统计力学哲学（三）
第三个问题是，BSM的当前配方与确定性的古典系统密切相关（§3）。 BSM的某些版本可以根据经典随机系统制定（Werndl＆Frigg 2017）。但是，关键的问题是是否可以制定量子版本的BSM（有关讨论，请参见量子力学的条目）。 Dizadji-Bahmani（2011）讨论了林登（Linden）和其他人（2009年）如何将其结果用于构建一个论点，以结论一个任意大量子系统的小型子系统通常趋于平衡。陈（即将出版的）制定了Mentaculus的量子版本，他称之为wathaculus（另见他的2022年）。 Goldstein，Lebowitz，Tumulka和Zanghì（2020）描述了Boltzmann熵的量子类似物，并认为Boltzmannian对平衡的概念也通过最近在封闭量子系统的热量化的量子上验证了量子力学。这些早期步骤尚未导致量子版本的BSM的全面且广泛接受的表述，这是一种遗体研究的主题。阿尔伯特（Albert，2000：ch。7）建议，所谓的GRW理论的自发崩溃（有关简介，请参见《崩溃理论》的条目），一种特定的方法量子力学，可能是导致热力学不可逆性的出现。 Te Vrugt，Tóth和Wittkowski（2021）提出了该建议在计算机模拟中进行测试，发现在最初的条件中，导致抗热力学行为的最初条件并没有导致热力学行为，因此GRW不会诱导不可逆的行为。
最后，没有办法认识到BSM主要用于基础辩论，但是GSM是从业者的主力军。当物理学家必须进行计算并解决问题时，他们通常会转向GSM，该GSM提供了BSM中缺少的用户友好策略。因此，要么BSM必须通过实际的处方扩展，要么必须与GSM连接，以便它可以从其计算方法中受益（有关后一种选项的讨论，请参见第6.7节）。
5。玻尔兹曼方程
Boltzmann在其著名的（1872 [1966 Brush Translation]）论文中采取了另一种方法，其中包含两个结果，这些结果现在称为Boltzmann方程和H Theorem。和以前一样，考虑现在通过分布函数ft描述的气体（
→
v
），指定气体中哪些分子的比例具有一定的速度
→
v
在时间 t。该分布可能会随着时间的推移而变化，而玻尔兹曼的目的是表明随着时间的流逝，该分布函数会发生变化，以使其近似于麦克斯韦 - 波尔兹曼分布，正如我们在第4.2节中看到的那样，它是气体的平衡分布。
为此，Boltzmann得出了一个方程，描述了Ft的时间演变（
→
v
）。该派生假定气体由直径d的颗粒组成，而直径d像硬球一样相互作用（即，它们仅在碰撞时相互作用）。所有碰撞都是弹性的（即，不会损失能量）；粒子的数量是如此之大，以至于它们的分布实际上是离散的，可以通过连续且可区分的函数ft很好地近似（
→
v
）；并且气体的密度太低，以至于只有两个粒子碰撞在ft的演化中起作用（
→
v
）。
该论点中的关键假设是所谓的“ stosszahlansatz”，它指定在某些时间间隔内发生了多少一定类型的碰撞（德语“ stosszahlansatz”字面意思是类似于“碰撞数字假设”）。假设气体具有每单位体积的N分子，并且分子在空间中均等分布。我们关注的碰撞类型是具有速度的粒子之间的碰撞类型
→
v
1和一个速度
→
v
2，我们想知道数字n（
→
v
1、
→
v
2）在一小部分时间间隔ΔT中进行此类碰撞。为了解决这个问题，我们首先要专注于一个分子
→
v
1。该分子的相对速度和一个与分子一起移动的分子
→
v
2 是
→
v
2-
→
v
1，该相对速度的绝对值为'
→
v
2-
→
v
1”。直径d的分子仅在其中心靠近D时发生碰撞。因此，让我们看一下半径d和高度的圆柱体''
→
v
2-
→
v
1”Δt，这是空间中的体积，其中分子的速度分子
→
v
在ΔT期间，2将与我们的分子碰撞。这个圆柱体的体积是
