多值逻辑（一）

1. 语义

1.1 标准逻辑矩阵

1.2 代数语义

1.3 游戏语义

2. 证明论

2.1 希尔伯特型演算

2.2 Gentzen型序贯演算

2.3 表格演算

3.多值逻辑系统

3.1 武卡谢维奇逻辑

3.2 哥德尔逻辑

3.3 基于 t-Norm 的系统

3.4 三值系统

3.5 Dunn/Belnap 的 4 值系统

3.6 产品体系

4.多值逻辑的应用

4.1 语言学应用

4.2 逻辑应用

4.3 在哲学问题上的应用

4.4 硬件设计中的应用

4.5 人工智能的应用

4.6 数学应用

5.多值逻辑的历史

参考书目

专着和调查论文

引用的其他作品

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1. 语义

多值逻辑系统存在三种语义。

1.1 标准逻辑矩阵

1.2 代数语义

1.3 游戏语义

我们依次讨论这些。

1.1 标准逻辑矩阵

定义多值逻辑系统S最合适的方法是固定其语言的特征逻辑矩阵，即固定：

真度集，

解释命题连接词的真度函数，

真度常数的含义，

量词的语义解释，

另外，

指定的真值度，它构成真值度集合的子集，并充当传统真值“verum”的替代品，

有时还有反指定真值，它们构成真值集合的子集，并充当传统真值“falsum”的替代品。

命题语言的格式良好的公式 A 在某些评估 α（将命题变量集映射到真度集）下视为有效，当且仅当它在 α 下具有指定的真度。并且 A 在逻辑上是有效的或者是同义反复，当且仅当它在所有估值下都有效。

在一阶语言的情况下，这样一个格式良好的公式 A 在该语言的解释 α 下被视为有效，当且仅当它在该解释下具有指定的真实度以及该解释的论域中对象的所有分配到对象变量。 A 被视为逻辑有效，当且仅当它在所有解释下都有效。

就像经典逻辑一样，这样的解释必须提供

一个（非空的）论域，

语言的对象常量的含义，

谓语字母和语言功能符号的含义。

某些格式良好的公式集合 Σ 的模型是评估 α 或解释 α ，使得所有 A ∈ Σ 在 α 下有效。 Σ 蕴含 A 意味着 Σ 的每个模型也是 A 的模型。

1.2 代数语义

多值逻辑系统 S 存在第二种语义，它基于（类似）代数结构的整个特征类 K。每个这样的代数结构必须提供 S 语言的特征逻辑矩阵必须提供的所有数据。

公式 A 相对于 K 的代数结构的有效性概念被定义为好像该结构将形成逻辑矩阵。这里的逻辑有效性意味着 K 类所有结构的有效性。

对于 MVL 的某些系统 S 形成这样的特征类 K 的代数结构类型通常可能来自两个不同的来源。第一个来源可以通过区分某些此类代数结构的外逻辑考虑来确定。然而，如果 MVL 的系统 S 在句法上或由单个特征矩阵确定，则此类代数结构通常由 S 的（句法或语义）Lindenbaum 代数确定，并且在这种情况下通常也起着至关重要的作用。在代数完整性证明中的作用。 K 中的代数结构对于 S 的作用与布尔代数对于经典逻辑的作用类似。

对于 MVL 的特定系统，例如代数结构的以下特征类别：

对于无穷值 Łukasiewicz 逻辑，MV 代数类，

对于无限值哥德尔逻辑，所有 Heyting 代数的类还满足预线性 (x→y)∪(y→x)=1，

对于 Hajek 的基本 t-范数逻辑 BL 是所有 t-代数的类，即所有由实单位区间和左连续 t-范数 T 组成的代数结构及其残差运算 IT 定义为 IT(x, y)=sup{z∣T(x,z)≤y}。

对于这些例子中的前两个，历史上有由特征矩阵确定的逻辑，以及随后确定的相应的代数结构类。对于第三个例子，情况有所不同：BL 被设计为所有连续 t-范数的逻辑，并且从这种外逻辑方法中，找到了满足预线性的所有可分剩余格的类。

