独立友好的逻辑（三）

IFL比FO更具表现力。以下是在ESO中表达的属性的示例 - 因此在IFL中表达 - 但不是在fo：dedekind-Infinetial中，线性秩序的不完整，二进制关系的不完整，二进制关系的不良性，图形的脱节性，图形的不连续性两个一阶公式的扩展ϕ（x）和ψ（x），一阶公式ϕ（x）的延伸的无穷大和开放集的拓扑概念（参见例如Hintikka 1996，Väänänen2007）。

例如，可以考虑该域的Dedekind-Infinity。当从s到其适当的子集存在一个注入函数时，s集s是精确地限制的。令ϕinf为IFL的以下句子：[37]

（∃T）（∀X）（∃Z）（∀Y）（∃V/∀X）（（x =y↔z= v）∧Z≠t）。

Skolem正常形式的ϕinf为

（∃f）（∃G）（∃T）（∀X）（∀Yy）（（x =y↔f（x）= g（y））∧f（x）≠t）。

相对于模型m，此ESO句子断言函数f和g的存在和元素t，因此f = g（从左到右），此函数是iNjective（从右到左），其域是M的整个域，但元素t没有出现在其范围内。因此，该范围是M的域的适当子集。换句话说，MIFF M iff M Iff M Iff MIF的句子是无限的。

仍然有人指出，当注意力仅限于有限模型时，罗纳德·法金（Ronald Fagin）的著名定理（1974）将ESO连接到ESO和复杂性类NP：计算问题可以通过在非确定性的多项式时间中运行的算法可以解决，如果在ESO相对相对时，则可以确定到所有有限结构的类别。以下是NP完整属性，因此在IFL中表达，在所有有限模型的类别上：域的均匀度，域的奇数，图形的3-色性以及图表上的汉密尔顿路径的存在。 38]

与FO共同的属性。如果一阶逻辑与一阶逻辑共享许多金属属性。[39]

紧凑。一组IFL句子具有模型IFF，其所有有限子集都有模型。

Löwenheim-Skolem物业。假设ϕ是具有无限模型或任意大的有限模型的IFL句子。然后ϕ具有所有无限基础性的模型。

分离定理以加强形式以IFL为生； “分离句子”θ特别是fo的句子。

分离定理。假设ϕ是词汇τ的IFL句子，而词汇τ'的IFL句子。进一步假设ϕ和ψ没有共同的模型。然后是词汇τ∩τ'的一阶句θ，因此每个模型都是θ的模型，但是θ和ψ没有共同的模型。

众所周知，对于FO，有一个声音和完整的证明程序。由于一阶句子ϕ是不一致的（不满意的），如果其否定是有效的（在所有模型中为true），那么琐碎的fo也具有声音和完整的调音过程。[40]后一种属性扩展到IFL（虽然前者没有，请参见第4.3节）：

存在一个完整的调解程序。 （Hintikka 1996：68–70，82）一组不一致的IFL句子是递归枚举的。

4.2.否定的复杂性

在第3.4款中，矛盾的否定与强烈的否定区分开。在两个重合的fo中：对于任何一阶句子ϕ，我们都有m⊨diffm⊨− ϕ。

强烈的否定是作为语义操作而失败的。让我们为句子ϕ的模型编写[ϕ]。在FO的特殊情况下，强否〜清楚地定义了语义操作：每当χ和θ是句子时，[χ] = [θ]时，我们就会有[〜χ] = [〜θ]。伯吉斯（Burgess，2003）观察到，在逻辑上，此属性在非常强烈的意义上丢失。实际上，是否有句子χ和θ，使得[χ] = [θ]，集合[〜χ]和[〜θ]不仅不同，甚至是分离的。

矛盾否定的不可表达。在ifl中，强否和矛盾的否定不重合：我们可能没有m⊨ϕ，而没有m。这个事实本身仍然打开了一个可能性的可能性，即在IFL中可以定义每个句子的矛盾的否定，即，有一个ifl句子的neg（ϕ），以至于m⊨neg（ϕ）iffm⊭deg。 ，对于所有模型M。我们所知道的所有通过排除的中间定律的失败是，在所有情况下都不能选择为neg（ϕ）为〜ϕ。但是，事实上，在IFL中矛盾的否定是无法表达的。有一些句子forl的IFL，以至于−C（这是EIFL的句子）并不等于IFL的任何句子。这是众所周知的事实，即ESO未在否定下关闭，IFL具有与ESO相同的表达能力。[41]

