统计力学哲学（二）

哈密​​顿系统具有时间反演不变性，因此 SM 中研究的最常见系统具有此属性。看一下图 3，就可以清楚地了解平衡方法的后果。我们考虑一个系统，其微观状态最初位于非平衡宏观区域，然后演化为位于平衡宏观区域的微观状态。显然，这个过程应该是理论所允许的。但这意味着相反的过程——从均衡宏观区域开始并回到初始非平衡宏观区域的过程——也必须被允许。在第 1 节中，我们已经看到，达到平衡的过程预计是不可逆的，从而阻止像气体这样的系统自发地离开平衡并演变成非平衡状态。但我们现在面临一个矛盾：如果系统的动力学是时间反转不变的，那么趋向平衡的过程就不可能是不可逆的，因为从平衡状态到非平衡状态的演化是被允许的。这一观察结果被称为洛施密特的可逆性反对意见，因为它是由洛施密特（1876）首先提出的；有关这一反对意见的历史讨论，请参阅 Darrigol (2021)。

第二个提出挑战的特征是庞加莱递归。 BSM 中感兴趣的系统既具有测度保持性又受空间限制：它们是盒子中的气体、容器中的液体和实验室桌子上的晶体。这意味着系统的微观状态只能访问 X 中的有限区域。庞加莱表明，这种动力系统必须在某个时刻任意返回到其初始状态，而且实际上会无限次返回。系统返回到接近初始状态所需的时间称为重现时间。与时间反转不变性一样，庞加莱递推与平衡方法假定的不可逆性相矛盾：它意味着系统将在某个时刻返回到非平衡状态。人们只需要等待足够长的时间。这被称为泽梅洛递归反对意见，因为它是由泽梅洛（1896）首先提出的；有关历史讨论，请参阅 Uffink (2007)。

对均衡方法的任何解释都必须解决这两个反对意见。

4.4 遍历方法

遍历理论给出了平衡方法的经典解释。系统是遍历的当且仅当，从长远来看（即，在时间 t→∞ 的极限内），对于几乎所有初始条件，系统轨迹在 X 的区域 R 中花费的时间分数是相等的到 R 在 X 中所占的分数 (Arnold & Avez 1967 [1968])。例如，如果 μ(R)/μ(X)=1/3，那么从长远来看，遍历系统将在 R 上花费 1/3 的时间（有关遍历性的更广泛讨论，请参阅遍历层次结构）。

在第 4.2 节中，我们已经看到，如果平衡宏观区域是用组合参数构造的，那么它占据 X 的最大部分。如果我们现在还假设系统是遍历的，则立即得出系统花费最大部分达到平衡的时间。然后，通常通过将系统在 X 的某个部分花费的时间与在 X 的该部分找到该系统的概率相关联，从而给出概率注释，因此我们发现我们极有可能发现该系统处于平衡状态;有关这种概率方法的讨论，请参阅 Frigg (2010) 及其参考文献。

遍历方法面临许多问题。首先，遍历是许多系统无法满足的严格条件。这是一个问题，因为在这些系统中，有许多系统成功地应用了SM。例如，在固体中，分子围绕晶格中的固定位置振荡，因此系统的相点只能访问能量超曲面的一小部分（Uffink 2007：1017）。 Kac 环模型和非简谐振子系统具有热力学行为，但无法遍历（Bricmont 2001）。甚至理想气体——据说是 SM 范式系统——也不是遍历的（Uffink 1996b：381）。但如果 SM 的核心系统不是遍历的，那么遍历性就不能为均衡方法提供解释，至少不能提供一种全面适用的解释（Earman & Rédei 1996；van Lith 2001）。人们尝试通过 epsilon-ergodicity 的概念来改善这种情况，其中，如果一个系统仅在子集 Y⊂X 上遍历，其中 μ(Y)≥1−ε，对于小的正实数 ε (弗拉纳斯 1998）。虽然这种方法成功地处理了一些系统（Frigg & Werndl 2011），但它仍然不普遍适用，因此对大类 SM 系统保持沉默。

