库尔特·哥德尔（三）

Gödel指出的速度定理与上述不同。令SN为n-ther顺序的逻辑系统，第一个级别的变量被认为是自然数的范围。在这种情况下，第二级范围的变量超过了一组自然数，依此类推。戈德尔的表述是：

定理 6.

令n为自然数＞0。如果f是一个可计算的函数，则有无限的公式A，可证明Sn，因此，如果k是a in in sn和l的最短证明的长度，则是sn和l的长度。 s in sn+1的最短证明，然后k＞f（l）。

证明草图：想法如下：令φ（x）为上述公式，对于任何m，φ（m）在SN中没有简短的证明。假设我们有一个较高类型的系统SN+1，可以证明∀Xφ（x）。此证明是恒定的。因此，每个φ（m）是通过逻辑规则∀xφ（x）→φ（t）的一种应用从这个通用语句中得出的。因此，φ（m）在该系统中具有所有简短的证明。

我们可以拥有哪种更强的系统，其中∀xφ（x）可证明？我们可以考虑二阶逻辑，其中我们可以为自然数定义谓词n（x），此外可以证明一个新的谓词符号tr（x），它满足了一阶公式的真相定义的归纳条款算术相关的算术。然后，更强的系统可以证明，算术的可证明的一阶句子满足谓词TR。通过上述参数，我们可以在更强的系统中证明∀xφ（x）满足tr。然后，通过添加几行，我们可以证明每个φ（n）满足tr。由于φ（n）的性质，这意味着更强的系统具有φ（n）的（简短）证明。替代系统是Peano的Axioms PA，使用扩展语言，我们有一个新的谓词符号TR和公理，指出谓词TR代码不包含TR的所有词汇的所有句子的满意度关系。

2.4戈德尔在固定理论中的工作

2.4.1连续假设的一致性和选择的公理

戈德尔证明了连续假设与Zermelo-fraenkel Set理论的一致性的一致性，这是一场巡回演出，可以说是他的数学生活中最大的成就。这是因为除了算术外，几乎所有证明中使用的技术机械都必须从头算发明。

连续假设（此后CH）由乔治·坎托（Georg Cantor）提出，这是希尔伯特（Hilbert）在1900年对巴黎国际数学大会的著名讲话中给出的二十三个未解决问题的第一个问题。希尔伯特（Hilbert）所指出的问题如下所示：让A成为无限的实数。然后a是可计数的，或者具有基数2ℵ0，即a在一对一的对应关系中，或与所有实数集合（否则称为连续体）。陈述连续性假设的另一种方法是（第一个无限无限的基数）ℵ1=2ℵ0。

早在1922年，斯科莱姆（Skolem）推测，CH与Zermelo在1908年给出的集合理论的公理独立理论。 （此后，我们将标准缩写用于Zermelo-Fraenkel Set理论，ZF和Zermelo-Fraenkel Set理论与ZFC的公理。）Paul Cohen在1961年在CH的否定的一致性（参见Cohen 1963年） ），因此，与戈德尔的结果一起，人们渗透了CH独立于ZF（和ZFC）。

科恩在证明自己的结果的过程中发明了一种重要的新技术。目前，该技术是用于构建集合理论模型的主要方法。强迫导致了布置理论家之间形式主义的复兴，多个模型是“集合理论的基本变异性”的指示（Dehornoy 2004），而远离认为有一个预期的设置理论模型的观念 - 观点Gödel提倡至少1947年，即使不是更早的话。[14]最近，有迹象表明，CH可能再次被视为要通过数学解决的问题（在一些新的明显公理延伸ZF的帮助下）。 （例如，参见Woodin 2001a，2002，2001b和Foreman1998。）如果任何提议的解决方案获得了接受，这将证实Gödel的观点，即CH最终将通过找到SET理论的ZF公理的明显扩展来决定。与此视图相关的程序称为“Gödel的大型红衣主教计划”。

2.4.2Gödel证明了连续假设的一致性和与Zermelo-fraenkel Set理论公理的选择公理

通过发现对可数序列索引的真实列举，连续性问题与ZF一致，这一策略已被希尔伯特（Hilbert）认识到已经有希望的策略。[15]问题以及证明背后的直觉是构建一个“小”模型，其中允许绝对最小数量的真实数量，而同时该模型足够大，可以在所有操作下关闭ZF下关闭公理断言存在。

