统计力学哲学（一）

1. 统计力学（SM）的目标

2. SM 的理论概况

3.动力系统

4.玻尔兹曼统计力学（BSM）

4.1 BSM的框架

4.2 定义平衡：玻尔兹曼的组合论证

4.3 两个挑战：可逆性和复发性

4.4 遍历方法

4.5 典型性

4.6 门塔卢斯和过去的假设

4.7 长期停留时间账户

4.8 问题和限制

5.玻尔兹曼方程

6.吉布斯统计力学（GSM）

6.1 GSM的框架

6.2 平衡：为什么相位平均有效？

6.3 GSM 和均衡方法

6.4 粗粒度

6.5 干预主义

6.6 认知帐户

6.7 GSM与BSM的关系

7. 进一步问题

7.1 SM概率的解释

7.2 麦克斯韦妖和计算的熵成本

7.3 吉布斯悖论

7.4 超越物理的 SM

7.5 还原论和理论间关系

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1. 统计力学（SM）的目标

统计力学（SM）是现代物理学的第三大支柱，仅次于量子论和相对论。其目的是根据控制这些系统微观成分的动力学定律以及对它们所做的概率假设来解释物理系统的宏观行为。这种行为的一个方面是 SM 的焦点：平衡。 SM 的大部分研究有关均衡的问题，而关于 SM 的哲学讨论则集中于回答这些问题所采用的基本假设。

让我们用一个标准例子来说明均衡的核心问题。考虑气体被限制在带有分隔壁的容器的左半部分（见图 1a）。气体处于平衡状态，其宏观特性（如压力、温度和体积）没有明显变化。现在，您突然移除分隔壁（参见图 1b），结果，气体开始扩散到整个可用体积。气体现在不再处于平衡状态（见图 1c）。当整个可用空间均匀充满时，气体的扩散就会结束（见图 1d）。此时，气体已达到新的平衡。由于传播过程最终达到新的平衡，因此该过程是达到平衡的一种方法。均衡方法的一个关键特征是它似乎是不可逆转的：系统从非均衡转向均衡，但反之则不然；气体均匀地扩散到容器中，但它们不会自发地集中在容器的左半部分。由于不可逆的平衡方法通常与热力学相关，因此这被称为热力学行为。表征平衡状态并解释系统接近平衡的原因和方式是 SM 的核心任务。有时，这两个问题被分配给不同的理论（或更大理论的不同部分），然后分别称为均衡 SM 和非均衡 SM。

一个一半蓝色、一半白色的矩形，两半之间有一条黑色实线

（一个）

相同的矩形，两半之间没有黑线

(二)

相同的矩形，但颜色现在从一端的蓝色到另一端的白色渐变

(三)

相同的矩形，但现在是纯浅蓝色

(四)

图 1 [图 1 的扩展描述在补充中。]

虽然平衡占据中心舞台，但 SM 当然还涉及其他问题，例如相变、计算的熵成本以及混合物质的过程，并且在哲学背景中，SM 也被用来阐明方向的本质时间、确定性理论中概率的解释、大爆炸后不久的宇宙状态，以及了解过去的可能性。我们将在下面讨论所有这些内容，但为了与 SM 中均衡的中心地位保持一致，本文的大部分内容都涉及对均衡和非均衡 SM 的概念基础的分析。

有时，SM 的目标被认为是热力学定律的简化：TD 定律提供了对系统宏观行为的正确描述，而 SM 的目标是从微观角度解释这些定律。我们避免以这种方式来制定 SM 的目标。减少本身的性质，以及 SM 是否可以提供 TD 减少（在某种特定意义上）的问题都是有争议的问题，我们将在 7.5 节中回到这些问题。

2. SM 的理论概况

SM 中的哲学讨论面临着直接的困难。物理学许多领域的哲学项目可以以公认的理论及其形式主义作为出发点。例如，量子力学的哲学讨论可以从理论的希尔伯特空间公式开始，并参考它来发展他们的论点。 SM的情况则不同。与量子力学等理论不同，SM尚未找到普遍接受的理论框架或规范形式主义。我们在 SM 中遇到的是多种不同的方法和思想流派，每种方法和思想流派都有自己的数学工具和基本假设。因此，对SM哲学的回顾不能简单地从阐述理论的基本原理开始，然后再对理论进行不同的解释。我们的任务是首先对不同的方法进行分类，然后讨论每种方法的工作原理；进一步的问题涉及它们之间的关系。