遍历方法通过拒绝严格不可逆性的要求来适应洛施密特和泽梅洛的反对意见。该方法坚持认为系统可以并且实际上确实偏离平衡。 SM应该解释的不是严格的不可逆性，而是系统大部分时间都处于平衡状态的事实。遍历方法通过构造来实现这一点，并且只允许短暂且不频繁的非热力学行为（当系统失去平衡时）。这一回应与卡伦德（Callender，2001）的观点一致，卡伦德认为我们不应该“太认真”地对待热力学，并将其严格不可逆的平衡方法视为一种理想化，这种理想化在经验上是不准确的，因为物理系统会表现出平衡波动。

一个更具技术性的担忧是所谓的零测度问题。正如我们所看到的，遍历性表示“几乎所有初始条件”都使得 R 中花费的时间比例等于 R 在 X 中所占的时间比例。用技术术语来说，这意味着这不是一组初始条件情况的测量值为零（相对于 μ）。直观上，这似乎表明这些条件可以忽略不计。然而，正如 Sklar (1993: 182–88) 指出的那样，零测度集可能相当大（请记住，有理数集在实数中具有零测度），而问题是证明为什么一组测度零是合理的。确实是可以忽略不计的。

4.5 典型性

另一种解释从典型性角度解释了均衡方法。直觉上，如果某件事发生在“绝大多数”情况下，那么它就是典型的：典型的彩票是空白的，在典型的抛一千枚硬币的系列中，正面的数量与反面的数量之比大约为一。基于典型性的 SM 解释的主要思想是表明热力学行为是典型的，因此是可以预期的。典型性解释有不同的版本，它们在典型性推理的具体使用方式上存在分歧； Goldstein (2001)、Goldstein 和 Lebowitz (2004)、Goldstein、Lebowitz、Tumulka 和 Zanghì (2006)、Lebowitz (1993a, 1993b) 和 Volchan (2007) 等人提出了不同的版本。在其范式版本中，该解释建立在观察（第 4.2 节中讨论）的基础上，即平衡宏观区域如此之大，以至于 X 几乎完全由平衡微观状态组成，这意味着平衡微观状态在 X 中是典型的。账户认为，出于这个原因，一个在非平衡状态下开始时间演化的系统根本无法避免演化为典型状态（即平衡状态）并在那里停留很长时间，这解释了达到平衡的方法。

Frigg (2009, 2011) 和 Uffink (2007) 认为，从动力系统理论的角度来看，这是不合理的，因为没有理由假设非典型集合中的微观状态必须演化为典型集合而不存在任何进一步的动力学假设。为了解决这个问题，Frigg 和 Werndl (2012) 制定了一个考虑系统动态的账户版本。 Lazarovici 和 Reichert (2015) 不同意此类补充是必要的。有关 SM 中典型性使用的进一步讨论，请参阅 Badino (2020)、Bricmont (2022)、Chibbaro、Rondoni 和 Vulpiani (2022)、Crane 和 Wilhelm (2020)、Goldstein (2012)、Hemmo 和 Shenker (2015)、 Luczak (2016)、Maudlin (2020)、Reichert（即将出版）和威廉（2022）。就洛施密特和泽梅洛的反对意见而言，典型性方法必须采取与遍历方法相同的步骤，并拒绝严格的不可逆性作为要求。

4.6 门塔卢斯和过去的假设

Albert (2000) 提出了一种完全不同的方法。这种方法集中在宏观区域的内部结构上，并旨在通过表明非平衡宏观状态中系统的概率进化，以朝着较高的鲍尔茨曼熵的宏观状态发展，以解释平衡方法。讨论的基础是所谓的统计假设。考虑具有宏观区域XM的特定宏观状态m，并假设系统在宏观状态M。然后假设在XM的任何子集A中说，在A ISμ中找到系统的微型状态的概率（A） ）/μ（XM）。现在，我们可以将XM中的微型态分为那些演变为较高熵宏观状态的微型，以及朝向较低熵的宏观状态的微型状态。让我们称这些套件x

