量子力学（二）
b.
类型 2 的上下文（“测量上下文”）：[9] 在状态 |A⟩ 的系统上执行可观测 B 的“测量”会导致系统崩溃为与观测到的特征值相对应的 B 特征状态。这被称为崩溃公设。它塌缩成哪个特定的 B-本征态是一个概率问题，而概率由称为玻恩规则的规则给出：
Pr(bi)=|⟨A∣B=bi⟩|2
关于这两种上下文，有两点需要注意：
类型 1 和类型 2 之间的区别仍有待用量子力学术语来区分；没有人能够用理论提供的术语以完全令人满意的方式说出哪些上下文是测量上下文，以及
即使区分清楚，是否存在类型 2 的上下文仍然是一个开放的解释问题；也就是说，是否存在系统受薛定谔方程以外的动力学规则控制的环境，这是一个开放的解释性问题。
4.希尔伯特空间上的结构
我在上面说过，就像我们所拥有的关于城市中位置之间关系的所有信息都体现在地图上代表它们的点之间的空间关系中一样，我们所拥有的关于城市之间的内部关系的所有信息也是如此。量子力学中的状态和量（以及它们之间的状态和量）体现在代表它们的向量和算子之间的数学关系中。 [10]从数学的角度来看，量子力学与其经典前身的真正区别在于，状态和数量具有更丰富的结构；他们组成的家庭的成员之间有着更有趣的关系网络。
量子力学系统行为的所有物理后果特征都是这些关系的数学属性的结果，其中最重要的特征很容易总结：
(P1)
在希尔伯特空间中添加向量或将它们乘以标量的任何方式都会产生也在该空间中的向量。在向量被归一化的情况下，从（3.1）开始，它将表示系统的可能状态，并且如果它是具有不同特征值的可观察 B 的一对特征向量的和，则它不会本身是 B 的特征向量，但根据 (3.4b)，将与一组用于显示 B 测量中的一个或另一个结果的概率相关联。
(P2)
对于希尔伯特空间上的任何埃尔米特算子，在同一空间上还有其他算子，它们不共享完整的特征向量；事实上，很容易证明还有其他这样的算子与它没有共同的特征向量。
如果我们做一些额外的解释性假设，我们就可以说更多。例如，假设
(4.1)
与系统关联的希尔伯特空间上的每个埃尔米特算子都代表一个不同的可观测值，并且（因此）每个归一化向量、一个不同的状态和
(4.2)
当且仅当表示系统状态的向量是 A 算子的本征态时，系统才有可观察 A 的值。在这种情况下，它所具有的值只是与该特征态相关的特征值。[11]
从（P2）、（3.1）得出，没有任何量子力学状态是所有可观测量的本征态（事实上，存在没有共同本征态的可观测量），因此，根据（3.2），没有任何量子力学状态是所有可观测量的本征态（并且确实存在没有共同本征态的可观测量）系统曾经拥有与其相关的所有数量的同时值（实际上，存在没有国家为其分配同时值的数量对）。
一对希尔伯特空间 H1 和 H2 的张量积 H1⊗H2 上存在埃尔米特算子...如果 H1 和 H2 是系统 S1 和 S2 的状态空间，则 H1⊗H2 是系统 S1 和 S2 的状态空间复杂系统（S1+S2）。从 (4.1) 可以得出，存在属于 (S1+S2) 的可观测量，其值不是由属于这两个单独的可观测量的值确定的。
这些都是在希尔伯特空间中采用向量和算子分别表示状态和可观测量，并应用玻恩规则（以及后来的（4.1）和（4.2））为状态分配赋予经验意义的直接结果。这一点很好理解；理解量子力学的真正困难在于掌握它们的含义——物理的、形而上学的和认识论的。
任何想要了解量子力学对世界的描述的人都必须努力解决一个剩下的事实。这个问题不是希尔伯特空间的问题，而是动力学的问题——描述系统在空间中遵循的轨迹的规则。从物理角度来看，这比迄今为止讨论的任何事情都更令人担忧。它不仅给试图解释该理论的人带来了困难，而且似乎也指出了该理论基础上的逻辑不一致。
假设我们有一个系统 S 和一个设备 S*，它测量 S 上可观测的 A，其值为 {a1,a2,a3,...}。然后有 S* 的某种状态（“基态”），以及一些可观察的 B，其值 {b1,b2,b3,...} 属于 S*（其“指针可观察”，如此称呼是因为它是任何东西）在记录实验结果时扮演示意性测量仪器前面表盘上的指针的角色），如果 S* 在其基态下开始并以适当的方式与 S 相互作用，并且如果 A 的值紧接在交互作用为a1，则紧接着B的值为b1。然而，如果A在交互之前的值为a2，那么B在交互之后的值为b2；如果交互之前A的值为a3，则交互之后B的值为b3，依此类推。这就是 S* 测量 A 的意思。因此，如果我们表示 S 和 S* 的联合部分状态（只是其中指定 [A on S & B on S*] 的值的部分） ，其值对应于通过向量 |A=ai⟩s|B=bi⟩s* 对 S 上的测量可观测值和 S* 上的指针可观测值进行联合赋值，并让“→”代表的动态描述两者之间的相互作用，说 S* 是 A 的测量工具，就是说动力学定律意味着，
