多值逻辑（二）
从哲学角度来看，这些 16 值系统也很有趣，并在专着 Shramko/Wansing (2011) 中得到了广泛介绍。
3.6 产品体系
找到对真实度的直观理解的一般问题有时有一个很好的解决方案：人们可以将它们视为包含句子评估的不同方面。在例如k个不同方面的情况下，可以将真实度选择为评估单个方面的k元组值。 （例如，这些可能是标准真值。）
这种 k 元组上的真度函数还可以根据单个分量值的真度（或：真值）函数“按分量”定义。以这种方式，k个逻辑系统可以被组合成一个多值产品系统。
这样，Dunn/Belnap 4值系统的真实度可以被认为是评估与数据库相关的事态（SOA）的两个方面：
是否有关于此 SOA 真实性的正面信息，以及
是否有关于此 SOA 虚假性的正面信息。
两个方面都可以使用标准真值来进行此评估。
在这种情况下，Dunn/Belnap 的 4 值系统的合取、析取和否定分别可以通过经典逻辑的合取、析取或否定来定义，即这个 4 值系统是经典逻辑的两个副本的乘积。二值逻辑。
4.多值逻辑的应用
多值逻辑部分是由从未实现的哲学目标驱动的，部分是由关于功能完整性的正式考虑驱动的。在开发的早期，这引起了人们对 MVL 实用性的一些怀疑。然而与此同时，在不同领域发现了有趣的应用。现在将提及其中一些。
4.1 语言学应用
4.2 逻辑应用
4.3 在哲学问题上的应用
4.4 硬件设计中的应用
4.5 人工智能的应用
4.6 数学应用
4.1 语言学应用
一个具有挑战性的问题是处理语言学中的预设，即仅隐含在给定句子中的假设。因此，例如，“加拿大现任国王出生于维也纳”这句话具有存在性预设，即存在加拿大现任国王。
理解此类句子的命题处理并不是一项简单的任务，例如：给出形成其否定的标准，或理解含义的真实条件。
这些问题的一种解决方案是使用许多真实度，例如以有序对作为真度的乘积系统：这意味着它们的组件并行评估是否满足预设以及句子是真还是假。但三值方法也得到了讨论。
在语言学中使用 MVL 工具的另一种想法是自然语言现象的建模方法。提供了基本思想和一些应用，例如诺瓦克/Perfilieva/Močkoř (1999) 和诺瓦克 (2008)。
4.2 逻辑应用
MVL 系统对逻辑本身的第一种应用是使用它们来更好地理解其他逻辑系统。通过这种方式，哥德尔系统产生于一种测试直觉逻辑是否可以被理解为有限值逻辑的方法。 Łukasiewicz（1920）引入 MVL 系统最初是受以三值方式理解可能性概念（即模态逻辑）的想法（最终不成功）的指导。
逻辑应用的第二种类型是不同类型逻辑系统的合并，例如制定具有分级模式的系统。 Melvin Fitting (1991/92) 考虑通过合并模态和多值逻辑来定义此类模态的系统，并预期应用于人工智能问题。
逻辑的第三种应用是部分谓词和真值差距的建模。然而，只有当这些真值间隙表现出“真值函数”时，即复合句子中真值间隙的行为可以通过合适的真值函数来描述时，这才是可能的。 （情况并非总是如此，例如，使用超值的公式中并非如此。）
4.3 在哲学问题上的应用
如何理解“真理”的含义，是一个古老的哲学问题。解决这个问题的逻辑方法在于用真值谓词 T 丰富形式化语言 L，将其应用于 L 的句子，或者更好的是，将谓词 T 应用于 L 的扩展 LT 的句子。
基于这个想法，A. Tarski 在 20 世纪 30 年代中期开发了包含真值谓词的此类语言的合理理论。结果之一是，这样一种语言LT，包含自己的真值谓词T，并且具有一定丰富的表达能力，必然是不一致的。
S. Kripke (1975) 提出了另一种处理包含自己的真谓词 T 的语言 LT 的方法，该方法本质上基于将 T 视为部分谓词的想法，即作为具有“真值差距”的谓词。在 Kripke（1975）考虑的一个案例中，这些真值差距表现出“真值功能”，因此可以被视为第三真值度。然后，它们在复合句子中的传播就可以通过三值系统的适当真度函数来描述。在 Kripke（1975）的方法中，这个参考是三值系统，S.C.Kleene（1938）在递归理论中的偏函数和谓词的（数学）背景下考虑了三值系统。
MVL 在哲学中的第二个应用是解决古老的悖论，如 Sorites（堆）或 falakros（秃头人）。 （参见条目 Sorites 悖论。）就 Sorites 而言，悖论如下：
(i) 一粒沙不是一堆沙。 (ii) 将一粒沙子添加到不是堆的东西中不会使其变成堆。因此，无论加入多少粒沙子，一粒沙子永远不会变成一堆沙子。
因此，真实的前提 (i) 通过使用 (ii) 的一系列推论给出了错误的结论 (iii)。在具有分级推理概念（通常称为模糊逻辑）的 MVL 扩展内，一种相当自然的解决方案是将堆的概念视为模糊概念，即作为一种概念，它可能仅对某些（真相）适用于给定对象。程度。此外，将前提 (ii) 视为仅部分正确是合适的，但其程度非常接近最大程度 1。那么每个推理步骤的形式如下：
（一个）
k 粒沙子不会堆成一堆。
(二)
将一粒沙子加到 k 粒沙子中并不会使 (k+1) 粒沙子变成一堆。
因此
(二)
(k+1) 粒沙子不会堆成一堆。
然而，该推论必须涉及前提(a)和(ii)的真实度，并且必须提供结论(b)的真实度。 MVL 中此类推理建模的关键思想是，如果 (ii) 的真实度小于最大真实度，则确保 (b) 的真实度小于 (a) 的真实度。实际上，对于不断增加的 n 粒沙子来说，“n 粒沙子不会形成堆”这句话往往是错误的。
