库尔特·哥德尔（四）
2.5.2 古典算术在Heyting Arithmetic中是可以解释的
我们现在考虑哥德尔 1933e，其中哥德尔实际上表明，直觉算术或海廷算术只是明显弱于经典一阶算术。这是因为后者可以通过简单的翻译在前者中得到解释，因而要确信经典算术的一致性，只要确信海廷算术的一致性就足够了。海廷算术的定义与经典算术相同，只是底层的谓词逻辑是由直觉公理和推理规则给出的（见下文）。
这个结果扩展了命题案例的相同断言。令 H 表示直觉命题逻辑，A 表示其经典对应物（如上所述）。归纳定义：
A′ ≡ ØØA（A 原子）
(ØA)′ ≠ ØA′
(A → B)′ ≡ Ø(A′ ∧ ØB′)
(A ∨ B)′ ≡ Ø(ØA′ ∧ ØB′)
(A ∧ B)′ == A′ ∧ B′
然后，
定理 9.
设F是一个命题公式。则 H ⊢ F 当且仅当 A ⊢ F′，
从 Glivenko (1929) 的结果可以很容易得出该定理，即对于任何命题公式 F，当且仅当 ØF 从 A 导出时，ØF 从 H 导出。
哥德尔所谓的双重否定解释将定理 9 扩展为将经典一阶逻辑还原为直觉谓词逻辑。这种情况下的翻译可以将原子 A 的 A′ 映射到 A。此外，我们令 ∀xA(x)′ = ∀xA′(x) ：
定理10.
假设 A 是一阶公式。如果 A 在经典一阶逻辑中可证明，则 A′ 在直觉一阶逻辑中可证明。
上述结果是根岑（与伯奈斯）独立获得的，但在听到哥德尔的结果后，根岑撤回了他的论文。柯尔莫哥洛夫在他 1925 年的《论排除中间原理》（英文翻译 van Heijenoort 1967）中也预见到了这一点，但柯尔莫哥洛夫圈子之外的逻辑学家基本上不知道这篇论文。
伯奈斯写道（见伯奈斯在爱德华兹 1967 年关于大卫希尔伯特的条目），哥德尔的这一结果引起了希尔伯特学派对两个观察的注意：第一，直觉逻辑超越了有限论，第二，有限主义系统可能不是唯一的系统。仅从基础角度来看可接受的。
对于算术情况，以下定理由定理 10 得出：
定理 11.
假设 A 是一阶算术公式。如果 A 在经典皮亚诺算术中是可证明的，那么 A′ 在直觉一阶算术中是可证明的。
有关直觉主义一阶逻辑的公理和规则的列表，请参阅 Gödel 1958，由 A.S. 重印并附有详细的介绍性注释。 Troelstra 在 Gödel 1990 中。另请参阅 Troelstra 1973 和 Troelstra 在 Barwise 1977 中的“构造性数学的方面”。有关上述定理的详细证明，读者也可以参考后者。
2.5.3 直觉命题逻辑在S4中是可以解释的
哥德尔的这一结果（Gödel 1933f）标志着可证明性逻辑的开端，它准确地区分了“在特定形式系统中的可证明性”和“通过任何正确手段可证明性”的概念。
哥德尔在他 1929 年论文的引言中已经注意到了这种差异。上下文是这样的：哥德尔在那里考虑了他对完备性定理的证明可能是循环的可能性，因为排中律被用来证明它。这是因为，虽然完备性定理断言“一种可判定性”，即每个量化公式要么是可证明的，要么可以给出它的反例，但“排中律原理似乎只表达了每个问题的可判定性” :
……（通过排中律）所确认的是可解决性根本不是通过指定的手段，而是只能通过所有可以想象的手段……[20]
哥德尔考虑直觉命题逻辑（以下称为 IPL）；他还考虑了第二种系统，即由运算符“B”丰富的经典命题逻辑，其中“B”的预期含义是“可证明的”。现在称为 S4 的公理系统（有关这些公理的列表，请参阅本百科全书中模态逻辑的条目）与新的证明规则一起添加到经典命题逻辑的标准公理中：从 A，BA 可以是推断。我们将第二个系统称为 G。哥德尔定理指出，IPL 可通过以下翻译在 G 中进行解释：
←p == ~Bp
p ⊃ q ≡ Bp → Bq
p ∨ q == Bp ∨ Bq
p ∧ q == Bp ∧ Bq
那是，
定理 12.