分类和标签方法本身就存在问题，并且可能有不同的途径。然而，尽管 SM 的理论多元化，但人们在其中发现的大多数方法都可以归入三大理论范畴之一。这些被称为“玻尔兹曼 SM”(BSM)、“玻尔兹曼方程”(BE) 和“吉布斯 SM”(GSM)。 “BSM”这个标签有些不幸，因为它可能表明玻尔兹曼只是（或主要）支持这种特定的方法，而他实际上为许多不同的理论立场的发展做出了贡献（有关他对 SM 的贡献的概述，请参阅有关玻尔兹曼在统计物理学方面的工作的条目；详细讨论请参阅 Cercignani (1998)、Darrigol (2018) 和 Uffink (2007)。然而，这些标签已经成为习惯，因此我们坚持使用“BSM”，尽管它在历史上是不恰当的。我们现在将讨论制定这些立场的理论背景，即动力系统，然后分别介绍第 4 节、第 5 节和第 6 节中的立场。关于 SM 的广泛概要讨论还可以在 Frigg (2008b)、Shenker (2017a, 2017b)、Sklar (1993) 和 Uffink (2007) 中找到。

3.动力系统

在深入讨论SM之前，需要注意SM中的“M”。 SM 所依据的力学背景理论可以是经典力学或量子力学，从而产生经典 SM 或量子 SM。基础性辩论大体上是在经典 SM 的背景下进行的。我们在当前条目中遵循这种做法，但我们简要提请注意从经典框架转向量子框架时出现的问题和问题（§4.8）。从经典力学的角度来看，SM 中感兴趣的系统具有动力系统的结构，即三元组 (X, phi, μ)。 X是系统的状态空间（从数学角度来看是一个集合）。对于具有 n 个分子的气体，该空间具有 6n 个维度：三个坐标指定位置，三个坐标指定每个分子的动量。 ψ 是时间演化函数，它指定系统的状态如何随时间变化，我们用 ψt(x) 来表示 x 在时间 t 后演化到的状态。如果系统的动力学由牛顿或汉密尔顿等运动方程指定，则 phi 就是该方程的解。如果我们让时间演化，则 ψt(x) 在 X 中画一条“线”，代表最初处于状态 x 的系统的时间演化；这条“线”称为轨迹。最后，μ 是 X 的度量，大致可以表示 X 的一部分有多大。图 2 示意性地说明了这一点。有关动力系统的更广泛的介绍性讨论，请参阅遍历层次结构的条目，有关动力系统的部分；有关数学讨论，请参阅例如 Arnold 和 Avez (1967 [1968]) 和 Katok和哈塞尔布拉特 (1995)。

绿色矩形，链接到下面的扩展描述

图 2 [图 2 的扩展描述在补充中。]

标准假设 是确定性的，这意味着每个状态 x 都恰好有一个过去和一个未来，或者用几何术语来说，轨迹不能相交（关于决定论的讨论参见 Earman (1986)）。 BSM 研究的系统是这样的：状态空间中“斑点”的体积是守恒的：如果我们遵循状态空间中“斑点”的时间演化，则该斑点可以改变其形状，但不能改变其体积。从数学角度来看，这相当于说动态是测度保持的：对于 X 的所有子集 A 和所有时间 t，μ(A)=μ(phit(A))。 SM 中的系统通常被认为受哈密顿运动方程控制，这是刘维尔定理的结果，即哈密顿系统的时间演化是测度保持的。

4.玻尔兹曼统计力学（BSM）

在当前的辩论中，“BSM”表示一系列立场，这些立场以玻尔兹曼在其 1877 年论文中首次提出的方法为出发点，然后由 Ehrenfest 和 Ehrenfest-Afanassjewa 在其 1911 [1959] 中以简化的方式提出。审查。在本节中，我们将讨论 BSM 的不同当代表述及其面临的挑战。

4.1 BSM的框架

为了阐明BSM的框架，我们区分微观状态和宏观状态；有关该框架的讨论，例如，请参见 Albert (2000)、Frigg (2008b)、Goldstein (2001) 和 Sklar (1993)。系统在 t 时刻的微观状态是系统在 t 时刻所处的状态 x∈X。该状态指定了系统每个微观组件的精确机械状态。正如我们在上一节中看到的，对于气体，x 指定气体中每个分子的位置和动量。直观地说，系统在 t 时刻的宏观状态 M 指定了系统在 t 时刻的宏观构成，包括体积、温度和其他可在人类尺度上测量的属性等变量，尽管如此，正如我们将在4.8 节中提到的热力学变量必须持保留态度。从这个意义上说，图 1 中所示的配置是宏观状态。

