独立友好的逻辑（四）

4.6如果一阶逻辑，扩展的属性

表达力。由于\ mathbf {ifl}并未在矛盾的否定下关闭，因此\ mathbf {eifl}严格表现得比\ m athbf {ifl}（cf。bubsect。4.2）。[62]以下属性在\ mathbf {eifl}中可以表达，但在\ mathbf {ifl}（Hintikka 1996：188-190）中：域的有限性，二元关系有充分的二元关系，图形的联系，数学感应的原则，数学的原则，Bolzano-Weierstrass定理以及连续性的拓扑概念。

金属特性。与\ mathbf {fo}共享\ mathbf {ifl}的不错的metatheorems丢失了：紧凑性，löwenheim-skolem属性，分离定理，并且存在一个完整的调解过程，并且对于\ mathbf {eifl}（Hintikka 1991：491：491：491：491：491：491：491） ，1996：189）。对于\ mathbf {eifl}，不可能进行自我应用的真相预测。这种真理义的定义必须包含条款

\ begin {align*}（\ forall y）（y=\boldsymbol {{}^\ulcorner\theta{}^\urcorner}＆\楔形x=\boldsymbol{}\urcorner}\rightarrow \\&[\TRUE (x) \leftrightarrow \neg \TRUE(y)])。 \结束{对齐*}

但这个子句不是 \mathbf{EIFL} 的格式良好的公式，因为 \neg 出现在全称量词 (\forall y) 的范围内（参见 Hintikka 1996: 151）。

全二阶的有效性和可满足性问题可以有效地简化为有关\mathbf{EIFL}的相应问题。也就是说，为什么二阶句子不能简单地被认为是二排序的一阶句子？因为为了捕获二阶逻辑的标准解释，[63] 必须说，对于第 1 类元素的每个扩展可能的 n 元组集合，都存在一个第 2 类成员，其具有且仅具有如下元素：成员，对于所有元数 n ，使得二阶句子包含量词 (\exists R)，其中 R 是 n 元。[64]现在，这样的附加条件可以通过 \mathbf{USO} 句子的有限连接 X 来表达，其中 \mathbf{USO} （通用二阶逻辑）是通过允许对关系和函数进行通用量化从 \mathbf{FO} 获得的一阶公式中的符号。这些 \mathbf{USO} 句子中的每一个都可以表示为 \mathbf{ESO} 句子的矛盾否定，因此也可以表示为 \mathbf{IFL} 句子的矛盾否定。因此，存在一个 \mathbf{IFL} 句子 Y，使得 X 本身在逻辑上等价于 \neg Y。这里 \neg Y 是 \mathbf{EIFL} 的句子。因此，如果 \phi 是二阶句子，并且 \phi^* 在二排序一阶逻辑中重构它，我们有： \phi 是可满足的 iff (X \wedge \phi^*) 是可满足的 iff (\neg Y \wedge \phi^*) 是可满足的。并且： \phi 是有效的，当且仅当 \phi^* 是 X 的逻辑结果，当且仅当 (\neg X \vee \phi^*) 是有效的，当且仅当 (Y \vee \phi^*) 是有效的。这里， (\neg Y \wedge \phi^*) 和 (Y \vee \phi^*) 都是 \mathbf{EIFL} 的句子，后者甚至是 \mathbf{IFL} 的句子。由此可见，任何二阶句子的可满足性（有效性）都可以表示为 \mathbf{EIFL} 句子的可满足性（分别为有效性）。[65]

代数结构。 \mathbf{EIFL} 中可用的两个否定，\neg 和 {\sim}，在真句子和假句子上都一致：如果 M 中的 \phi 为真（假），则 {\sim}\phi和 \neg \phi 在 M 中为假（真）。相反，如果 \phi 在 M 中是不确定的，则 {\sim}\phi 也是不确定的，但 \neg \phi 为真。应用于句子 \phi 的两个否定的组合 \neg{\sim} 断言 \phi 不是假的。[66]

\mathbf{EIFL} 的命题部分涉及四个运算符 \neg 、 {\sim} 、 \wedge 和 \vee 。 Hintikka (2004b) 提出了当任意两个真值等价句子被识别时，由这些运算符引发的代数结构问题。运算符 \neg 、 \wedge 和 \vee 产生了布尔代数——但是强否定 {\sim} 给这个结构添加了什么？