设 A 为 IPL 公式，A′ 为其翻译。那么 IPL ⊢ A 蕴含 G ⊢ A′。
哥德尔猜想相反的推论一定是正确的，麦肯锡和塔斯基 1948 年确实证明了这一点。
可证明性的两个概念之间的差异：“在给定的形式系统 S 中可证明”和通过任何正确方法的可证明性 - 表现为哥德尔第二不完备性定理的结果，如下所示。令S包含Peano算术，并令运算符B被解释为“在S中可证明”。如果 S4 的公理对于 B 的这种解释是有效的，那么从 B(0 ≠ 1) → (0 ≠ 1)，句子 ØB(0 ≠ 1) 将是可证明的，这与第二不完备性定理相矛盾。
为了进一步讨论哥德尔定理、它的前身和延伸，以及它的哲学意义，读者可以参考 A.S Troelstra 对 1933f 的介绍。
2.5.4 HEYTING ARITHMETIC 可解释为有限类型的可计算功能。
哥德尔所谓的辩证解释（Gödel 1958）通过涉及有限类型可计算函数系统 T 的具体解释，为 Heyting 算术提供了相对一致性证明和论证。结合他的 1933e 将经典一阶算术简化为 Heyting 算术，这些术语的合理性也得到了经典一阶算术的证明。
哥德尔对“有限类型函数”概念的归纳定义如下：（Gödel 1990，p.245）。
0 型泛函是自然数。
如果 t0,..., tk 是类型，并且我们已经定义了类型 t0,...,tk 的泛函是什么，那么 (t0,..., tk) 是一种类型，并且该类型的泛函分配给泛函的每个 k 元组各自类型 t1,..., tk，类型 t0 的函数。
哥德尔考虑这些有限类型泛函的量词自由理论，用 T 表示。T 具有以下特征：T 的语言包含每种类型的变量、区分类型的常量以及表示 σ 类型相等的三元谓词 =σ。相同类型的项之间的相等性是可判定的。 T 的非逻辑公理和规则包括 0 和后继的经典算术公理以及归纳规则：
(F(0) ∧ (F(x0) → F(S(x0)))) → F(x0)
对于无量词公式 F(x0)。正如哥德尔所说（Gödel 1990，第 247 页），T 的公理本质上是原始递归算术的公理，只是变量可以是任何有限类型。
哥德尔的翻译将皮亚诺算术语言的每个公式 F(x) 与理论 T 语言的公式 F′(x) = ∃y∀zA(y, z, x) 相关联，其中 A 是无量词的，并且（粗体）绑定变量是变量的有限序列，被认为范围涵盖由变量类型确定的有限类型的函数。直观上，y 是构成 F 含义的抽象概念的具体类比。
哥德尔定理如下：
定理 13.
假设 F′ = ∃y∀zA(y, z, x)。如果 F 在直觉一阶算术中是可证明的，则存在有限类型的可计算函数 Q，使得 A(Q(x), z, x) 在 T 中是可证明的。
证明是对直觉一阶算术中F 的证明结构进行归纳。 （对于证明的详细处理，读者可以参考 Troelstra 1986。）
该定理对于基础的重要性怎么强调都不为过。 [21]讨论其概括，以及由 Kreisel、Tait、Howard、Feferman 等人提出的定理所激发的函数解释的后续工作；它的基础和哲学意义；最后，这里不会尝试它与海廷-柯尔莫哥洛夫给出的所谓的早期非正式证明解释的关系。因此，读者可以参考有关该主题的大量文献，例如上述 Troelstra 1986、Tait 1967、Feferman 1993 和 Avigad & Feferman 1998。有关有趣的最新进展，例如在哥德尔的辩证法解释和 Kreisel 的修改可实现性相关领域，参见 Oliva 2006。另参见 van Oosten 2008年。
关于哥德尔提出其翻译的哲学背景的评论，即有限论。本文引言中提出的问题是，为了获得算术的一致性证明，必须在有限数学中添加哪些抽象概念。等价地：如果要获得一致性证明，有限性观点的前提是什么，根据第二不完备性定理必须放弃这一点：