矛盾否定的强烈不可表达。作为分离定理的推论，结果以更强的形式成立。如果ϕ和ψ是ifl的句子，使得m⊨ϕ iffm⊭ψ，则ϕ和ψ的每个句子都是fo的句子。因此，相互矛盾的否定− ϕ仅在IFL中对于那些等同于fo句子的那些ifl句子ϕ表示。[42]

确定的片段。让我们说，对于所有模型M。在确定的片段中，矛盾的否定在句法上可以通过强烈的否定表达。通过矛盾的否定的强烈不可表达的性能，确定的IFL片段具有与FO相同的表达能力。确定的片段中的成员资格是足够的，但不是IFL句子在IFL中表达矛盾的否定的必要条件。句子（∀y）（∃x/∀y）x = y尚未确定； [43]然而，其矛盾的否定（∀x）（∃y）x≠y在IFL中表达了表达。

矛盾的否定和GTS。 GTS产量的真实条件是“存在策略函数f1，…，fn的形式，因此，它产生了在ESO中表达的真实条件。由于矛盾的否定性的强烈不可表达，没有单一的ifl句子，无法翻译成fo，其矛盾的否定对这种形式具有真实条件。这一事实使得为什么不应该期望矛盾的否定会接受与其他逻辑运算符的相同行的游戏理论解释。但是，可以开发出不同的方式将游戏理论解释分配给矛盾的否定。为此，如果一阶逻辑（feifl，cf。subsec。3.4），Hintikka提议使用带子游戏的语义游戏。 （请参阅Hintikka 2002c，2006b;有关子游戏子游戏。在Tulenheimo（2014）中，为Feifl的片段制定了游戏理论语义，该片段由Prenex形式的公式组成。相关游戏的游戏不涉及选择任何二阶对象，例如策略功能。通过在游戏位置中引入附加组件来解释矛盾的否定（¬）。在游戏水平上，否定不仅触发了角色转换（例如双重否定〜），而且还涉及将模式从正面变为负面，反之亦然。模式的语义效应在策略层面上变得可见：模式调节句子的真实条件涉及对策略功能的存在或普遍量化的方式。像独立指示一样，也以对策略层面作用的条件来解释。有关相关研究，请参见Figueira等。 （2011，2014）。

矛盾的否定和有限模型。可以根据IFL提出逻辑和理论计算机科学的某些主要开放问题。复杂性理论中的一个开放问题是NP = Conp，即NP可溶性问题类别是否与在NP中可以解决的问题类别相同。根据Fagin的定理（1974），这个开放问题可以等效地提出如下：IFL是否在有限模型的否定下关闭？也就是说，如果句子为neg（ϕ），那么对于任何有限的模型m，neg（ϕ）在m中是true，m iff ϕ在m中不正确吗？证明答案是负面的，将解决臭名昭著的p = np问题，即，确定在某些计算问题上可以有效地验证提出的解决方案是否正确，尽管无法有效找到解决方案。[44]

4.3公理的失败

众所周知，FO承认声音和完整的证明过程：有一种机械方法可以精确生成有效的那些一阶句子（在所有模型中为true）。这一事实也可以通过说FO是可公理的，或者可以递归枚举的有效句子。[45]由于其较大的表达能力，IFL的公理均能失败。换句话说，IFL在语义上是不完整的。[46]

显示这一点的一种方法如下。为了矛盾，假设有效的IFL句子集是递归枚举的。回想一下，第4.1小节中讨论的ϕInf在所有和唯一的无限模型中都是正确的。请注意，如果在所有有限模型中，如果IFL句子（ϕInf∨χ）在所有有限模型中都是正确的。给定有效的IFL句子，可以有效地检查该句子是否是语法（ϕInf∨χ）的句法，其中χ是一阶句子。因此，在所有有限模型中，所有有效的IFL句子的递归枚举都产生了一阶句子χ的递归枚举。但是，这与Trakhtenbrot的定理相矛盾，根据该定理，所有有限模型中的fo句子都不是递归枚举的。[47]

IFL的公理症失败的相关性是什么？ Quine（1970：89-91）讨论有限的部分订购量词，建议我们拒绝将逻辑状态赋予任何有效性和不一致性的FO的概括。对于Quine，任何此类概括都属于数学而不是逻辑。由于FPO不可公理，因此它属于逻辑领域，因此被描绘了。[48]