Gödel's是一种相对的一致性证明，通过与CH一起构造ZF的所谓“内部模型”获得。内部模型是所有集合V的集合V的子集合M（见下文），当仅考虑M中的集合时，它满足ZF的公理。 Gödel的内部模型称为构造集的内部模型（见下文），并用L表示。内部模型中的任何内容与ZF一致，其原因是任何具有模型的理论是一致的。该结构的伪像是，在Gödel的内部模型中满足了选择的公理（此后AC），因此AC与ZF的一致性是由Gödel建立的。后来，Sierpinski表明，AC实际上是广义连续性假设或GCH的结果，该假设指出，对于每个κ，2κ=κ+（见Sierpinski 1947）。

戈德尔（Gödel）在1939年和1940年发表了两个版本，题为“广义连续性假设的一致性证明”和“选择的公理和与集体理论公理的广义连续性假设的一致性”。尽管完全确定，但1939年的版本缺乏许多细节，最著名的是，论点表明，如果L是在L本身内部构建的，则相同的结果；也就是说，所谓的绝对论点缺失。还缺少ZF公理在L中保留的证据的细节。但是，与第二个不完整定理的情况不同，Gödel随后给出了1940年专着中两个定理的完全详细的证明。 （1940年的证明与第一个版本有很大不同。有关这两个证明的详细信息以及读者之间的差异，读者被转移到Solovay 1990和Kanamori 2006中。）

现在，我们使用现代术语绘制CH和AC与ZFC的一致性的证明。在勾勒出证明之前，一些初步概念：我们首先定义了分层设置的理论宇宙，表示为V。（V也称为累积层次结构。）它是通过迭代以零件设置的迭代来获得的：

v0 =∅，

Vα+1 =℘（Vα），

vγ=∪β＜γvβ，

其中α，β是任何序数，γ是极限序列，℘（x）表示x的功率集。最后

v =∪α∈Oddvα，

ORD表示所有序列的类别。

构造层次结构L同样由序数上的递归定义。但是，迭代了全功率设置操作以获得累积层次结构，但严格地将可构造层次结构的级别严格定义，即仅在下一个级别中包括在下一个级别上，这些集合使用上一个级别的参数可以定义的一阶。更确切地说，令DEF（a）表示结构＜a，∈＞在A.中的参数的结构＜a，∈＞的所有子集的集合（有关更多信息，请参见本百科全书中的模型理论的输入。）

使用此表示法，可构造层次结构是通过对序列的归纳来定义的，如下所示：

l0 =∅，

lα+1 = def（lα），

lγ=∪α＜γlα，

l =∪α∈Oddlα，

如果x∈L，则X集合是可构造的。公理指出所有集合都是可构造的v = l，称为构造性的公理。请注意，L是适当的类，而不是集合；尽管正如我们将看到的那样，每个Lα都是一个集合，而谓词“ x是可构造的”实际上是语言的可确定术语。

我们的下一个任务是证明L是ZF的模型。如果它的元素也是子集，则集合或类是传递的。通过细致的跨丝诱导，可以证明Lα对于每个α都是传递的。因此，我本身也是如此。这一事实与观察到L [16]中某些基本闭合性能的观察足以证明L是ZF的模型。 （实际上，事实证明，L是包含所有序物的ZF公理的最小传递模型，因此在这种意义上是规范的。）

详细说明，证明ZF公理除了理解公理之外，在L中是正确的，相当于表明，大致说明，ZF Axiom断言存在的属性P的任何集合都可以看见，可以看见在l中存在考虑属性p与L的相对化PL。 ∧φ）和每个量词∀xφ通过∀X（x∈M→φ）。在现代术语中，它被称为征税（或ZF）反思原理的重要原则。该原则说，在ZF的语言中，V中的任何语言在某个不断增加的层次结构（例如L。该集合元素均构建的级别α。戈德尔实际上没有征税原则，而是使用了该原则证明背后的论点。

一旦确定L是ZF的模型，现在就可以证明CH和AC在L中均保持。到此为止，首先证明L的定义是L的绝对定义，其中绝对性的定义如下如下。 ：给定一个类m，当且仅当所有x∈M，p（x）↔pm（x）时，谓词p（x）对于m来说是绝对的。

证明谓词“ x是可构造的”是绝对的，需要形式化确定性的概念，这反过来又需要形式化满意度的概念。这是因为谓词“ x是可构造的”，即对于某些序数α，对于某些公式φ，lα，x = {y∈Lα|中的某些公式φ lα⊨φ（y）}。证明的这一部分乏味但没有问题。

一旦确定L的绝对性，ZF就可以满足构造性的公理，如果将其相对与L相对。也就是说，ZF⊢（v = l）l。特别是，如果ZF为，则公理V = L是一致的。

现在，我们给出ZF + V = L中CH和AC的证明的想法。 Kunen 1983和Jech2003。）

正如CH所关注的那样，在L中的证明背后的想法仅为：Gödel表明，假设V = L，每个实际数字都发生在L层次结构的某些可数级别上。由于每个可计数级别本身都是可计数的（毕竟，只有许多可能的定义公式），并且有可计数的级别，因此必须只有ω1实数。

