数学原理中的符号（六）

15. 数量（第六部分）

PM的最后一部分研究有理数和实数。它们是根据实体之间的关系构建的，例如比用尺子或天平测量的长度更长或更重。当代测量理论研究实体之间的关系，以确定哪些尺度或独立特征数字的系统可以分配给它们来代表它们所拥有的各种属性（例如长度或重量）的“数量”。请注意，实数不是被构造为有理数类，而是作为一系列比率类中的“戴德金割”的统一类型。在 PM 中，正如在当代数学中一样，因为有理数的类（段）\{ r | r^2 \leq 2 \} 将没有有理数作为最小上限，该类本身将用无理数 \sqrt{2} 标识。有理数 1/2 用它的（下）有理数段来标识，\{ r | r \lt 1/ 2 \} 。

U（大于归纳基数）[*300·01]

(+_c 1)_{\text{po}} \; \upharpoonright \! \！ \！ \downharpoonright \; ( \text{NC 归纳 } - \iota ` \Lambda)

\{ \langle n, m \rangle \mid \; n \gt m \}

Prm（相对素数）[*302·01]

\hat{\rho}\hat{\sigma} \{ \rho , \sigma \: \epsilon \: \text{NC 感应} \; : \;\rho = \xi \times_c \tau \: . \: \sigma = \eta \times_c \tau 。 \supset_{\xi, \eta, \tau} 。 τ=1\}

r \; \text{和} \; s \; \text{是互质 iff \forall j \: \forall l \: \forall k \: [ ( r = j \times k \; \amp \; s = l \times k) \supset k = 1]

(\rho , \sigma) \text{Prm}_{\tau} (\mu , \nu ) (\rho / \sigma \; \text{is}\; \mu / \nu 的最低术语和 \ tau 是 \mu \; \text{和} \nu ) [*302·02]

\rho \: \text{Prm} \: \sigma \; 。 \; \tau \in \text{NC 感应} - \iota ` 0 \; 。 \; \mu = \rho \times_{\text{c}} \tau \; 。 \; \nu = \sigma \times_{\text{c}} \tau

r/s 的比率最低项为 m /n，k 为最高公因数 =_{\text{df}} r 和 s 互质，m = r \times k \; \amp \; n = k \乘以s

(\rho , \sigma) \text{Prm}(\mu , \nu ) （比率 \rho / \sigma \; \text{是}\; \mu / \nu \; \text{在其}最低条款）[*302·03]

(\存在\tau) 。 \: (\rho, \sigma ) \text{Prm}_{\tau} (\mu , \nu)

r/s 的比率最低为 m /n =_{\text{df}} \exists k (\text{的比率}\; r/s \; \text{ 是} \; m / n \text{以}\; k 作为其最高公因数。）

\mu / \nu （关系 \mu 和 \nu 的比率）[*303·01]

\hat{R} \hat{S} \{ (\exists \rho, \sigma) 。 (\rho, \sigma) \text{Prm}(\mu, \nu) 。 \: \点{\存在} ! \; R^{\sigma} \: \dot{\cap} \: S^{\rho} \}

\{ \langle R, S \rangle \mid \exists r \exists s \:( r/s 最低项是 m/n 并且 \exists x \exists y (R^s xy \amp S^r xy) \ }

“直线上的距离是一对一的关系，其逆域（及其域）是整条线。如果我们将两个这样的距离称为 R 和 S，我们可以说它们具有比率 \mu / \nu 如果从某个点 x 开始，\nu 重复 R 将我们带到与我们通过 \mu \ 到达的同一点 y ；S 的重复，即，如果 xR^{\nu} y \: 。 \: x S^{\mu} y。” （总理三世，260）

大鼠 def（确定比率）[*303·05]

\hat{X} \{ (\exists \mu, \nu) 。 \: \mu , \nu \: \epsilon \: \text{D}`U \: \cap \; \backd `U 。 \: X = (\mu / \nu) \upharpoonright \!\!\! \downharpoonright \; t_{11} ` \mu \}

仅限给定类型成员的比率类别。

请注意，以下定义将不依赖于无穷大公理。

X \lt_r Y（小于比率之间）[*304·01]

（\存在\mu、\nu、\rho、\sigma）。 \: \mu, \nu, \rho , \sigma \: \epsilon \: \text{Nc 感应} \: 。 \sigma \neq 0 。 \; \mu \times_c \sigma \lt \nu \times_c \rho \: 。 \; X = \mu / \nu \: 。 \; Y = \rho / \sigma

X \lt Y =_{\text{df}} \存在 j \: \存在 k \: \存在 m \: \存在 n \: ( j \times m \lt k \times n \; \amp \; X = j/k \; \amp \; Y = n/m )

H（小于确定比率之间的关系）[*304·02]

\hat{X} \hat{Y} \{ X,Y \: \in \: \text{Rat def} \: 。 \: X \lt_r Y \}

\{ \langle r, s \rangle \mid \; r \: \text{是有理数} \; \amp \; s \: \text{是有理数} \; \amp \; r \lt s \}

“H”是大写的eta“\eta”，康托尔有理数符号。

\Theta（实数）[*310·01]

(\varsigma ‘ H ) \upharpoonright \!\!\! \downharpoonright \; ( - \iota ‘ \Lambda - \iota ‘\text{D}’ H)

“除0和无穷大之外的实数系列”（PM III，316）是除空类之外的有理数段和整个系列的系列。

16。 结论

本摘要引用了 PM 中大约 110 个定义。第二版（1925 年）第一卷的最后八页（667-674）包含所有三卷中 498 个定义的完整列表。伯特兰·罗素档案馆的信件证实该书是由多萝西·林奇编撰的。她的列表可用于将 PM 的其他定义表达式追溯到本条目中讨论的符号。