Hintikka发现这种指控没有根据。首先，IFL与FO共享许多重要的金属结果（参见第4.1个小节）。其次，就像IFL一样，FO也可以翻译成二阶逻辑。唯一的区别是，在前一种情况下，必须由Skolem函数编码更大的量词（IN）依赖项，而不是后者。前者为什么会渲染IFL数学的一部分，而后者将使FO保持逻辑（Hintikka 1991：26-27）？第三，必须区分理解IFL句子所需的内容，以及如何机械处理IFL的有效性（逻辑真相）所需的内容。由于其非轴疗法性，没有机械规则可以生成IFL的所有有效性集。但是，了解一个句子是知道当真实的情况下，当它在逻辑上是真实的情况时，它是什么样的事情（Hintikka 1995：13-14）。第四，由于非轴突的性能，IFL中的有效推理模式不能被任何递归枚举所用尽。就重要的数学问题而言，可以简化为有关IFL公式的有效性的问题（第5.3款），可以看到数学的进展是组成的（不是发现更强大的设置理论公理，而是建立更强大的规则） IFL的有效性（Hintikka 1996：100; 2000：135–136）。

4.4构图和塔斯基型语义的失败

组成性的原理（又称弗雷格原理）指出，复杂表达E的语义属性由其组成表达的语义属性和E的结构确定，尤其是E.的结构，可以确定感兴趣的语义属性（例如，真理）就一个或多个辅助语义属性（例如满意度）而言。[49] Hintikka认为，组成性等于语义上下文独立：复杂表达式的语义属性仅取决于其成分表达式的语义属性以及其结构 - 它们不取决于嵌入表达式的句子上下文。语义不依赖性使从内而外进行语义分析成为可能 - 从更简单的表达到更复杂的表达。[50]这是对语义属性的递归定义（例如TARSKI-TYPE对真理和满足性的定义）所需的。[51]相比之下，句子的GTS分析是一个外部：语义游戏以整个句子开头，然后逐步将句子分析成简单，更简单的组件，最终达到了原子公式（以及适当的变量分配）。因此，GTS允许考虑违反组成原则的语义上下文依赖性。[52]

在IFL中，存在量化器可能仅取决于其所在的某些通用量词。因此，其解释取决于其与自身范围之外的量化器的关系。这样的存在量化符是上下文依赖的。[53]从表面上看，IFL不能违反构图原则，也不能承认tarski型真理定义。

霍奇斯（Hodges，1997a，b）表明，可以给出IFL的组成语义。[54]语义是通过递归定义满意度的关系“m⊨xϕ”（读：在x中满足：ϕ），其中x是一组变量分配。虽然FO的Tarskian语义是单个变量分配的，但Hodges的语义采用了一组可变作业。 IFL的游戏理论语义是由此组成语义捕获的：对于IFL的每个公式ϕ，播放器2在G（ϕ，m，g）中都具有胜利策略，如果条件m⊨{g} ϕ保持。由于霍奇斯（Hodges）对涉及独立指示的存在量化词和析取的语义条款，相对于单胎集{g}的评估通常会导致评估相对于（可能是无限）许多可变分配的集合相对于（可能是无限）的集合。 Hintikka评论（2006a：65），如果一个人充分残酷，人们总是可以通过将不同表达式的语义相互作用定律构建到这些表达式的各个含义中来节省构图。[55]

从方法上来说，值得指出的是，定义IFL不需要组成。 IFL的存在证明，拒绝组成性并不是制定强大逻辑的障碍（Hintikka 1995）。还应注意的是，使霍奇斯的结果工作是其类型的理论上升。让我们说，tarski型组成语义是一种组成语义，它可以根据域的n-tuple来解释n个自由变量的每个公式ϕ（x1，…，xn）。因此，FO的标准语义是tarski型的，但是霍奇斯的语义采用满意关系“m⊨xx”不是，因为后者评估了n个自由变量的公式ϕ（x1，…，…，xn）元素的n个元素。 Cameron＆Hodges（2001）证明，IFL实际上没有Tarski型的构图语义。

可以通过对辅助语义属性施加约束来完善构图的概念。 Sandu and Hintikka（2001：60）通过类似于fo，“单个变量分配的满意度”将是与IFL有关的自然辅助属性。由于卡梅伦和霍奇斯的结果，在这种限制的意义上，不存在IFL的语义。