πd2”
→
v
2-
→
v
1”ΔT。
如果我们现在强烈假设碰撞颗粒的初始速度是独立的，则遵循速度的分子数量
→
v
在时间t的气体的单位体积中有2个为nft（
→
v
2），因此我们的圆柱体中此类分子的数量为
nft（
→
v
2）πd2”
→
v
1-
→
v
2”ΔT。
这是我们重点关注的分子的碰撞数量可以预计在ΔT期间会发生。但是这个分子没有什么特别的，我们对速度粒子之间的所有碰撞数量感兴趣
→
v
1 和
→
v
2。要到达该数字，请注意，速度的分子数
→
v
时间t的单位气体中的1个为nft（
→
v
1).也就是说，有NFT（
→
v
1）像我们关注的分子一样。然后很明显，可以预期碰撞总数是每个分子与
→
v
1倍的分子数
→
v
1：
n（
→
v
1、
→
v
2）= n2ft（
→
v
1）ft（
→
v
2）''
→
v
2-
→
v
1”πd2ΔT。
这是stosszahlansatz。为了易于表达，我们已经简化了处理ft的数学简化（
→
v
）在我们对stosszahlansatz的讨论中，而不是密度为密度；有关Stosszahlansatz的密度的陈述，请参见Uffink（2007）。基于斯托萨·兰萨茨（Stosszahlansatz），鲍尔茨曼（Boltzmann）得出了现在被称为玻尔兹曼方程的东西：
∂ft（
→
v
1）
∂t
=πd2n2∫
d3
→
v
2”
→
v
2-
→
v
1”（ft（ft）（
→
v
1）ft（
→
v
2）-ft（
→
v
*
1
）ft（
→
v
*
2
）），
在哪里
→
v
*
1
和
→
v
*
2
是碰撞后颗粒的速度。集成在包含气体的盒子空间上。这是一个所谓的整数差异方程。该方程式的细节不必与我们有关（以及这种方程式的数学非常棘手）。重要的是整体结构，它说密度ft的方式（
→
v
）随着时间的流逝，变化取决于传出颗粒的传入A的密度的差异。然后，Boltzmann引入了数量h，
h [ft（ft）（
→
v
）] =∫
d3
→
v
ft（
→
v
）ln（ft（ft）（
→
v
）），
并证明h及时单调减少，
dh [ft（ft（
→
v
)]
dt
≤0，
h是静止的（即DH [ft（ft（
→
v
）/dt = 0）iff ft（
→
v
）是麦克斯韦·博尔茨曼分布。这两个结果是H Theorem。
H的定义具有与组合参数（第4.3节）中Boltzmann熵的表达的形式相似之处，并且正如我们将看到的，对Gibbs熵（第6.3节）；实际上，H看起来像是负面的熵。因此，H Theorem通常被解释，因为表明熵会单调增加，直到系统达到平衡分布为止，这将基于纯机械假设提供热力学行为的正当性。的确，在他的1872年论文中，鲍尔茨曼本人将其视为热力学第二定律的严格证明（Uffink 2007：965； Klein 1973：73）。
此时，关键的概念问题是：Boltzmann与H Theorem证明了什么？在哪个条件下，玻尔兹曼方程有效？这些假设尤其是斯托斯萨赫兰茨在推导它中扮演什么角色？这些问题的讨论始于论文发表四年后，当时洛斯基特提出了他的可逆性反对（第4.3节）。这种反对意味着H必须能够增加并减少。鲍尔茨曼（Boltzmann）对洛斯米特（Loschmidt）的挑战和H理论范围的问题的回应是辩论的问题。有关讨论，请参见例如Brown，Myrvold和Uffink（2009），Cercignani（1998），Brush（1976）和Uffink（2007）。我们不能在这里追求此事，但是鲍尔茨曼的回答似乎是他承认，H的初始状态下降了H，但是这些州在自然界中很少发生（如果有的话）。这导致了现在所谓的H Theorem的统计阅读：H Theorem显示熵的增加可能是普遍的。