BSM的核心假设是宏观状态叠加微观状态，这意味着系统宏观状态的任何变化都必然伴随着系统微观状态的变化：每个微观状态x都有一个对应的宏观状态。这排除了，比如说，气体的压力可以改变，而每个分子的位置和动量保持不变（参见附随性条目）。令 M(x) 为对应于微观状态 x 的唯一宏观状态。微观状态和宏观状态之间的对应关系通常不是一对一的，并且宏观状态是可多重实现的。例如，如果我们交换两个分子的位置和动量，气体的宏观状态不会改变。因此，很自然地将对应于相同宏观状态 M 的所有微观状态 x 分组在一起：

XM={x∈X 使得 M(x)=M}。

XM是M的宏区域。

现在考虑一组完整的宏观状态（即包含系统可能处于的每个宏观状态的集合），并假设恰好有 m 个这样的状态。这个完整的集合是{M1,…,Mm}。那么，相应的宏区域集合 {XM1,…,XMm} 形成 X 的一个分区，这意味着该集合的元素不重叠并共同覆盖 X。如图 3 所示。

包含图 1 和 2 元素的更复杂的图表，链接到下面的扩展描述

图 3 [图 3 的扩展描述在补充中。]

该图还表明，如果所研究的系统是气体，则宏观状态对应于我们在第 1 节中看到的气体的不同状态。具体来说，其中一个宏观状态对应于气体的初始状态，另一个对应于其最终平衡状态。

这就提出了两个基本问题，这些问题占据了 BSM 讨论的中心舞台。首先，什么是宏观状态以及如何确定均衡状态？也就是说，我们从哪里得到集合 {M1,…,Mm} 以及我们如何挑选出集合中的一个成员作为均衡宏观状态？其次，如图 3 所示，如果系统的时间演化使得非平衡宏观区域中的微观状态 x 演化使得 ψt(x) 位于宏观平衡中，则趋近平衡就会发生。 -稍后时间点的区域。理想情况下，人们希望任何非平衡宏观区域中的所有 x 都发生这种情况，因为这意味着所有非平衡状态最终都会接近平衡。现在的问题是情况是否确实如此，如果不是，那么哪些“部分”国家会以不同的方式演变。

在讨论这些问题之前，我们先介绍一下玻尔兹曼熵 SB，它是通过宏观状态的宏观区域的度量来定义的宏观状态的属性：

SB(Mi)=klog[μ(XMi)]

对于所有 i=1,…,m，其中 k 是所谓的玻尔兹曼常数。由于对数是单调函数，宏观区域的测度μ越大，对应宏观状态的熵就越大。

这个框架是自我认定为“玻尔兹曼”的立场的支柱。差异体现在如何阐明该框架的要素以及如何解决困难方面。

4.2 定义平衡：玻尔兹曼的组合论证

定义均衡的一种有影响力的方法可以追溯到玻尔兹曼（Boltzmann，1877）；有关该论点的当代讨论，例如，请参见 Albert (2000)、Frigg (2008b) 和 Uffink (2007)。该方法首先关注系统中一个粒子的状态空间，在气体的情况下，该状态空间有六个维度（三个用于每个空间维度中粒子的位置，另外三个用于相应的动量）。然后，我们在这个空间上引入一个网格（一种称为粗粒度的操作），并说如果两个粒子位于同一网格单元中，则它们具有相同的粗粒度微观状态。然后，整个气体的状态通过一种排列来表示，即该空间上 n 个点的规范（气体中的每个粒子一个）。但对于气体的宏观性质来说，哪个粒子处于哪个状态是无关的，这意味着气体的宏观状态必须不受粒子排列的影响。宏观状态所依赖的只是粒子的分布，即每个网格单元中有多少粒子的规范。