限制对真值等价的关注，{\sim} 可以由运算符 \neg 和 \neg{\sim} 定义。因为，{\sim}\phi 在 M 中为真，当且仅当 \neg(\neg{\sim}\phi) 在 M 中为真。然后可以考虑运算符 \neg{\sim}，而不是 {\sim}。 Hintikka 指出 \mathbf{EIFL} 的命题部分（用算子 \vee 、 \wedge 、 \neg 和 \neg{\sim} 表示）是一个布尔代数，具有 Jónsson 和 Tarski 意义上的算子（1951）。附加运算符\neg{\sim}是一个闭包运算符。

Jónsson 和 Tarski (1951, Thm. 3.14) 表明任何闭包代数都同构于由具有自反和传递关系的集合形成的代数系统。 [67]事实上，相关的代数结构正是命题模态逻辑\mathbf{S4}的代数结构。因此 \mathbf{EIFL} 的命题部分与 \mathbf{S4} 具有相同的代数结构。根据 Gödel (1933) 和 McKinsey & Tarski (1948) 的众所周知的结果，直觉命题逻辑可以通过翻译 t 在 \mathbf{S4} 中解释，使得 \phi 是直觉可证明的 iff t(\phi)是一个有效的 \mathbf{S4} 公式。因此，直觉命题逻辑可以用 \mathbf{EIFL} 来解释。[68]

5. 哲学后果

Hintikka (2006a: 73–77) 将以下内容视为（扩展的）IF 一阶逻辑所带来的新颖见解的后果之一：在一阶水平上重建正常的数学推理，对概念的新颖视角公理集合论中的真值，对否定本质的洞察，以及自我应用的真值谓词的表述。普遍感兴趣的一个相关主题是自然语言中的信息独立现象。与真理的否定和可定义性相关的想法已分别在第 4.2 和 4.5 小节中讨论。让我们在这里考虑剩下的问题。

5.1 类型层次结构中的位置

Hintikka 认为，区分一阶逻辑和高阶逻辑的唯一合理方法是参考量化变量范围的实体。那么，一阶逻辑是一种所有量词范围都在个体上的逻辑，与高阶实体（例如域的子集）相反。在此基础上，Hintikka 认为，本质上来说，\mathbf{IFL} 甚至 \mathbf{EIFL} 都是一阶逻辑。 [69]所罗门·费弗曼（Solomon Feferman，2006：457-461）批评了 Hintikka 用于判断逻辑一阶状态的标准。费弗曼在他的论证中使用了广义量词。[70]公式

Q[z_1] \ldots [z_k] (\phi_1 ,\ldots ,\phi_k)

涉及广义量词的语法在语法上是一阶的，因为量化变量 z_{i1},\ldots ,z_{in_i} = [z_i] 是一阶的 (1 \le i \le k)。广义量词 Q 的语义是通过将 M 上的 k 元关系 Q_M 与每个域 M 关联起来来表述的，其中 Q_M \subseteq M^{n_1} \times \ldots \times M^{n_k}。例如，对于任何无限基数 \kappa，存在一个广义量词 Q_{\ge \kappa} 使得 Q_{\ge \kappa}z P(z) 在模型 M 中为真，当且仅当存在至少有 \kappa 元素满足谓词 P。因此，广义量词在语义上可以是高阶的。 （基数的概念是一个高阶概念。）公式中的变量仅涵盖个体这一事实并不能为逻辑的一阶状态提供可靠的标准。

Hintikka 的标准可以重新表述为，如果与该逻辑公式相关的任何语义游戏仅涉及（除了解释合取和析取的选择之外）个体的选择，则该逻辑是一阶逻辑。高阶实体。按照这个标准，\mathbf{IFL}（甚至\mathbf{EIFL}）是一阶逻辑，但诸如 Q_{\ge \kappa} 之类的广义量词的逻辑不是。 [71] Feferman (2006: 461) 预见到了这种答复的可能性，但发现它不能令人信服。

根据 Hintikka (1955) 的结果，判断二阶逻辑句子是否有效的问题可以有效地简化为 \mathbf{IFL} 的有效性问题。 [72] Väänänen (2001) 表明 \mathbf{IFL} 的有效句子集合与完整二阶逻辑的有效性集合具有相同的非常高的复杂性。 [73] Väänänen (2001) 和 Feferman (2006) 的结论是，在 \mathbf{IFL} 中谈论有效性会导致对完整二阶逻辑的坚定承诺。 Hintikka (2006a: 476-477) 从相反的方向看待这些结果：对他来说，它们意味着确实可以用 \mathbf{IFL} 的有效性来谈论完全二阶逻辑的有效性。更重要的是，Hintikka (1997) 断言即使 \mathbf{EIFL} 也是一阶逻辑。如果是这样，任何可以用 \mathbf{EIFL} 句子的真值来表达的数学理论同样不存在集合存在的问题。