+

中号

和x

-

中号

。然后，统计假设说，系统中系统向更高熵宏观发展的概率为μ（x

+

中号

）/μ（XM）。

为了使系统方法平衡可能必须很高。现在，事实证明，出于纯粹的数学原因，如果系统极有可能演变为较高熵的宏观状态，那么它也很可能从高宏观的宏观状态中演变为当前的宏观状态m熵。换句话说，如果将来熵很可能会增加，那么过去也很可能会下降。阿尔伯特（Albert）建议通过研究整个宇宙来解决这个问题，然后在过去的肢体上进行条件化，这是假设的假设

世界首先进入了任何特定的低渗透性高度浓缩的大爆炸大问题，这是宇宙学的正常推论程序最终将出现在我们身上。 （2000：96）

让国会议员成为过去的状态，世界首先按照过去的假设形成的状态，让它= ϕt（xmp）∩xm是过去状态和过去状态的时代宏观区域的相交当前的宏观状态。然后，高熵未来的概率为μ（IT∩X

+

中号

）/μ（IT）。如果我们进一步假设具有低熵期货的“异常”状态遍布XM，那么高熵的未来很可能是很可能的，而没有高熵的过去也很可能。

SM的方法基于三个核心要素：ϕT给出的系统的确定性时间演变，过去的假设和统计假设。它们共同导致分配了有关系统历史的命题的概率。 Albert（2015）将此任务称为Mentaculus。阿尔伯特（Albert）不仅将Mentaculus视为热力学现象的描述，而且是宇宙完整科学理论的骨干，因为Mentaculus为所有科学的命题分配了概率。这就提出了有关法律，减少和特殊科学的地位的各种问题，例如在Frisch（2011），Hemmo和Shenker（2021）和Myrvold等人（2016年）中进行了讨论。

像千古的方法一样，Mentaculus必须通过拒绝严格的不可逆性要求来容纳Loschmidt和Zermelo的反对意见。仍然允许更高至较低的熵过渡，但不太可能使它们呈现，并且可以通过指出典型SM系统的复发时间大于宇宙年龄的复发时间，这意味着我们不会观察到复发（Bricmont（Bricmont） 1995;然而，这相当于承认熵的增加不是普遍的，并且形式主义与宇宙历史上后期的某个时期有减少熵的时期。

Mentaculus的关键要素是过去的假设。过去的宇宙低透射率中接地热力学行为的想法可以追溯到Boltzmann（Uffink 2007：990），此后一直由Feynman（Feynman（1965：ch。5）和R. Penrose等著名物理学家（2004：CH）提倡。 27）。这就提出了两个问题：首先，可以为过去的混蛋提供一个符合SM的目的的精确表述，其次，过去 - 过去的假状态具有什么状态，并且确实是宇宙以这种特定状态开始的事实解释？

关于第一个问题，艾曼（Earman）提出了令人讨厌的判决，即过去的假设是“甚至不是错误”（2006年），因为在一般相对论中描述的宇宙学中没有明确定义的意义，鲍尔茨曼熵的价值较低。另一个问题是，在Mentaculus中，Boltzmann熵是整个宇宙的全球数量。但是，正如温斯堡指出的那样，这个数量很低的事实并不意味着特定的小型感兴趣子系统的熵也很低，更糟糕的是，仅仅因为宇宙的整体熵增加而不是必需的情况。小子系统中的熵也增加（2004a）。这些困难的来源是，Mentaculus将整个宇宙都成为相关的系统，因此，人们可能会尝试通过恢复我们开始的位置来绕过它们：盒子中的实验室系统。然后，人们可以将过去的状态仅仅是在过程开始时制备这种气体的状态（例如容器的左半部分）。这导致了所谓的分支系统方法，因为当系统与环境隔离并以非平衡状态制备时，该系统被视为从宇宙其余部分“分支”（Davies 1974; Sklar 1993：318–）。 32）。阿尔伯特（Albert，2000年）出于多种原因驳回了此选项，其中最主要的是，尚不清楚为什么人们应该将统计假设视为对这种状态的有效性（请参阅Winsberg（2004b）进行讨论）。

