作为条件条件的前提，其中结果将取决于公理。从技术上讲，它不是 PM 的公理，因为 [*120·03] 是一个定义，所以这只是 PM 中的进一步表示法！
Prog（级数，或 ω 排序）[*122·01]
(1→1)∩
^
右
(D‘R=
←
R*
''B'R）
{R∣R 与关系的祖先同构，该关系域的每个子集都有第一个元素。 }
“我们所说的‘级数’是指一个类似于归纳基数的级数（假设所有归纳基数都存在）的级数，即其项可以称为 1R,2R,3R,...νR,...的级数。将级数定义为通常类似于归纳基数的级数并不方便，因为这个定义仅在我们假设无穷大公理时才适用，而且因为我们无论如何都必须证明（假设无穷大公理）归纳基数系列具有某些属性，这些属性可用于提供级数的直接定义。” （第二总理，245）
ℵ0（最小的康托超限基数）[*123·01]
D‘‘Prog
ˉ
ˉ
ω
13.关系算术（第四部分）
关系数的概念是良序关系到任意关系概念的推广。正如基数在 PM 中被定义为一类等数类一样，任意关系数也是一类序数相似的关系。
S;Q（S是Q的相关器）[*150·01]
S∣Q∣
˘
S
S∘Q∘S−1
磷
￣
斯莫尔
Q（P 和 Q 之间的相似性类别）[*151·01]
^
S
{S∈1→1.C‘Q=D‘S.P=S;Q}
{f∣FP
1−1
⟶
FQ&∀x∀y[(x∈Df)⊃Pxy=Qf(x)f(y)]}
P smor Q (P 与 Q 相似) [*151·02]
{⟨P,Q⟩∣∃!P
￣
斯莫尔
问}
P≅Q（P与Q同构）。
Nr‘P（P的关系数）[*152·01]
→
斯莫尔
'P
{Q∣P≅Q}
*170 一阶差分关系根据类成员的排序对类进行排序。该方法是类的字典顺序概念的变体，就像字典中单词的字母顺序一样。参见弗兰克尔（1968）。 PM 使用这个概念的两个版本。
Pcl（按 P 的一阶差分排序）[*170·01]
^
α
^
β
{α,β∈Cl‘C’P.∃!α−β−
˘
磷
‘‘(β−α)}
对于 ≺ 个体的排序，α≺clβ 是
{⟨α,β⟩∣α , β⊆F(≺)&α⊈β&∀x∀y(x∈β&y∉α⊃y≺x)}
这在*170的摘要中进行了解释：“α和β各自从C`P中挑选出项，并且这些项具有由P赋予的顺序；我们假设 α 和 β 所选择的早期项可能是相同的，但迟早，如果 α \neq \beta 的话，我们必须得出属于其中一个而不属于另一个的项。我们假设此类最早的项属于 α，而不是 β；在这种情况下，α与β之间存在关系P_{\text{cl}}。也就是说，当 α 和 β 开始不同时，我们得到的是 α 项，而不是 β 项。我们不假设第一项属于 α 而不是 β ，因为如果 P 不是良序的，这会引入不良的限制。” （第二总理，399）
P_{\text{lc}} （通过 P 的一阶差分对类进行逆排序）[*170·02]
Cnv ` (\breve{P})_{\text{cl}}
\{ \langle \alpha, \beta \rangle \mid \alpha \prec_{cl} \beta \}
“因此，粗略地说，\alpha P_{\text{lc}} \beta 意味着 \beta - \alpha 比 \alpha - \beta 持续时间更长，就像 \alpha P_{\text{cl}} \beta 意味着α - β 开始得更快。如果 P 是时间上较早和较晚的关系，而 α 和 β 分别是 A 和 B 起床的时间，则“\alpha P_{\text{cl}} \beta”将意味着 A比 B 起得早，“\alpha P_{\text{lc}} \beta”意味着 B 比 A 晚睡觉。” （第二总理，401）
14.系列（第五部分）
PM 中的“系列”是线性顺序。第二卷在这一部分中结束，第三卷从 \ast250 开始，并介绍了良好排序的理论。这些概念以现在的标准方式定义。由于符号的原因，本节对现代读者来说是陌生的。
trans P (P 为传递关系) [*201·1]
P^2 \子集\! \！ \！ \！ \cdot \;\; 磷