这里的困难，即使不是完全证明的话，就表明每个真实的构建已经在L层次结构的可数级别上构造。表明这个戈德尔认为：假设a是一个真实的数字，认为是一组自然数。通过征税反射原理和löwenheim-skolem定理的组合，有一个可计数的子模型＜m，∈＞＜l，∈＞满足Zf Axioms + v = l的足够大的有限部分，因此A属于A属于A M.通过简单的过程＜m，∈＞可以转换为传递模型＜n，∈＞。戈德尔已经在1937年使用的该程序被莫斯托夫斯基（Mostowski）明确隔离了（Mostowski 1949）。所得模型称为Mostowski崩溃。

让我们停下来讨论这一重要技术。假设＜m，e＞是延伸性公理的良好模型。这是M上二元谓词E的良好基础的结果，也是递归递归原理的结果，即方程π（x）= {π（y）| y∈Myex}定义了M上的唯一函数。π的范围是传递的，因为如果π（a）∈N和y∈π（a），那么y =π（b）对于某些b∈M， bea，π（b）∈N。 m，再次基于E的基础E. ＜m，e＞的良好基础，实际上是＜m，e＞的结果是一些＜vα，ε＞的子模型。

现在，我们返回到L中的CH的证明。我们使用Mostowski崩溃来构造及物集N。事实证明，实际数字A仍然是＜n，∈＞的元素。通过L，＜n，∈＞的基本特性，对于某些α，必须为＜lα，∈＞。由于n是可计数的，因此α也是可计数的。 （可以表明|lα| = |α| +ℵ0。）因此，a在可数的水平上是可构造的，这已显示出来。

至于AC，Gödel表现出可确定的井井有条，即设定理论的公式，在L中定义了所有L的顺序。 ：一组x在良好的排序中y之前且仅当x出现在较早的lα上的l层次结构中，否则它们在同一级别上发生，但x由x定义。 y，否则它们是由相同公式定义的，但是x定义中的参数出现在L早于y的参数。 L的良好顺序表明，AC持有L。

这得出了AC和CH在L中的一致性的证明。

我们注意到，戈德尔在1939年和1940年证明了比这里所显示的更多，即他证明了L在L中的广义连续性假设，因此它与ZF的一致性。

2.4.3一致性的后果

如上所述，在1920年代已经提出CH可能独立于ZF或ZFC。在首次猜想的是，构造性的公理可能“绝对一致”，这意味着无法通过ZF + V = L的模型进一步扩展[17]在他的1947年“ Cantor的连续假设是什么？”。戈德尔猜想CH将被证明是独立的。因此，就证明CH独立性的问题而言，Gödel结果的主要结果是，它指向数学家朝着将非结构性集合添加到集合理论模型的方向上，以建立一致性CH的否定。 1961年，达纳·斯科特（Dana Scott）证明了建筑性公理的失败是由于存在可测量的基本主教而与1940年的猜想相反。（见斯科特（Scott）1961年。 - 正如1963年的Power-stret Boolean代数中的Pracipalκ-完整的超滤波器。保罗·科恩（Paul Cohen）通过向内部模型添加非结构性集来证明CH否定的一致性。

哥德尔的方法还可以解决其他哪些设定理论问题？戈德尔本人注意到了一些后果。它们与所谓的实际数字和实际数字有限序列相关。最简单的投影集是封闭的集合，也称为π10-set。如果是真实平面的π1N-乘集的投影，则集合为σ1N+1。如果它的补体为σ1N+1，则一组为Δ1N+1。戈德尔观察到，既有一个不可测量的Δ12-set，又有一个不可容纳的π11-set，而没有完美的子集。套装的大小与连续体的大小相同。

事实证明，随后，公理V = L几乎完全完整地扩展了ZFC。这意味着，除了由戈德尔（Gödel）的不完整定理引起的句子外，基本上所有设定的理论问题都可以通过公理v = l决定。这并不意味着这种结果在任何方面都是微不足道的。确实，事实证明，尽管描述相对简单，但L是一个非常复杂的结构。至于在L中解决开放的理论问题，主要步骤是Jensen的精细结构理论的出现（Jensen 1972）。回忆起，连续的步骤lα+1在构造层次结构的定义中增加了Lα的所有子集的一阶公式φ的定义（lα，∈），精细的结构理论，粗略地说，从lα +分析了步骤根据定义公式φ的复杂性，将1分为较小的步骤。 Jensen通过其精细结构建立了CH的加强，以CH的形式表示，他曾经在L中构建一棵Souslin树，而组合原理□他用来表明Souslin假设与CH一致。