无论如何，伯奈斯的言论教会我们区分有限态度的两个组成部分：也就是说，第一，构造性元素，它在于，只有当我们能够展示它们或通过构造实际上产生它们时，我们才被允许谈论数学对象；其次，特定的有限性元素，它进一步要求我们对其进行陈述、进行构造以及通过这些构造获得的对象是“直观的”，也就是说，在最后分析元素的时空排列，这些元素的特征（除了同一性或非同一性）无关。……这是必须放弃的第二个要求。迄今为止，我们在邻近直觉逻辑和序数理论的有限数学部分中已经考虑到了这一事实。接下来我们将证明，为了数论的一致性证明，我们可以使用自然数上有限类型的可计算函数的概念以及构造此类函数的某些相当基本的原理。 （哥德尔 1990，第 245 页）。
那么，除了技术贡献之外，哥德尔的《1958/72》是哥德尔最重要的哲学著作之一。因其对有限数学本质的分析，以及对“直觉”概念（如“直觉知识”）以及抽象与具体证据的分析而闻名。
在下一节中，我们转向哥德尔的哲学观点。但感兴趣的读者可能希望阅读关于哥德尔的《Nachlass》的简短讨论，这是哥德尔哲学材料的重要来源：
补充文件：Gödel的文件
3.哥德尔的哲学观点
哥德尔的哲学观点大致可以分为两个焦点，或者用现代的说法，就是承诺。它们是： 实在论，即相信数学与经验科学一样是一门描述性科学。第二个承诺是哲学中莱布尼茨理性主义的一种形式。事实上，哥德尔的主要哲学影响，特别是在这方面以及其他许多方面，是莱布尼茨、康德和胡塞尔。 （有关这些哲学家如何影响哥德尔的进一步讨论，请参阅 van Atten 和 Kennedy 2003。）
“哥德尔实在论”和“哥德尔理性主义”这两个术语必须以免责声明开头：没有单一的观点可以与这些术语联系起来。随着时间的推移，哥德尔的实在论经历了复杂的发展，无论是在其本体论主张的性质上，还是在哥德尔对这些主张的承诺程度上。同样，哥德尔的理性主义随着时间的推移经历了复杂的发展，从一开始的尝试性版本，到 20 世纪 50 年代被认为是相当强大的版本。 1959 年左右及此后一段时间，哥德尔将其发展精确哲学的理性主义纲领与胡塞尔发展的现象学方法融合在一起。
我们在下面研究哥德尔的这两种思想：
3.1戈德尔的理性主义
哥德尔的理性主义根源于莱布尼茨的思想，即世界不是我们内在经验的世界，而是本身产生内在经验的世界，是完美和美丽的，因此是理性和有序的。哥德尔对这一信念的证明部分依赖于数学的完美和美丽的归纳概括：
理性主义与柏拉图主义相关，因为它针对概念方面而不是（现实）世界。人们使用归纳证据……数学有一种完美的形式……我们可以期望概念世界是完美的，而且，客观现实是美丽的、善良的和完美的。 （王1996，2018年4月9日）
我们的全部现实、全部经验都是美丽而有意义的——这也是莱布尼茨的思想。我们应该根据我们真正了解的一点点来判断现实。既然我们在概念上完全了解的那部分原来如此美丽，那么我们知之甚少的现实世界也应该是美丽的。 (9.4.20)
尽管哥德尔对理性主义的信仰本质上是形而上学的，但他长期以来对该领域的抱负始终是实用的。即，发展精确的哲学方法；将其转变为一门精确的科学，或者用胡塞尔的术语来说，就是强化科学（strenge Wissenschaft）。
这在实践中意味着尽可能严格地看待什么构成了接受某个断言的辩证基础。换句话说，哲学论证所追求的严谨程度接近数学证明中的严谨程度。这种观点的表述——带有一定的现象学色彩（见下文）——可以在《哥德尔纳克拉斯》的一份文件中找到。这是哥德尔在 1960 年左右起草的一份十四项清单，题为“我的哲学观点”。列表中的两项与此处相关：
解决所有问题（还有艺术等）都有系统的方法。
有一种科学的（精确的）哲学和神学，它处理最高抽象的概念；这对于科学来说也是最富有成效的。
（该列表由 Cheryl Dawson 转录并发表于 Wang 1996，第 316 页。）
哥德尔早期的理性主义概念指的是数学的严谨性，并包括拥有真正证明的概念，因此在某种意义上比他后来所赞同的概念更为激进。在吉布斯演讲结束时，在给出了一系列支持现实主义的论点之后，人们可以看到它的作用：