然而，从哲学的角度来看，使用单一特征逻辑矩阵的 MVL 系统通常最好具有语义基础。但是，从形式的角度来看，这两种方法同样重要，并且代数语义被证明是更通用的方法。

1.3 游戏语义

逻辑和游戏的联系有多种方式。例如，对话逻辑为经典逻辑和直觉逻辑提供了博弈论语义：如果陈述该公式的支持者拥有针对对手可能实现的攻击的制胜策略，则该公式算作有效。

在模糊集和多值逻辑之间的关系的背景下，Robin Giles 提出了一种以游戏为导向的方法来看待逻辑有效性。从1975年开始，他在一系列论文Giles (1975,1976,1979)中提出，并在Giles (1988)中再次提出，通过基于方便的对话解释的形式系统对模糊谓词进行推理的一般处理。他已经在其他论文中使用了这种对话解释，例如 Giles 1974，该论文涉及主观信念和物理学基础。主要思想是“让一句话代表一种信念，以赌注的形式有形地表达出来”。投注涉及分散实验的实际结果以及已知概率的不同可能结果。在这种情况下，“当接受赌注 ψ1,…,ψn 的人可以同时下注 ψ 而不必担心损失时，句子 ψ 被认为是从句子 ψ1,…,ψn 中得出的”。

以这种方式获得的（形式）语言与 Łukasiewicz 的无限值逻辑 L∞ 密切相关：事实上，如果将真值 1−⟨phi⟩ 分配给句子 phi，两个系统是一致的，其中 ⟨phi⟩ 代表风险断言 phi 的值。他甚至补充道，“通过这种对话解释，Łukasiewicz 逻辑完全适合 L.A. Zadeh (1965) 首次描述的‘模糊集合论’的表述；事实上，声称 L∞ 与模糊集合论的关系正如经典逻辑与普通集合论的关系并不过分”。

最近研究了这些对话游戏的不同版本和概括。例如，Fermüller (2008) 和 Fermüller/Roschger (2014) 讨论了这些发展的各个方面。这种方法不仅能够提供游戏语义，例如：哥德尔逻辑和乘积逻辑。还有一些桥梁将此类游戏与多值逻辑的顺序演算设计联系起来，参见。费穆勒/梅特卡夫 (2009)。

还有一种与 m 值 Łukasiewicz 逻辑相关的对话游戏：支持者询问信息，回答的对手最多可以说 m 次谎。 Mundici (1992) 提出了这种“乌兰姆谎言游戏”。

2. 证明论

主要的逻辑演算类型都可用于 MVL 系统：

2.1 希尔伯特型演算

2.2 Gentzen型序贯演算

2.3 表格演算

然而，上述一些仅适用于有限值系统。 Metcalfe/Olivetti/Gabbay (2009) 介绍了各种无限价值逻辑的当前技术水平。

2.1 希尔伯特型演算

这些演算的形成方式与经典逻辑的相应演算相同：一组公理与一组推理规则一起使用。推导的概念是通常的概念。

2.2 Gentzen型序贯演算

除了常见的序贯演算类型之外，研究人员最近还开始讨论 MVL 系统的“超序贯”演算。超序列是有限多重集，即普通序列的有限无序列表。

对于有限值系统，特别是 m 值系统，还存在适用于广义序列的序列演算。在 m 值的情况下，这些是长度为 m 的公式集序列。

2.3 表格演算

在这些演算中，画面的树结构与经典逻辑的画面演算中的树结构保持相同。节点的标签变成更通用的对象，即带符号的公式。有符号公式是一对，由符号和格式良好的公式组成。符号要么是一个真值度，要么是一组真值度。

带符号公式的Tableau演算通常限制在MVL有限值系统中，以便能够有效地处理它们。

3.多值逻辑系统

MVL 的主要系统通常是由统一定义的有限值系统和无限值系统组成的族。这是一个列表：

3.1 武卡谢维奇逻辑

3.2 哥德尔逻辑

3.3 基于 t-Norm 的系统

3.4 三值系统

3.5 Dunn/Belnap 的 4 值系统

3.6 产品体系

3.1 武卡谢维奇逻辑

系统 Lm 和 L∞ 由逻辑矩阵定义，该矩阵具有某个有限集

Wm={

k

m−1

∣0≤k≤m−1}

实单位区间或整个单位区间内的有理数

W∞=[0,1]={x∈ℜ∣0≤x≤1}

作为真实度设定。 1 级是唯一指定的真实度。

这些系统的主要连接词是强连接词和弱连接词，分别由真度函数给出 & 和 ∧

u&v =max{0,u+v−1},

u∧v=min{u,v},

否定联结词 Ø 确定为

Øu=1−u,

以及蕴涵联结词 → 与真度函数

u→v=min{1,1−u+v}。

通常，还使用两个分离连接词。这些分别根据 & 和 ∧ 定义，通过使用 Ø 的常用德摩根定律。对于一阶 Łukasiewicz 系统，添加两个量词 ∀, ∃，使得 ∀xH(x) 的真实度是 H(x) 所有相关真实度的下确界，并且 ∃ 的真实度xH(x) 是 H(x) 所有相关真值度的上界。