辛蒂卡的立场引发了一个谜团。如果 \phi 是 \mathbf{IFL} 的句子，而不是等价于任何 \mathbf{FO} 句子的真值，则 \mathbf{EIFL} 的句子 \neg \phi 的真值条件不能在不求助于集合的情况下制定玩家 2 的所有策略： \neg \phi 在模型 M 中成立，当且仅当对于游戏 G(\phi , M) 中玩家 2 的所有策略，存在玩家 1 的一系列移动，使得玩家 1 获胜由此产生的发挥。玩家 2 的所有策略的集合无疑是一个高阶实体。这里怎么能说避免了对个人以外的实体的承诺呢？如果不预先假定给定参与者的所有策略的真正二阶思想，那么 \neg \phi 句子的含义是否可以得到很好的理解？ [74] Hintikka 的立场似乎不是唯名论，而是画谜中普遍性的变体。虽然语义游戏的规则涉及对一阶对象执行的动作，但游戏集的组合属性只能用二阶项来表示。一旦为语言片段定义了游戏规则，相应的组合属性也完全确定，其中包括标记为真和假的属性。

5.2 集合论哲学

根据 Hintikka 的说法，我们对量化句子 phi （否定范式）的真实性的前理论想法是，存在量词存在“见证个体”，通常取决于与前面的全称量词相对应的值。 [75]正是这些见证人的存在才构成了\phi的真相。提供证人正是 Skolem 为 \phi 所做的工作。[76]量化句子 phi 的真实性等于 phi 的全套 Skolem 函数的存在。那么，在辛蒂卡看来，我们对一阶真理的普通概念是用（存在主义）二阶逻辑来概念化的。当这个想法应用于公理集合论时，比如带有选择公理（\mathbf{ZFC}）的策梅洛-弗兰克尔集合论，会发生什么？应该记住，公理集合论的根本思想就是放弃高阶逻辑。其底层逻辑为 \mathbf{FO}。 Hintikka 的论证如下。[77]

对于 \mathbf{ZFC} 的每个句子 \phi，\mathbf{ZFC} 的另一个句子 \phi^* = (\exists f_1)\ldots(\exists f_n)\psi^* 直观地说，' \phi 的 Skolem 函数存在。这些“Skolem 函数”是 \mathbf{ZFC} 模型域的某些个体。这里 \phi^* 和 \phi 都是一阶句子。但是，如果对于 \mathbf{ZFC} 的每个句子 \phi，我们都有 \phi 和 \phi^* 在逻辑上等价，那么为什么句子 \phi^* 不能用于为 \mathbf{ZFC} 制定真值谓词\mathbf{ZFC} 本身？然而，根据塔斯基的不可定义性结果，这样的真值谓词不存在。 [78]因此，必须存在一个 \mathbf{ZFC} 模型，并且该模型中的句子 \phi true 使得 \phi^* 为 false：并非所有由 \phi^* 断言存在的“Skolem 函数”实际上都存在于模型中。

这个推理表明， \mathbf{ZFC} 并没有完全捕捉到真理的概念，根据真理，句子 \phi 的真理意味着 \phi 的 Skolem 函数存在。此外，它还表明 \mathbf{ZFC} 并未完全捕获高阶逻辑的标准解释。要看到这一点，请观察对于每个句子 \phi 都有一个逻辑上等效的二阶句子 \phi^{**} = (\exists F_1)\ldots(\exists F_n)\psi^{**} 实际上断言\phi 存在 Skolem 函数。一阶句子 \phi^* = (\exists f_1)\ldots(\exists f_n)\psi^* 不得与二阶句子 \phi^{**} = (\exists F_1)\ 混淆ldots(\存在 F_n)\psi^{**}。句子 \phi^{**} 所说的 Skolem 函数 F_i 是由集合论宇宙的个体构建的集合，而 \phi^* 所说的“Skolem 函数”f_i 是个体。 [79]