\forall x \forall y \forall z (Pxy \: \amp \: Pyz \: \supset \: Pxz)
connex P（P已连接）[*202·1]
x \in C` P \; 。 \supset_x 。 \; \stackrel{\leftrightarrow}{P} ` x = C`P
\forall x \forall y [(x, y \in \mathcal{F} P ) \: \amp \: x \neq y \supset Pxy \vee Pyx ]
Ser（系列）[*204·01]
Rl \: ‘ J \cap trans \cap connex
\{ P \mid \; \forall x \forall y (Pxy \supset x \neq y) \; \amp \; P 是及物 \amp \; P 是连通的 \} 或 P 是线性排序
节（节）[*211·01]
sect ‘ P = \hat{\alpha} ( \alpha \subset C ‘ P \:. \: P “ \alpha \subset \alpha)
\{ \alpha \mid \alpha \subset \mathcal{F}P \: \amp \: \forall x [ \exists y ( y \in \alpha \: \amp \: Pxy ) \supset x \in \alpha \:]\:\}
“将一个系列分为两类的模式理论，其中一类完全先于另一类，并且共同构成整个系列，这一理论具有根本的重要性。 \ldots 任何可以成为此类中的第一个的类，我们将其称为系列的一部分。” （第二总理，603）
\varsigma ‘ P （P 的一系列线段）[*212·01]
P_{\text{lc}} \限制 \! \！ \！ \downharpoonright D`P_{\in}
\ast 211 的摘要对定义的解释如下：“D 的成员 P_{\epsilon} 称为由 P 生成的级数的段。在级数中，每个子类都有一个最大值或一个后续 [直接后继（参见*206）]，\text{D}“P_{\epsilon}=\overrightarrow{P}“C'P（*211·38），即，一个类的前驱始终是单个术语的前驱，即该类的最大值（如果存在），或者后继（如果不存在最大值）。 \ldots 因此，一般来说，线段系列将大于原始系列。例如，如果我们的原始级数是按数量级排列的有理数级数类型，那么线段级数就是实数级数类型，即连续统类型。” （第二总理，603）
我们不需要对这一系列的部分使用特殊的符号，因为根据 *211·13，它是 \varsigma ‘ P_{\ast} \ldots 。 （第二总理，628）
第三卷以井然有序的 250 开头。然后，序数被定义为一类普通的相似良序。
Bord（良序关系 - Bene ordinata）[*250·01]
\hat{P} \{ Cl ex ‘C ‘P \subset \backd ‘ \text{min}_{P} \}
\{ P \mid \forall \alpha \; [ \: (\alpha \subseteq \mathcal{F}P \: \amp \: \alpha \neq \emptyset )\supset \exists x (x \in \alpha \amp \forall z (z \in \alpha \取代 \sim Pzx )\: )\: ]
\欧米茄（有序系列）[*250·02]
Ser \; \帽\;博德
\Omega 是一类良好有序的线性排序。
NO（序数）[*251·01]
Nr“\欧米茄
序数是同构的良序线性排序的类别。
\ast 258 中导出了“Zermelo 定理”，即乘法公理（选择公理）意味着每个集合都可以是良序的。这在 Zermelo (1904) 中首次得到证明。
\tag*{*258·32 } \mu \sim \in \: 1 \: 。 \; \存在！ \in_{\Delta}‘\text{Cl ex} ‘ \mu \: . \supset 。 \: \mu \: \epsilon \: C“ \Omega