4.4 硬件设计中的应用
经典命题逻辑被用作分析和综合由具有两种稳定状态（即电压水平）的“开关”构建的某些类型电路的技术工具。一个相当简单的概括允许使用 m 值逻辑来讨论由具有 m 个稳定状态的类似“开关”构建的电路。多值逻辑的整个应用领域称为多值（甚至：模糊）切换。 Epstein (1993) 是一个很好的介绍。
4.5 人工智能的应用
人工智能实际上是最有前途的应用领域，它提供了一系列使用MVL系统的不同领域。
第一个应用领域涉及模糊概念和常识推理，例如在专家系统中。这两个主题都是通过模糊集和模糊逻辑建模的，这些都涉及 MVL 的合适系统。此外，在数据库和基于知识的系统中，人们喜欢存储模糊的信息。
第二个应用领域与第一个应用领域密切相关：数据和知识挖掘的自动化。这里考虑聚类方法；这些通过不清晰的簇引用模糊集和 MVL。在这一背景下，人们还对 MVL 系统的自动定理证明技术以及 MVL 系统的逻辑编程方法感兴趣。这一趋势的一部分是广义描述逻辑的最新发展，所谓的模糊描述逻辑，从MVL领域中包括技术工具（真实度，连接，分级谓词），从完整的角度包括在内一阶逻辑：基本 - 逻辑系统，所谓的描述逻辑，参见Straccia（2001），Hájek（2005），Stoilos等。 （2008）。
4.6数学应用
数学中有三个主要主题与许多值逻辑有关。第一个是模糊集的数学理论，以及“模糊”或近似推理的数学分析。在这两种情况下，都指MVL系统。第二个主题是使用合适的MVL系统为设置理论的一致性证明的方法。而且，在独立证明中（例如，对于公理系统）中，有一个（通常只是隐性）对MVL的基本思想，通常是指具有两个以上真实程度的逻辑矩阵。但是，这里的MVL更纯粹是技术工具，因为在这些独立证明中，人们对对真理学位的直觉不感兴趣。
5。多价逻辑的历史
波兰逻辑学家和哲学家olukasiewicz（1920）创建了许多独立的逻辑作为一个单独的主题，并首先在波兰发展。他的第一个意图是为“可能”使用第三个，额外的真实价值，并以这种方式建模“有必要”和“有可能”。对模态逻辑的预期应用未实现。但是，这些研究的结果是olukasiewicz系统，以及有关这些系统的一系列理论结果。
从本质上讲，美国数学家帖子（1921）介绍了其他真相学位的基本思想，并将其应用于函数的代表性问题。
后来，戈德尔（Gödel，1932）试图从许多真实学位上理解直觉逻辑。结果是戈德尔系统的家族，结果，即直觉逻辑没有一个特征性的逻辑矩阵，只有有限的真相学位。几年后，Jaskowski（1936）为直觉逻辑构建了一个无限的有价值的矩阵。但是，似乎这个矩阵的真实度没有很好的直观解释。
俄罗斯逻辑学家Bochvar（1938）提出了三价逻辑对悖论的讨论的哲学应用，而数学上的逻辑是在美国逻辑学家Kleene（1938）的部分功能和关系中提出的。不久之后，克莱恩（Kleene）的连接器在哲学上也变得有趣，作为一种技术工具，可以确定克里普克（Kripke，1975）发起的真相修订理论的固定点。
1950年代看到（i）麦克诺顿（McNaughton（1951），（ii）Chang（1958，1958，1959年）引入了同一系统的完整性证明，在无限有价值的命题中可以确定的真实程度函数的分析表征（1958年） Rose/Rosser（1958）的MV-Algebra和更传统的代数，以及（iii）完整性Dummett（1959）的无限估值Gödel系统的证明。 1950年代还看到了Skolem（1957）的一种方法，以证明在无限估值逻辑领域中的集合理论的一致性。
在1960年代，Scarpellini（1962）明确指出，一阶无限价值的Oukasiewicz系统（递归）不可公理。 Hay（1963）以及Belluce/Chang（1963）证明，增加一个无限推理规则会导致L∞的公理化。和Horn（1969）为一阶无限的gödel逻辑提供了完整的证明。除了纯粹的多元逻辑中的这些发展外，Zadeh（1965）还通过广义设置理论手段对模糊概念进行形式化的（以应用程序为导向的）方法，而Goguen（1968/69）与哲学应用相关，以及哪些概念应用以及哪个方法。后来，MVL内部也有很多理论上的考虑。
1970年代标志着纯多价值逻辑中的一段限制活动。但是，在（计算机科学）应用程序应用程序的密切相关领域中，正式被形式化为模糊集的（例如Zadeh（1975，1979）。在帕维尔卡（1979）中，通过分级的推论和综合概念对MVL的重要扩展。
在1980年代，模糊集及其应用仍然是一个热门话题，通过多个值逻辑的方法要求理论基础。此外，还有第一个复杂性结果，例如Ragaz（1983），关于一阶无限价值的逻辑有效公式的集合。 Mundici（1986）开始对MV-Elgebras进行更深入的研究。
自1980年代以来，这些趋势一直在继续。研究包括MVL在模糊集理论及其应用中的应用，对与MVL系统相关的代数结构的详细研究，对成分的分级概念的研究以及MVL系统中不同问题的复杂性问题的研究。这项研究是关于证明理论的有趣工作，关于自动定理的有趣工作，通过人工智能事务中的不同应用以及对基于T-norms的无限有价值系统的详细研究 - 现在通常称为（数学）模糊逻辑。