Hintikka 论证的结论是，我们普通的真理概念被 \mathbf{ZFC} 歪曲了。此外，根据 Tarski 的不可定义性结果，无法通过向 \mathbf{ZFC} 添加更多公理来改善情况。在 Hintikka 看来，公理集合论是一种系统但徒劳的尝试，试图捕捉标准解释的二阶逻辑的一阶真理。与哥德尔（1947）一样，辛蒂卡也认为陈述连续统假设所需的概念已经足够明确的定义，足以确定该猜想的真值。连续统假设并不能从 \mathbf{ZFC} 中的表述中获得其意义。哥德尔和辛蒂卡一致认为，哥德尔本人和保罗·科恩的独立性结果本身并不能表明连续统假说的真假。但与哥德尔不同的是，Hintikka 发现 \mathbf{ZFC} （或其任何扩展）中任何猜想的可导性都与猜想的真实性无关。对于 Hintikka 来说，这是一个“组合”问题，即实数的每个无限子集是否可数，或者是否具有所有实数集合的基数——这是一个在二阶逻辑中正确概念化的问题。这就是 Hintikka 所认为的连续统假设的真实性的前理论意义，而 \mathbf{ZFC} 没有捕捉到这一点。 [80]

5.3 扩展 IF 一阶逻辑和数学理论

Hintikka 认为 \mathbf{EIFL} 允许在一阶水平上重建所有正常的数学推理。这个结果本质上取决于 Hintikka 的主张的可接受性，即 \mathbf{EIFL} 在本体论上仅致力于个人（第 5.1 节）。但是 \mathbf{EIFL} 如何重建所有数学推理的重要部分呢？

Hintikka（1996：194-210）分别讨论数学理论（或数学公理化）和数学问题（或逻辑结果问题）。

任何高阶数学理论 T 都会产生多种一阶理论 T^*。如果理论是有限的，则在 \mathbf{EIFL} 中表述有一个有限连词 J – 等价于 \mathbf{USO} 的句子，因此等价于 \mathbf{ESO} 句子的矛盾否定，因此实际上等价于\mathbf{IFL} 句子的矛盾否定 - 表达了尊重高阶逻辑的标准解释的要求。因此，高阶理论 T 的真实性问题被简化为 \mathbf{EIFL} 的句子 (J \wedge T^*) 的真实性（参见第 4.6 小节）。

给定句子 C 是否是有限高阶理论 T 的逻辑结果的数学问题与二阶句子 (\neg(J \wedge T^*) \vee C^*) 是否是回想一下 \mathbf{IFL} 的句子 \chi 使得 J 等价于 \neg \chi，因此 \neg(J \wedge T^*) 等价于句子\mathbf{IFL}。因此，有一个 \mathbf{IFL} 句子，当且仅当句子 (\neg(J \wedge T^*) \vee C^*) 有效时有效（参见第 4.6 小节）。数学问题可以理解为 \mathbf{IFL} 句子的有效性问题。可以使用 \mathbf{IFL} 重构的数学问题包括连续统假设、哥德巴赫猜想、苏斯林猜想、不可及基数的存在性以及可测基数的存在性。 [81]

由于概念化显然超越了所提出的框架——无法用高阶逻辑来表达——Hintikka 考虑了大卫·希尔伯特所谓的完整性公理所表达的极大性假设。该公理指出，在不违反其他公理的情况下，任何数学对象都不能添加到预期模型中。 [82]

如果确实在 \mathbf{EIFL} (Hintikka 1997) 中避免了与所有子集的概念相关的问题，那么它提供了一种捍卫某种形式逻辑主义的方法。与历史逻辑主义不同，这个想法不是将逻辑视为与数学公理系统处于同一水平的公理系统（Hintikka 1996：183），[83]并试图将数学简化为逻辑。相反，Hintikka（1996：184）提出这样的问题：（a）关键的数学概念能否用逻辑术语定义？ (b) 数学中使用的语义上有效的逻辑推理模式能否用逻辑术语来表达？这个想法并不是集中于逻辑的演绎规则：对于 \mathbf{IFL} 来说，无论如何都不存在完整的演绎规则集。因为高阶逻辑的地位可能是可疑的——由于与幂集概念相关的问题——问题（a）和（b）的正解需要比 \mathbf{FO} 更强大的一阶逻辑。

建议将所有可用高阶逻辑表达的数学简化为一阶水平，这在哲学上具有重要意义，因为它表明数学不是对一般概念的研究，而是对由细节组成的结构的研究（Hintikka 1996：207）。这并不是说实际的数学最好用 \mathbf{IFL} 来进行，只是说原则上可以这样进行（Hintikka 1996: 205, 2006a: 477）。对于 Hintikka 的结论的批评，请参见 Väänänen (2001)、Feferman (2006) 和 Bazzoni (2015)。