关于第二个问题，陈（即将到来），戈德斯坦（2001）和洛厄尔（Loewer）（2001）认为，过去的假设具有自然基本定律的地位。阿尔伯特似乎将其视为康德监管原则，因为必须假设其真理才能使过去成为可能。相比之下，Callender，Price和Wald认为，过去的假设是事实的偶然性问题，但他们不同意这一事实是否需要解释。 Price（1996，2004）认为这是因为SM中的关键问题不是熵增加的原因，而是为什么它首先要低。 Callender（1998，2004a，2004b）不同意：过去的假设只是指定过程的初始条件，而初始条件并不是需要解释的那种（另请参见Sklar（另请参见1993：309-18））。帕克（Parker（Parker）（2005）认为，以宇宙的最初状态进行条件化，没有解释不可逆转的行为的解释能力。 Baras and Shenker（2020）和Farr（2022）分析了这场辩论中涉及的解释概念，并认为需要不同答案的不同问题。

4.7长期停留时间帐户

长期停留时间帐户提供了关于平衡定义及其方法的不同观点（Werndl＆Frigg 2015a，2015b）。而不是首先通过组合考虑（如第4.2节中的）定义平衡，然后询问为什么这样定义的系统方法平衡（如§§4.4-4.6中所讨论的帐户），而是长期停留时间说明了通过热力学行为定义平衡。该帐户首先以纯粹的宏观术语（即，通过压力和温度等热力学变量）以纯粹的宏观术语来表征{m1，…，mn}的宏观态，然后将系统大部分时间作为在大多数情况下驻留的状态均衡状态：在MI中，从定义上，均衡宏观是系统在长期以来花费大部分时间的状态（这为帐户提供了名称）。

该定义不需要关于平衡宏区域的大小的假设，但是可以证明它是平衡宏观状态的特性，即其宏区域很大。该结果是完全普遍的，因为它不取决于假设，例如粒子是非相互作用的（这使得它适用于包括液体和固体在内的所有系统），并且不依赖于微观级别的组合考虑因素。平衡方法是在定义中内置的，因为如果没有系统花费大部分时间的宏观状态，则系统根本没有平衡。这就提出了一个问题的问题。该帐户通过提供一般存在定理来回答这个问题，该定理提供了平衡状态的标准（Werndl＆Frigg即将到来的B）。在直觉上，存在定理说，如果系统的状态空间被分为不变区域，则具有平衡，该区域在该区域上，该运动是ergodic的，而平衡宏观状态相对于每个这样的其他宏观状态的均衡状态最大。地区。

就像先前讨论的帐户一样，长期停留时间帐户通过拒绝严格的不可逆性的要求来适应Loschmidt和Zermelo的反对：它坚持在大部分时间处于平衡状态，就像一个人可以合理地要求，因为实际的物理系统显示出来平衡波动和平衡不是热力学所说的死亡和不可移动的状态。

4.8问题和局限性

由于其清晰，直观的理论结构，BSM在基础辩论中享有很大的知名度。但是，BSM面临许多问题和局限性。

第一个问题是BSM仅处理在其自身内部动力学下发展的封闭系统。正如我们将在第6节中看到的那样，GSM成功地处理了可以与其环境交换能量甚至颗粒的系统，并且这种系统在SM中起着重要作用。那些认为SM仅处理整个宇宙的人可以将这个问题搁置一旁，因为宇宙（可以说）是一个封闭的系统。但是，那些认为SM研究对象是实验室大小的系统，例如气体和晶体等实验室大小的系统，将不得不解决BSM如何适应系统及其环境之间的相互作用的问题，这在很大程度上是一个忽略的问题。

第二个问题是，即使宏观国家在讨论BSM中无处不在，也很少关注这些状态的精确表达。从宏观的角度来看，关于系统的外观有些宽松，或者对热力学变量有模糊的吸引力。但是，通过热力学的光，压力和温度之类的变量仅以平衡来定义，尚不清楚如何以热力学变量来表征非平衡状态以及它们的平衡方法。 Frigg和Werndl（即将出版的A）建议通过根据本地田间变量定义宏观状态来解决此问题，但问题需要进一步关注。