3.2 哥德尔逻辑

系统 Gm 和 G∞ 由逻辑矩阵定义，该矩阵具有某个有限集

Wm={

k

m−1

∣0≤k≤m−1}

实单位区间或整个单位区间内的有理数

W∞=[0,1]={x∈ℜ∣0≤x≤1}

作为真实度设定。 1 级是唯一指定的真实度。

这些系统的主要连接词是由真度函数确定的合取 ∧ 和析取 ∨

u∧v=min{u,v},

u∨v=max{u,v},

蕴涵联结词 → 具有真度函数

u→v

u≤v 1

你>v v

以及带有真度函数的否定联结词 ∼

～u

u=0 1

u≠0 0

对于一阶哥德尔系统，添加两个量词 ∀, ∃，使得 ∀xH(x) 的真度是 H(x) 所有相关真度的下确界，并且 ∃ 的真度xH(x)是H(x)所有相关真值度的上界。

3.3 基于 t-Norm 的系统

对于具有真度集的无限值系统

W∞=[0,1]={x∈ℜ∣0≤x≤1}

自 20 世纪 80 年代中期以来，模糊集理论的影响引发了对 MVL 等一整类系统的研究。

这些系统基本上由一个（可能是非幂等的）强合取连接词 &T 确定，它具有相应的真度函数 t-范数 T，即单位区间内的二元运算 T，它是结合的、可交换的、非递减的，并且中性元素的度数为 1：

T(u,T(v,w))=T(T(u,v),w),

T(u,v)=T(v,u),

u≤v→T(u,w)≤T(v,w),

T(u,1)=u。

对于所有具有超保留性质的 t-范数

T(u,supivi)=supiT(u,vi),

有一种标准方法可以用真度函数引入相关蕴涵连接词→T

u→Tv=sup{z∣T(u,z)≤v}。

该蕴涵连接词通过关键伴随性条件与 t-范数 T 连接

T(u,v)≤w⇔u≤(v→Tw),

对于每个具有超保存属性的 T ，它唯一地确定 →T 。

该语言通过否定联结词 -T 进一步丰富，由真度函数决定

-Tu=u→T0。

这迫使语言也有一个真实度常数

0

_

表示真实度为 0，因为这样 -T 就成为可定义的连接词。

通常，我们会添加一个（弱）合取 ∧ 和一个带有真度函数的析取 ∨ 作为两个进一步的连接词。

u∧v=min{u,v},

u∨v=max{u,v},

对于连续函数的 t 范数（在两个变量的实函数的连续性的标准意义上），这些附加连接词甚至变得可以定义。合适的定义是

min{u,v} =T(u,(u→Tv)),

max{u,v} =min{((u→Tv)→Tv),((v→Tu)→Tu)}。

这种 t 范数相关系统的特例是无限值 Łukasiewicz 和哥德尔系统 L∞、G∞，以及以通常的算术乘积作为其基本 t 范数的乘积逻辑。

从分析的角度来看，对于 t-范数 T，其超保持性质是该二元函数 T 的左连续性，即每个一元函数 Ta(x)=T(a,x) 的性质是左连续的。并且这样的t-范数T的连续性可以通过代数整除条件来表征

u&T(u→Tv)=u∧v。

所有 t-范数的类别都非常大，并且到目前为止还没有很好地理解。即使对于那些具有超保存属性的 t 范数，结构理解也远未完成，但对于一般情况要好得多：Jenei (2004) 给出了对最新技术水平的讨论。充分理解的只是连续 t 范数的进一步子类：它们很好地由 Łukasiewicz t 范数、乘积 t 范数和哥德尔 t 范数的同构副本组成，即最小运算，如所解释的例如于哥特瓦尔德 (2001)。