|A=a1⟩s|B=基态⟩s* →|A=a1⟩s|B=b1⟩s*
|A=a2⟩s|B=基态⟩s* →|A=a2⟩s|B=b2⟩s*
|A=a3⟩s|B=基态⟩s* →|A=a3⟩s|B=b3⟩s*
等等。[12]
直观上，S* 是可观察 A 的测量仪器，以防 S* 存在一些可观察特征（无论什么特征，只要通过观察设备就可以确定其值即可），该特征与系统的 A 值以这样的方式输入其中，我们可以在交互后从 S* 的可观察状态中读取这些值。用哲学术语来说，S* 是 A 的测量工具，以防 S* 存在一些可观察到的特征，该特征跟踪或指示与其以适当方式交互的系统的 A 值。
现在，从上面的 (3.1) 可以得出，S 的状态（多得难以计数）不是 A 的本征态，如果我们考虑薛定谔方程告诉我们的关于 S 和 S* 的联合演化，当 S从其中一个开始，我们发现相互作用后该对的状态是[A on S & B on S*]本征态的叠加。测量 S 上的什么可观测量并不重要，并且 S 从什么特定的叠加态开始也并不重要；当它被输入到可观测量的测量仪器中时，如果薛定谔方程正确地描述了相互作用，则它仅根据该方程中 U 的线性度得出，U 是影响从早期状态到后期状态的转换的算子。对，相互作用后 S 和装置的联合状态是该可观测量的本征态在联合系统上的叠加。
例如，假设我们开始 S* 处于基态，S 处于
1
√
2
|A=a1⟩s+
1
√
2
|A=a2⟩s
这是获得复合系统状态空间的规则的结果，该对的组合状态为
1
√
2
|A=a1⟩s|B=基态⟩s*+
1
√
2
|A=a2⟩s|B=基态⟩s*
由此可见，S* 是 A 的测量工具，U 的线性关系是它们相互作用后的组合状态：
1
√
2
|A=a1⟩s|B=b1⟩s*+
1
√
2
|A=a2⟩s|B=b2⟩s*
然而，这与类型 2 的上下文的动态规则不一致，因为类型 2 的上下文的动态规则（如果存在任何这样的上下文，则这是一个）意味着交互后该对的状态是
|A=a1⟩s|B=b1⟩s*
或者
|A=a2⟩s|B=b2⟩s*
事实上，它意味着有一个精确的概率
1
2
它最终会出现在前者，并且概率
1
2
最终会是后者。
我们可以尝试通过放弃类型 2 上下文的动态规则（或者，通过否认存在任何此类上下文，这相当于同一件事）来恢复逻辑一致性，但这样我们就会遇到与经验的一致性问题。因为将这条规则纳入理论中不仅仅是一个错误。我们知道一个系统在处于给定可观测量的本征态时是什么样子，并且通过观察我们知道测量后的测量装置处于指针可观测量的本征态。因此，我们从一开始就知道，如果一个理论告诉我们有关测量设备测量后状态的其他信息，无论其他信息是什么，它都是错误的。
简而言之，这就是量子力学中的测量问题；对这一理论的任何解释，任何根据量子力学描述世界是什么样子的详细故事，特别是正在进行测量的世界的那些部分，都必须努力解决这个问题。
未解决的问题
混合状态是纯状态的加权和，它们可用于表示其组件处于不同纯状态的系综的状态，或我们仅了解部分知识的单个系统的状态。在第一种情况下，给定纯状态的权重反映了处于该状态的系综组件的大小（因此也反映了系综中任意成员所处的客观概率）；在第二种情况下，它们反映了分配状态的相关系统处于该状态的认知概率。
如果我们不想失去纯状态和混合状态之间的区别，我们需要一种表示一组纯状态（相当于与它们相关的概率函数）的加权和的方法，该方法不同于添加（适当地加权）向量来表示它们，这意味着我们需要一种表示混合状态的替代方法，或者一种表示纯状态和混合状态的统一方法，以保留它们之间的区别。希尔伯特空间中有一种算子，称为密度算子，它可以很好地满足后一种能力，并且事实证明，用密度算子重述有关状态向量的所有内容并不困难。因此，尽管人们通常认为纯态由向量表示，但官方规则是状态（纯态和混合态都一样）在量子力学中由密度算子表示。
尽管正如我所说，混合状态可以用来表示我们对实际上处于一种或另一种纯粹状态的系统状态的无知，并且尽管对许多人来说这似乎是解释经典背景下的混合的一种适当的方式，但是将其普遍应用于量子力学混合物的严重障碍。这些在百科全书中有关量子力学的其他条目中进行详细讨论。
严格来说，关于可观察物的一切都仅适用于可观察值的值形成离散集的情况；将其概括为连续可观察的情况所需的数学上是复杂的，并提出了更技术性的问题。这些也最好留给详细的讨论。
这应该是对量子力学的哲学讨论所需的所有初始准备，但这只是第一步。更多的人了解希尔伯特领域的向量和运营商之间的关系，简单系统的空间如何与复杂系统的空间相关联，以及描述州媒介如何在空间中移动的方程式，越好人们对与该理论相关的问题的性质和困难表示赞赏。关于量子力学的倒退事物，使它无休止地吸收哲学家的事情是，越多的人学习，问题就越难。