当然，我并不认为上述考虑足以真正证明这种关于数学本质的观点。我最多能断言的是反驳了唯名论的观点，该观点认为数学仅包含句法惯例及其后果。此外，我还提出了一些强有力的论据，反对数学是我们自己创造的更普遍的观点。然而，柏拉图主义还有其他选择，特别是心理主义和亚里士多德实在论。为了建立柏拉图式的现实主义，这些理论必须被一个又一个地反驳，然后必须证明它们穷尽了所有的可能性。我现在不能这样做；但我想就此给出一些指示。 （哥德尔 1995 年，第 321-2 页）。
（对这段话的深入分析参见Tait 2001。）这样的分析必须基于概念分析：
我的印象是，在充分澄清所讨论的概念之后，就有可能以数学严谨的方式进行这些讨论，结果将是……柏拉图主义的观点是唯一站得住脚的。 （哥德尔 1995 年，第 322 页）。
从哥德尔清单上的项目可以看出，除了方法论成分之外，哥德尔的理性主义还具有“乐观”成分：一旦开发出适当的方法，哲学问题，例如伦理学中的问题（例如，伦理学中的问题）就可以解决。 ，清单上的第9项是：“形式权利构成真正的科学。”）可以果断解决。对于数学断言，例如集合论中的连续统假说，只要正确地进行了概念分析，即“集合”等基本概念完全明确后，连续统假说就可以成立。应该可以决定。
尽管在吉布斯演讲时，哥德尔心中的哲学推理和数学推理之间的类比可能非常接近，但哥德尔在其他时期的观点是，设想的方法本质上不是数学的。我们需要的是一种通用的、非正式的概念分析科学。
哲学比科学更普遍。概念理论已经比数学更普遍了……真正的哲学是精确的，但并不专门化。
也许数学没有取得进展（还有那么多未解决的问题）的原因是人们把自己局限于外延——因此也对许多理论感到失望，例如命题逻辑和逻辑学。完全正规化。 (王1996, 20.3.9, 21.3.9)[22]
（参见笔记本 Max IV，第 198 页（Gödel Nachlaß，Firestone 图书馆，普林斯顿，项目 030090）。抄本 Cheryl Dawson；我们的德文翻译；我们的修正。哥德尔对 Max IV 的年代表明是从 1941 年 5 月到 1942 年 4 月另见哥德尔给伯奈斯的信，Gödel 2003a，第 283 页。）
理解哥德尔对一般概念理论的进展的一个重要来源是王浩在《逻辑之旅》中发表的哥德尔关于概念分析的评论。例如，在评论 8.6.10 中，哥德尔表示相信概念的外延性是失败的，这与他在 1944 年的《罗素数理逻辑》中所说的相反，他现在希望撤回这一评论：
我不再（不再）相信范围的普遍相同性足以排除两个概念的独特性。
在哥德尔后来的一些讨论中，概念分析的另一个组成部分出现了，即寻找所谓的原始术语或概念及其关系的计划。这些粗略的术语或概念构成了理论“起点”，其含义完全明确且清晰。例如，“一个概念应用于另一个概念”的概念是一个原始术语，与“力”一起。 （王1996，9.1.29）。
1972年，他向王谈起总体计划：
现象学并不是唯一的方法。另一种方法是找到主要类别（例如因果关系、实质、行动）及其相互关系的列表，然而，这些关系是从现象学角度得出的。必须以正确的方式完成任务。 （王1996，5.3.7）。
1972 年至 1975 年间，哥德尔与苏·托莱多讨论了寻找原始术语的项目以及现象学的其他方面。参见 Toledo 2011。我们在补充文件《哥德尔转向现象学》中进一步讨论了哥德尔对现象学的参与。
当代哲学家对哥德尔理性主义的评价是严厉的。 （例如参见 Gödel 1995，第 303-4 页）。尽管如此，哥德尔本人仍然保持乐观。正如他对王先生的评价：
说哲学作为严格的科学在可预见的未来不可能实现是不恰当的。时间不是主要因素；当正确的想法出现时，它随时可能发生。 （王1996，4.3.14）。
哥德尔以类似的乐观态度结束了他的 1944 年。
