量子力学（一）
1. 术语
2. 数学
2.1 向量和向量空间
2.2 运营商
3. 量子力学
4.希尔伯特空间上的结构
参考书目
对初学者有用的书籍
量子力学教科书
有用的数学和物理通用文本
质量管理哲学书籍
学术工具
其他互联网资源
相关条目
1. 术语
物理系统根据其不变（或“状态无关”）属性分为不同类型，系统在某一时刻的状态由其随时间变化的属性（其“状态相关”）的完整规范组成。特性）。那么，为了给出一个系统的完整描述，我们需要说明它是什么类型的系统以及它在历史上每个时刻的状态是什么。
物理量是一个相互排斥且共同详尽的物理属性族（对于那些知道这种说话方式的人来说，它是具有分区中的单元结构的属性族）。了解一个量的取值类型可以告诉我们很多有关组成该量的属性之间的关系的信息。例如，二价量的值形成具有两个成员的集合；实数值量的值与实数结构形成一个集合。这是我们会一次又一次看到的特殊情况，即知道什么样的数学对象代表某个集合中的元素（这里是物理量的值；稍后是系统可以假设的状态，或与之相关的数量）告诉我们很多关于它们之间关系的信息（实际上，可以说是我们所知道的一切）。
在量子力学背景下，“可观察”一词与“物理量”可互换使用，并且应被视为具有相同含义的技术术语。该理论的早期开发者选择这个术语并非偶然，但做出这一选择的原因目前尚未被普遍接受。系统的状态空间是由其可能状态的集合形成的空间，[2]即组合内部表征的量值的物理上可能的方式。在经典理论中，形成其余量的附带基础的一组量通常被指定为“基本”或“基本”，并且，由于组合它们的值的任何数学上可能的方式都是物理可能性，因此状态空间可以是只需将这些作为坐标即可获得。[3]因此，举例来说，由 n 个粒子组成的经典机械系统的状态空间是通过指定 6n 个实数值量（系统中每个粒子的三个位置分量和三个动量分量）的值而获得的，是一个 6n维坐标空间。这样的系统的每个可能的状态对应于空间中的一个点，空间中的每个点对应于这样的系统的一个可能的状态。在量子力学中，情况略有不同，其中存在数学上可描述的方法来组合不代表物理上可能状态的量的值。正如我们将看到的，量子力学的状态空间是特殊类型的向量空间，称为希尔伯特空间，它们比经典空间具有更多的内部结构。
结构是定义了某些运算和关系的一组元素，数学结构只是其中元素是数学对象（数字、集合、向量）和运算数学对象的结构，模型是数学结构用于表示世界上一些具有物理意义的结构。
量子力学的核心和灵魂包含在代表量子力学系统状态空间的希尔伯特空间中。状态和数量之间的内部关系，以及量子力学系统行为方式所涉及的一切，都被编织到这些空间的结构中，体现在代表它们的数学对象之间的关系中。 [4]这意味着根据量子力学理解一个系统是什么样子与熟悉这些空间的内部结构密不可分。了解希尔伯特空间，并熟悉描述向量穿过该空间的路径的动力学定律，并且用该理论提供的术语，了解该理论所描述的系统所需要了解的一切。
我所说的“了解希尔伯特空间的方式”，不仅仅指拥有它的描述或地图；而是指拥有它的描述或地图。任何书架上有量子力学教科书的人都有这个。我的意思是，像了解你居住的城市一样了解它。这是一种具有一定程度的实用知识，最好通过学习解决以下形式的问题来获得：我如何从 A 到 B？不经过C可以到达吗？最短路线是什么？物理学研究生花费多年时间来熟悉希尔伯特空间的角落和缝隙，找到熟悉的地标，踏上人迹罕至的道路，了解秘密通道和死胡同所在，并培养对这片土地的整体布局的感觉。他们学习如何在希尔伯特空间中导航，就像出租车司机学习在城市中导航一样。