该方法的核心思想是确定有多少种排列与给定的分布兼容，并将平衡状态定义为该数量最大的状态。玻尔兹曼做出了一个强有力的（但不切实际的）假设，即气体中的粒子不相互作用（这也意味着它们永远不会碰撞）并且气体的能量得以保留，玻尔兹曼为这个问题提供了一个解决方案，并表明排列数量最多的就是所谓的离散麦克斯韦-玻尔兹曼分布：

ni=αexp(−βEi),

其中 ni 是单元 i 中的粒子数量（如果是粗粒度的），Ei 是该单元中粒子的能量，α 和 β 是取决于粒子数量和系统温度的常数（Tolman 1938 [ 1979]：第 4 章）。从数学的角度来看，推导该分布是组合学中的一个问题，这就是为什么该方法现在被称为组合论证。

正如 Paul 和 Tatiana Ehrenfest 在他们 1911 [1959] 的评论中指出的那样，该论证的数学结构还表明，如果我们现在返回到整个系统的状态空间 X（回想一下，它有 6n 维），则宏观-由此定义的平衡状态区域是所有宏观区域中最大的。因此，均衡宏观状态是具有最大宏观区域的宏观状态。在当代的讨论中，这通常被解释为均衡宏观状态不仅比任何其他宏观状态都要大，而且要大得多，并且实际上占据了 X 的大部分（例如，参见 Goldstein 2001）。然而，正如Lavis（2008）所指出的，形式主义仅表明均衡宏观区域比任何其他宏观区域都大，而不是它占据了大部分状态空间的普遍真理；事实上存在这样的系统，其中非平衡宏观区域加在一起大于平衡宏观区域。

正如我们所看到的，由于玻尔兹曼熵是宏观区域测度的单调函数，这意味着平衡微观状态也是具有最大玻尔兹曼熵的宏观状态，并且接近平衡的过程是可以用熵的增加来表征。

出现两个问题：第一，这是一个站得住脚的均衡的一般定义；第二，它如何解释均衡的方法？关于第一个问题，Uffink (2007) 强调组合论证假设粒子是非相互作用的。因此，结果可以被视为稀释气体的良好近似，但它无法描述（甚至近似）相互作用的系统，例如液体和固体。但 SM 的重要应用是非稀释气体系统，因此这是一个重大限制。此外，从概念的角度来看，问题在于，根据与分布相容的排列数量来定义平衡与平衡的热力学概念没有联系，其中平衡被定义为孤立系统所处的状态当不顾一切时收敛（Werndl & Frigg 2015b）。最后，平衡的这个定义与系统的动力学完全脱节，这产生了奇怪的结果，即使系统的时间演化是恒等函数，它仍然会提供平衡状态（因此没有任何变化，也没有接近平衡的情况发生） ）。即使将热力学放在一边，这个定义也没有什么真正宏观的东西，它实际上直接构造了一个宏观区域，而没有指定宏观状态。

进一步的问题（仍然是关于第一个问题）是粗粒度的合理性。如果没有粗粒度的微观状态，组合论证就无法展开，因此问题是什么使这些状态的使用合法化。该过程仅适用于特定类型的粗粒度（即，如果网格平行于位置轴和动量轴），并且不能通过采用让网格大小趋向于的限制来消除网格，这一事实加剧了该问题趋向于零。已经提出了许多合理的策略，但没有一个是完全令人满意的。吉布斯 SM 中的粗增益也会出现类似的问题，我们建议读者参考 6.5 节进行讨论。

关于第二个问题，组合论证本身没有说明系统为什么以及如何接近平衡，并且必须在帐户中添加额外的成分才能提供这样的解释。在讨论其中一些成分之前（这是本节其余大部分内容的主题），让我们讨论平衡方法的每种解释都必须解决的两个挑战：可逆性问题和递归问题。

4.3 两个挑战：可逆性和复发性

在第 2 节中，我们已经看到，BSM 的物理系统本质上具有动力系统 (X, phi, μ) 的结构，其中 phi 是确定性的且测度保持的。此类系统有两个特征，对理解平衡方法提出了挑战。

第一个特征是所谓的时间反转不变性。直观上，您可以将过程的时间反转视为向后播放过程电影时所得到的结果。如果允许在一个时间方向上发生的每个过程也允许在时间的相反方向上发生，则系统的动力学是时间反转不变的。也就是说，对于理论允许的每个过程，如果您在电影中捕获该过程，那么您在倒放电影时看到的过程也是理论允许的；有关详细和更多技术性的讨论，请参阅 Earman (2002)、Malament (2004)、Roberts (2022) 和 Uffink (2001) 等。