4.5定义真相

真理的确定性只能与能够说出自己的语言有关。让我们考虑算术词汇τ，并限制对Peano公理的标准模型N的注意。然后，词汇τ的每个句子都可以由自然数字（其gödel编号）表示。假定\ tau包含一个数字\ boldsymbol {{}^\ ulcorner \ phi {}^\ urcorner}，对于每个数字\ ulcorner \ ulcorner \ phi \ urcorner。如果l and l'是词汇\ tau的抽象逻辑，例如\ mathbf {fo}或\ mathbf {ifl}，而\ true（x）是l'的一个公式，使得每个句子\ phi l of l of l of li of clocy l of clos l of clos l s of clesence：

n \ vdash \ phi \ text {iff} n \ vdash \ true（\ boldsymbol {{}^\ ulcorner \ phi {}^\ urcorner}），

然后，\ true（x）被认为是逻辑中的真理特征（明确的真理定义），该逻辑l'l'for Model N.由阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski）著名的真理的著名定理（Tarski 1933），没有，没有\ mathbf {fo} in \ mathbf {fo}本身的真理特征。逻辑l的真实定义只能在一种基本强的术语中给出。一个假设之一是，所使用的否定的行为与矛盾的否定一样。另一方面，塔斯基还指出，\ mathbf {fo}在\ mathbf {fo}中的隐式真实定义是可能的。令\ tau为算术词汇，让我们与Peano公理的标准模型保持在一起。让'\ true'成为一个不出现在\ tau中的一般谓词。 An \ Mathbf {fo}公式\ psi（x）的词汇\ tau \ cup \ cup \ {\ true \}是\ Mathbf {fo} [\ tau]的隐式真实定义。 c \ {\ true \}]对于n，如果每个\ mathbf {fo} [\ tau]句子\ phi，则以下内容：

n \ vdash \ phi iff有一个解释\ true^n的true^n，以使得（n，\ true^n）\ vdash \ psi（\ boldsymbol {{}}^\ ulcorner \ ulcorner \ phi {}^\ ulcorner \ phi {} }）。[56]

直觉上，\ true^n是那些自然数的集合，这些自然数是词汇\ tau的真实算术句子的数字； \ psi（x）说x是谓词\ true的扩展中的gödel号。公式\ psi（x）是一个连词，其中包括在对象语言层面上模仿\ mathbf {fo}的tarski-type真实定义的金属递归从句。例如，其中一个是

\ begin {align*}（\ forall y）（\ forall z）（y = \ boldsymbol {{{}^\ ulcorner \ chi {}^\ urcorner}＆\ wedge z = \ boldsymbol {}^\ urcorner} \ wedge x = \ boldsymbol {{}^\ ulcorner（\ chi \ wedge \ theta）{}^\ urcorner} ＆[\ true（x）\ leftrightArrow（\ true（y）\ wedge \ true（z））]）。 \ end {align*}

从这些子句中的等价符号的两侧出现谓词\ true的事实可以看出真实定义的隐含性。[57] \ mathbf {fo}的上面隐式真实定义是“有一个s的s s s the the Perdicate \ true，因此\ psi（x）。在\ mathbf {fo}中产生了\ mathbf {fo} [\ tau]的显式真实定义\ true \，\ psi（x） N。 }。

相同的推理可以应用于\ Mathbf {eso}本身，从而可以\ Mathbf {Ifl}（Hintikka 1991，1996; Hyttinen＆Sandu 2000; Sandu 1996，1996，1998）。也就是说，可以配制一个词汇\ tau \ cup \ cup \ cup \ cup \ cup \ {\ true \}的\ mathbf {eso}公式\ chi（x），这是\​​ mathbf {eso} [\ tau]的隐性真实定义。 \ mathbf {eso} [\ tau]公式\存在\ true \，\ chi（x）是\ mathbf {eso} [\ tau]的明确真实定义对于N.在这里，真实性主教是用相同的语言制定的，其真理的概念正在定义：\ Mathbf {eso}。因此，\ mathbf {eso}，从而\ m athbf {ifl}，能够明确定义其自己的真理 - 相对于N。[58]这个结果与塔斯基的不确定性结果并不矛盾，因为在这里不确定的句子是可能的。所使用的否定不是矛盾的。[59]

塔斯基（Tarski，1983）采用了一种观点，该观点是根据自然语言定义的。在Hintikka＆Sandu（1999）中，这是由于Tarski的信念，即自然语言失败。[60] \ mathbf {ifl}没有Tarski型的构图语义，但它承认制定了自我应用的真理呈现。塔斯基认为不可能从\ mathbf {ifl}的角度来讨论真理的概念不可能娱乐的拟议原因。因为，\ mathbf {ifl}的情况表明，一种语言的tarski型组成性的失败并不需要该语言定义其自己的真理呈现。[61]