需要多少此类知识才能解决与该理论相关的哲学问题？一开始，不是很多：只是关于景观几何形状的最一般事实（无论如何，与大多数城市的情况不同，组织得很漂亮），以及系统（代表状态的向量）的路径穿越他们。这就是这里要介绍的内容：首先是一些简单的数学，然后，简而言之，是理论。
2. 数学
2.1 向量和向量空间
向量 A，写作“|A⟩”，是一个以长度、|A| 和方向为特征的数学对象。归一化向量是长度为 1 的向量；即|A|=1。向量可以相加、乘以常数（包括复数）以及相乘。向量加法将任何向量对映射到另一个向量，具体来说，就是通过移动第二个向量使其尾部与第一个向量的尖端重合而获得的向量，而不改变其中任何一个的长度或方向，然后将第二个向量的尾部连接起来。第一个到第二个的尖端。这个加法规则被称为平行四边形定律。因此，例如，将向量 |A⟩ 和 |B⟩ 相加得到向量 |C⟩(=|A⟩+|B⟩)，如图 1 所示：
向量加法
图 1. 向量相加
将向量 |A⟩ 乘以 n（其中 n 是常数）会得到一个与 |A⟩ 方向相同的向量，但其长度是 |A⟩ 长度的 n 倍。
在实向量空间中，一对向量 |A⟩ 和 |B⟩ 的（内积或点）积，写作“⟨A∣B⟩”，是等于它们长度（或“范数”）乘积的标量乘以它们之间的角度 θ 的余弦：
⟨A∣B⟩=|A||B|cosθ
令 |A1⟩ 和 |A2⟩ 为长度为 1 的向量（“单位向量”），使得 ⟨A1∣A2⟩=0。 （因此这两个单位向量之间的角度必须是 90 度。）然后我们可以用单位向量表示任何二维向量 |B⟩，如下所示：
|B⟩=b1|A1⟩+b2|A2⟩
例如，下面的图表显示了 |B⟩ 如何表示为两个单位向量 |A1⟩ 和 |A2⟩ 之和：
图2
图 2. 通过单位向量的向量加法表示 |B⟩
现在必须修改内积 ⟨A∣B⟩ 的定义以适用于复杂空间。令 c* 为 c 的复共轭。 （当 c 是 a±bi 形式的复数时，则 c 的复共轭 c* 定义如下：
[a+bi]*=a−bi[a−bi]*=a+bi
因此，对于所有复数 c，[c*]*=c，但 c*=c 只是在 c 为实数的情况下。）现在复空间的 |A⟩ 和 |B⟩ 的内积定义可以给出复系数的共轭项如下。其中|A1⟩和|A2⟩是前面描述的单位向量，|A⟩=a1|A1⟩+a2|A2⟩和|B⟩=b1|A1⟩+b2|A2⟩，则
⟨A∣B⟩=(a
*
1
)(b1)+(a
*
2
)(b2)
内积的最一般和抽象的概念，我们现在定义了两个特殊情况，如下所示。 ⟨A∣B⟩ 是向量空间 V 上的内积，以防万一
⟨A∣A⟩=|A|2，且 ⟨A∣A⟩=0 当且仅当 A=0
⟨B∣A⟩=⟨A∣B⟩*
⟨B∣A+C⟩=⟨B∣A⟩+⟨B∣C⟩。
由此可见
|A⟩ 的长度是 |A⟩ 与其自身内积的平方根，即
|A|=
√
⟨A∣A⟩
和
|A⟩ 和 |B⟩ 相互垂直或正交，当且仅当 ⟨A∣B⟩=0。
向量空间是在加法和常数乘法下封闭的向量集合，内积空间是定义了向量乘法运算的向量空间，并且该空间的维数是非零的最大数量，它包含的相互正交的向量。
N 维向量空间中长度为 1 的 N 个相互正交向量的任何集合构成该空间的正交基。令 |A1⟩,…,|AN⟩ 为这样的单位向量的集合。那么空间中的每个向量都可以表示为以下形式的和：