一个世纪后，兰福德（Lanford）发表了一系列论文（1973，1975，1976，1981），最终以现在所谓的兰福德定理（Lanford's Theorem）为顶点，该论文涉及有关玻尔兹曼方程有效性的严格结果。兰福德的起点是一个问题，如果从什么意义上讲，鲍尔茨曼方程是否与基本的汉密尔顿动态一致。为此，请注意，气体的状态空间x中的每个点x都有分布fx（
→
r
,
→
v
）与之相关的地方
→
r
和
→
v
是一个粒子的位置和速度（从§3的回忆中包含所有分子的位置和动量）。对于有限数量的粒子fx（
→
r
,
→
v
）不是连续的，更不用说可区分了。因此，作为第一步，Lanford开发了一种获得可区分分布函数分布F（x）的方法（
→
r
,
→
v
），其中涉及采用所谓的玻尔茨曼校园限制。然后，他在基本的哈密顿动力学下，随着时间的流逝发展了这一分布，这产生了F
(x)
高温
(
→
r
,
→
v
），在玻尔兹曼方程下，产生f
(x)
转氨酶
(
→
r
,
→
v
）。兰福德的定理比较了这两个分布，从本质上说，对于x，f中的大多数x
(x)
高温
(
→
r
,
→
v
）和f
(x)
转氨酶
(
→
r
,
→
v
）在间隔[0，t ∗]中彼此靠近，其中t ∗是一个截止时间（其中“大多数”是通过相位空间上所谓的微型典型度量来判断的；为此讨论测量请参见第6.1节）。有关定理的严格陈述和进一步的讨论，请参见Ardourel（2017），Uffink和Valente（2015）和Valente（2014）。
Lanford的定理是一项了不起的成就，因为它表明，Bolzmann方程的统计和近似版本可以源自汉密尔顿力学和Bolzmann-Grad限制中的大多数初始条件，在有限的时间内。从这个意义上讲，它可以看作是Boltzmann的H Theorem的统计版本的证明。同时，该定理还突出了该方法的局限性。相关的分布仅到时间t ∗彼此接近，事实证明，t ∗是粒子在两个碰撞之间自由移动的平均五分之一。但这是很短的时间！在间隔[0，t ∗]中，对于室温下的气体，诸如空气等于微秒的顺序，平均有40％的气体分子将涉及一次碰撞，而其他60％将有自由移动。耐心地太短了，无法理解宏观现象，就像我们在本文开头所述的那样，该现象发生在更长的时间表上，并将涉及所有粒子的许多碰撞。就像鲍尔茨曼（Boltzmann）的原始结果一样，兰福德（Lanford）的定理也取决于强烈的假设，特别是衡量stosszahlansatz and valente的衡量理论版本（参见Uffink＆Valente 2015）。
最后，关于兰福德定理的主要概念问题之一是明显的不可逆性来自的地方。关于这个问题已经表达了各种意见。兰福德本人首先争辩说，不可逆性是由传递到鲍尔茨曼·格拉德（Boltzmann-Grad）限制的（Lanford 1975：110），但后来改变了他的主意，并争辩说，斯托斯萨赫兰兹（Stosszahlansatz）因不可逆转的行为造成了不可逆转的行为（1976，1976，1981）。 Cercignani，Illner和Pulvirenti（1994）和Cercignani（2008）声称，由于假设硬球动力学而导致不可逆性。 Valente（2014）和Uffink and Valente（2015）认为，定理中没有真正的不可逆性，因为该定理是时间反转的不变性。有关在Lanford定理中不可逆性作用的进一步讨论，另请参见Lebowitz（1983），Spohn（1980，1991）和Weaver（2021，2022）
6。吉布斯统计力学（GSM）
Gibbsian统计力学（GSM）是一个伞，涵盖了许多将Gibbs（1902 [1981]）作为其出发点的职位。在本节中，我们介绍框架，并讨论其面临的各种问题。
6.1 GSM的框架