2.4.4戈德尔对建筑性公理的看法

如果他从一开始就没有这样认为，戈德尔很快就会采用这样一种观点，即建设性的公理是不可行的。正如他在1947年结束时所说：“坎托的连续假设是什么？”

…非常可疑的是，与众多的合理命题相反，这意味着否定了连续假设的否定，而不是一个合理的命题，这意味着连续假设。 （Gödel1990，第186页）

莱布尼兹[18]认为，戈德尔被迫对L的观点，即宇宙不是“小”的，即，一个群体数量最少的宇宙，更自然地认为该集合的理论宇宙是在[19]这个想法将反映在他对最大原则的利益，即，旨在捕捉直觉观念的原则，即设定理论的宇宙是最大的，因为没有什么可以添加的。并坚信最大原则最终将解决诸如CH之类的声明。正如戈德尔（Gödel

该公理具有的极大兴趣在于它是一个最大原则，有点类似于希尔伯特在几何学中的完整性公理。因为，大粗略地说，任何以某种明确的方式都不意味着存在不一致的设置。它是最大原则，还解释了该公理意味着选择的公理的事实。我认为，诸如Cantor的连续性问题之类的基本理论的基本问题只有在这种强大的公理的帮助下才能令人满意地解决，从某种意义上说，这与数学的建构主义解释相反或免费。 （Ulam 1958，如Gödel1990年，第168页；原始重点。请注意，这与Gödel2003b，p.295的段落不同。

二十年前的1938年，戈德尔（Gödel）

作为新公理添加的命题 A（即 V = L）似乎给出了集合论公理的自然完成，因为它以明确的方式确定了任意无限集合的模糊概念。 （哥德尔 1986，第 27 页）

哥德尔在这里所说的“自然完成”可能意味着“正确的完成”，或者他可能只想说可构造性公理以明确的方式决定了集合的概念。无论如何，他在 1972 年与王关于可构造性的对话中以不同的方式使用了“自然”一词（Wang 1996，第 144 页）：

哥德尔更多地谈论了无穷大公理与可构造宇宙之间的关系……（他观察到）诸如可构造集合之类的初步概念对于得出诸如集合之类的自然概念是必要的。

这让人想起休·伍丁（Hugh Woodin）的一句话，即研究强迫可以更好地理解 V——一般原则是研究理论模型不仅有助于理解理论本身，而且有助于更好地了解理论V（伍丁 1988）。

有关哥德尔纲领以及与 CH 相关的哥德尔纲领的更多信息，读者可以参考 Steel 即将出版的文章和 Feferman 等人的文章。 2000。有关哥德尔的结果、其历史及其意义的更多信息，读者可以参阅 Floyd/Kanamori 2006 和 Kennedy 2006。

2.5Gödel在直觉逻辑和算术方面的工作

哥德尔对直觉主义的兴趣是深刻而持久的。尽管他本人并不赞同这种观点，但他对直觉逻辑做出了许多重要贡献。也许他对证据概念的重视（见下文）导致他对其进行了仔细考虑。

我们按时间顺序讨论哥德尔关于直觉逻辑的结果。

2.5.1直觉命题逻辑未有限估计

Łukasiewicz 在 20 年代引入的多值逻辑（Łukasiewicz 1970）和由 Heyting 在 1930 年形式化的直觉逻辑都无法满足排中律。因此，很自然地要问直觉主义逻辑是否可以被表示为多值逻辑，事实上，20 年代的许多逻辑学家已经提出了这一点。哥德尔在 1932 年给出了一个简单的论证，表明直觉命题逻辑不能被视为有限值逻辑。准确地说，哥德尔证明了两个定理：

定理7.

没有有限多个元素（真值）的实现可以满足 H 中可证明的公式（即，为任意赋值产生指定值）。

（H 是直觉命题逻辑，以海廷命名。）

定理8.

普通命题演算的H和系统A之间有无穷多个系统，即存在一个单调递减序列，所有系统都包含H作为子集，并且包含在A作为子集中。

在他的证明中，他考虑了每个自然数 n ＞ 0 的句子

Fn = ∨1 ≤ i ＜ j ≤ n pi == pj。

他观察到，在 n 值逻辑中，句子 Fm（m ＞ n）应该是可导的。然而，哥德尔表明，对于任何 n，Fn 都不能从海廷公理推导出来。

随后，Jaśkowski（Jaśkowski 1936）表明，直觉命题逻辑可以根据无限多个真值被赋予多值语义。有关多值逻辑的进一步讨论，请参阅本百科全书中有关多值逻辑的条目以及 Van Stigt 在 Mancosu 1998 中关于直觉逻辑的文章。