|B⟩=b1|A1⟩+b2|A2⟩+…+bN|AN⟩,
其中bi=⟨B∣Ai⟩。这里的 bi 被称为 A 基下的 B 展开系数。[5]
请注意：
对于给定空间中的所有向量 A、B 和 C，
⟨A∣B+C⟩=⟨A∣B⟩+⟨A∣C⟩
对于任何向量 M 和 Q，以 A 基表示，
|M⟩+|Q⟩=
氮
Σ
我=1
(mi+qi)|艾⟩,
和
⟨M∣Q⟩=
氮
Σ
我=1
米
*
我
气
还有另一种编写向量的方法，即将它们的展开系数（相对于给定的基）写在一列中，如下所示：
|Q⟩=[
q1
q2
]
其中 qi=⟨Q∣Ai⟩ 且 Ai 是所选的基向量。
当我们处理无限维的向量空间时，由于我们无法写出挑选向量所需的整列展开系数，因为它必须无限长，所以我们写下函数（称为“波”） Q 的函数'，通常表示 ψ(i))，其将这些系数作为值。我们写下，即函数：
ψ(i)=qi=⟨Q∣Ai⟩
给定向量空间中的任何向量以及向量空间的任何基，我们可以获得该基中向量的波函数；给定一个向量的波函数，在特定的基上，我们可以构造出它的波函数的向量。由于事实证明向量上的大多数重要运算对应于其波函数的简单代数运算，因此这是表示状态向量的常用方法。
当一对物理系统相互作用时，它们形成一个复合系统，并且，在量子力学中和在经典力学中一样，存在一条从复合系统的组成部分构造复合系统的状态空间的规则，这条规则告诉我们如何从状态空间中分别获得 A 和 B 的 HA 和 HB，该对的状态空间（称为 HA 和 HB 的“张量积”，写作 HA⊗HB）。该规则有两点很重要：首先，只要 HA 和 HB 是希尔伯特空间，HA⊗HB 也是希尔伯特空间，其次，关于 HA⊗HB 与 HA 和 HB 的关系方式存在一些事实，这些事实对复杂系统之间的关系产生令人惊讶的影响及其零件。特别是，事实证明，复合系统的状态并不是由其组件的状态唯一定义的。这意味着，或者至少看起来意味着，根据量子力学，关于复合系统的事实（而不仅仅是关于其空间配置的事实）并不伴随于关于其组件的事实；这意味着关于系统整体的事实并不伴随着关于系统各部分以及这些部分在空间中排列方式的事实。该理论这一特征的重要性怎么强调都不为过。它以某种方式与大多数最困难的问题有关。
更详细一点：如果 {v
一个
我
} 是 HA 和 {u
乙
j
} 是 HB 的正交基，则对的集合 (v
一个
我
,你
乙
j
) 被用来形成张量积空间 HA⊗HB 的标准正交基。符号 v
一个
我
⊗u
乙
j
用于对 (v
一个
我
,你
乙
j
），HA⊗HB 的内积定义为：[6]
⟨v
一个
我
⊗u
乙
米
∣v
一个
j
⊗u
乙
n
⟩=⟨v
一个
我
∣v
一个
j
⟩⟨u
乙
米
∣u
乙
n
⟩
这种构造的结果是，尽管 HA⊗HB 中的每个向量都是可以以 vA⊗uB 形式表示的向量的线性和，但并非空间中的每个向量本身都可以以该形式表示，并且事实证明：
任何复合状态都唯一地定义其组件的状态。
如果 A 和 B 的状态是纯的（即分别由向量 vA 和 uB 表示），则 (A+B) 的状态是纯的并由 vA⊗uB 表示，并且
如果 (A+B) 的状态是纯的并且可以用 vA⊗uB 的形式表示，则 A 和 B 的状态是纯的，但是