像BSM一样，GSM偏离了第3节中引入的动态系统（X，ϕ，μ）（尽管如下所示，但它很容易成为量子力学的概括）。但这就是共同点的终结。 GSM没有将X分配到宏区域中，而是将概率密度函数ρ（x）放在x上，通常称为“分布”。这种分布在系统的动力下通过法律演变
ρt（x）=ρ0（ϕ -t（x））
其中ρ0是分布的初始时间t0和ϕ-t（x）是在t期间演变成x的微型状态。如果不随时间变化，则称为静止的分布，即所有t的ρt（x）=ρ0（x）。如果分布是固定的，吉布斯说该系统处于“统计平衡”。
在宏观级别，系统的特征是宏观变量，它是函数f：x→r，其中r是实数。除了熵和温度（我们在下面下方）之外，GSM需要所有的物理量，以这些功能表示。 f的所谓平均阶段平均值为
⟨f⟩=∫xf（x）ρ（x）dx。
现在的问题是如何解释这种形式主义。标准解释是根据所谓的合奏。合奏是无限的系统集合，其状态不同。至关重要的是，这是整个系统的副本集合，而不是分子的集合。因此，Schrödinger将合奏描述为“正在考虑的一个系统的心理副本”（1952 [1989：3]）的集合。因此，合奏的成员不会相互互动；合奏不是物理对象。合奏没有时空存在。然后可以将分布解释为指定集合中的“多少”系统在时间t的某些区域r中具有其状态。更确切地说，ρt（x）被解释为在从集合中随机绘制系统时，以与从urn绘制球从合奏中随机绘制系统时在t处找到系统的可能性：
pt（r）=∫RρT（x）dx。
对于给定的身体状况，正确的分布是什么？吉布斯（Gibbs）详细讨论了这个问题，并制定了今天仍在使用的三个分布：孤立系统的微域分布，具有波动能量的系统的规范分布以及具有波动能量和波动粒子数量的系统的宏伟典型分布。有关这些分布的形式方面的讨论，例如，请参见Tolman（1938 [1979]），有关哲学讨论，请参见Davey（2008，2009）和Myrvold（2016）。
Gibbs的统计平衡是一个处于平衡的合奏的条件，这与单个系统的平衡不同（如第1节中引入）。问题是两者如何相关，以及在系统上测量物理数量的实验者。 SM教科书中发现的标准答案吸引了平均原理：在测量热平衡中的系统上的数量F时，该属性的观察到的平衡值是集合均衡中的集合的集合平均值。应用此原则的实践通常称为阶段平均。 GSM面临的核心挑战之一是证明这一原则是合理的。
6.2平衡：为什么相位平均工作？
人们在许多教科书中发现的阶段平均的标准理由是基于我们在第4.4节中已经遇到的千古概念。在当前情况下，我们考虑函数f的无限时间平均f ∗。数学上的事实是，前面定义的奇迹性等同于几乎所有初始状态的f ∗ =⟨f⟩的情况。据报道，这为阶段平均提供了理由，如下所示。假设我们对f表示的物理量进行测量。进行测量需要花费一些时间，因此测量设备寄存器是测量时间内的时间平均值。实际上，与发生典型分子过程的时间尺度相比，进行测量所需的时间很长，测得的结果大约等于无限的时间平均f ∗。通过牙术，f ∗等于⟨f⟩，这证明了平均原理的合理性。
该论点出于多种原因失败（Malament＆Zabell 1980； Sklar 1993：176–9）。首先，从测量需要花费时间的事实，并不是要测量的是时间平均值，即使人们可以说测量设备输出时间平均，这些都是有限的时间平均值，并将这些有限的时间平均等同于无限时间平均是有问题的，因为有限和无限的平均值也可以假设非常不同的值，即使有限测量的持续时间很长。其次，这个说法是我们如何观察变化的谜团。正如我们在第1节中看到的那样，我们确实观察了系统如何接近平衡，在这样做时，我们观察到宏观变量改变了其值。如果测量结果产生了无限的时间平均，那么由于这些平均值是恒定的，因此将永远不会观察到变化。第三，正如我们之前已经提到的那样，Ergodicity是一种严格的条件，成功应用SM的许多系统不是ergodic（Earman＆Rédei，1996年），这使得时间平均值和相位平均值等同。