实际上，我们能够将基于 t 范数的系统公理化为某些特定类别的 t 范数。作为基本结果，Hájek (1998) 给出了所有连续 t-范数的逻辑 BL 的公理化。除了前面提到的代数语义之外，正如 Hajek 猜想并在 Cignoli/Esteva/Godo/Torrens (2000) 中证明的那样，该逻辑作为另一种代数语义，是所有基于 t-范数的结构的类，其 t-范数是连续函数。基于这项工作，Esteva 和 Godo (2001) 猜想了所有具有超保存性质的 t-范数的逻辑 MTL 的公理化，Jenei/Montagna (2002) 证明了这确实是一个充分的公理化。 Esteva/Godo/Montagna (2004) 提供了一种将每个连续 t-范数的逻辑公理化的方法：他们提供了一种算法，为每个特定的连续 t-范数 T 给出一个公理模式的有限列表，如果将其添加到所有连续 t-范数的逻辑 BL，产生 T 的基于特定 t-范数的逻辑的充分公理化。

进一步基于 t 范数的系统的公理化以及基于 t 范数的量词问题是最近的研究问题。主要关注点在于以下两个方面，涉及这些基于 t 范数的系统的表达能力的修改：（i）通过使用附加的否定运算符或多个基于 t 范数的合取运算形成系统来增强这种表达能力； (ii) 对此表达性的修改，例如通过删除真实度常数

0

_

（iii）将基本 t 范数修改为非交换“伪 t 范数”的概括，从而产生具有非交换合取连接词的逻辑。 Gottwald/Hájek (2005)、Gottwald (2008) 和 Cintula/Hájek (2010) 对这些发展进行了调查。

专着 Cintula/Hájek/Noguera (2011) 几乎完整地介绍了 2011 年的最新技术。 Montagna (2015) 一书表彰了 P. Hájek 对这些发展的特殊贡献。

3.4 三值系统

三值系统似乎是特别简单的情况，可以提供对真实度的直观解释；除了经典真值之外，这些系统仅包含一个额外的等级。

数学家和逻辑学家 Kleene 在部分递归函数的上下文中使用了第三个真度来表示“未定义”。他的连接词是 3 值 Łukasiewicz 系统的否定、弱合取和弱析取，以及可定义的合取 ∧+ 和可定义的蕴涵 →+，由真度函数和以下函数表确定（后者具有真度） ½ 当且仅当其成分之一具有真实度 ½)：

∧+ 0 ½ 1

0 0 ½ 0

1/2 1/2 1/2

1 0 ½ 1

→+ 0 ½ 1

0 1 ½ 1

1/2 1/2 1/2

1 0 ½ 1

这里 ½ 是第三个真实度“未定义”。在这个 Kleene 系统中，1 级是唯一指定的真实度。

Blau（1978）使用了不同的系统作为自然语言的内在逻辑。在布劳系统中，1 度和 1/2 度均被指定。对第三级真值 1/2 的其他解释，例如“无意义”、“不确定”或“自相矛盾”，激发了对其他三值系统的研究。

3.5 Dunn/Belnap 的 4 值系统

MVL 这个特别有趣的系统是相关逻辑研究的结果，但它对于计算机科学应用也具有重要意义。其真实度集可取为

W*={∅,{⊥},{⊤},{⊥,⊤}},

真实度被解释为表明（例如，对于某些特定事态的数据库查询）存在

没有关于这种事态的信息，

信息表明事态失败，

信息表明事态获得，

相互矛盾的信息表明事态既成功又失败。

这组真度有两个自然（格）顺序：

一个真值排序，其中 {⊤} 位于不可比较的度数 ∅、{⊥,⊤} 之上，而 {⊥} 位于底部； IE。，

4V-真相

信息（或：知识）排序，其中 {⊥,⊤} 位于不可比较的度 {⊥},{⊤} 之上，∅ 位于底部； IE。，

4V-信息

给定真值顺序下的 inf 和 su，合取和析取联结词有真值度函数。否定以自然的方式由真值度函数确定，该函数交换度数 {⊥} 和 {⊤}，并保持度数 {⊥,⊤} 和 ∅ 固定。

实际上，蕴涵联结词没有标准的候选者，指定真度的选择取决于预期的应用：

对于计算机科学应用来说，很自然地将 {⊤} 作为唯一指定的学位，

对于相关逻辑的应用，选择{⊤}、{⊥、⊤}作为指定度被证明是足够的。

选择合适的蕴涵关系仍然是一个开放的研究课题。

这个 4 值系统在计算机中存储的信息库的背景下有一个有趣的解释，Belnap (1977) 对此进行了解释。 Shramko/Wansing (2005) 最近对计算机网络知识库的概括导致了 16 值系统，例如Odintsov (2009) 也进行了研究。

从哲学角度来看，这些 16 值系统也很有趣，并在专着 Shramko/Wansing (2011) 中得到了广泛介绍。