如果 A 和 B 的状态不是纯状态，即，如果它们是混合状态（这些状态在下面定义），则它们不唯一定义 (A+B) 的状态；特别是，它可能是无法以 vA⊗uB 形式表达的纯状态。
2.2 运营商
运算符 O 是向量空间到其自身的映射；它将空间中的任何向量 |B⟩ 转移到同样在该空间中的另一个向量 |B′⟩ 上； O|B⟩=|B′⟩。线性运算符是具有以下属性的运算符：
O(|A⟩+|B⟩)=O|A⟩+O|B⟩，并且
O(c|A⟩)=c(O|A⟩)。
正如 N 维空间中的任何向量都可以由 N 个数字的列表示一样，相对于空间基的选择，空间上的任何线性算子都可以用 N2 个数字以列表示法表示：
O=[
O11 O12
O21 O22
]
其中 Oij=⟨Ai∣O∣Aj⟩ 和 AN 是空间的基向量。线性算子 O 对向量 B 的影响由下式给出
O|B⟩ =[
O11 O12
O21 O22
]×[
b1
b2
]
=[
(O11b1+O12b2)
(O21b1+O22b2)
]
=(O11b1+O12b2)|A1⟩+(O21b1+O22b2|A2⟩
=|B′⟩
在我们可以说出什么是希尔伯特空间之前，还有两个定义，然后我们可以转向量子力学。 |B⟩ 是 O 的特征向量，特征值为 a，当且仅当 O|B⟩=a|B⟩。不同的算子可以有不同的特征向量，但是特征向量/算子关系仅取决于所讨论的算子和向量，而不取决于它们表达的特定基础；也就是说，特征向量/算子关系在基变化的情况下是不变的。埃尔米特算子是一种具有以下性质的算子：存在由其特征向量组成的正交基，并且这些特征值都是实数。
最后，希尔伯特空间是一个向量空间，在该向量空间上定义了内积，并且该向量空间是完备的，即该空间中的任何向量的柯西序列都收敛到该空间中的向量。所有有限维内积空间都是完备的，我将仅限于这些。无限的情况涉及到一些在此阶段尚未有效地进入的复杂情况。
3. 量子力学
量子力学的四个基本原理是：
(3.1)
物理状态。每个物理系统都与一个希尔伯特空间相关联，空间中的每个单位向量对应于系统的一个可能的纯状态，而每个可能的纯状态对应于空间中的某个向量。 [7]
(3.2)
物理量。与系统相关的希尔伯特空间中的埃尔米特算子表示物理量，它们的特征值表示这些量的测量的可能结果。
有一个称为哈密顿算子的算子在量子理论中起着特殊的作用，因为系统的动力学可以通过跟踪其演化来方便地表述。哈密顿量——写作 H，或
^
H
– 代表系统的总能量。它的特征值是在总能量测量中可能获得的结果。它是通过对系统组件的动能和势能求和得出的。
(3.3)
作品。与复杂系统相关的希尔伯特空间是与构成复杂系统的简单系统（在标准的非相对论理论中：单个粒子）相关的张量乘积。
(3.4)
动力学。
一个。
类型 1 的上下文：给定系统在 t 时的状态以及它所受到的力和约束，有一个方程“薛定谔方程”，它给出了任何其他时间的状态 U|vt⟩→|vt′ ⟩.[8]对于我们的目的来说，U 的重要属性是它是确定性的，也就是说，它将系统在某一时刻的状态转变为在任何其他时刻的唯一状态，它是酉的，这意味着它是系统的自同构。它所作用的希尔伯特空间（即该空间到其自身的映射，保留线性空间结构和内积），并且它是线性的，也就是说，如果它将状态|A⟩带到状态上|A′⟩，并将状态 |B⟩ 转移到状态 |B′⟩，然后它将任何形式为 α|A⟩+β|B⟩ 的状态转移到状态 α|A′⟩+β|B ′⟩。
