阿奇塔斯（三）
Archytas的解决方案被正确地被称为“所有[解决方案]中最杰出的''和“三维中的大胆结构”（Heath 1921，246）；穆勒称其为“空间想象力的巡回赛”（1997，312n。23）。我们归功于Archytas的解决方案对Eutocius的保存。Eutocius在公元6世纪，他在Sphere和圆柱体上对第二本Archimedes的评论收集了十一条解决方案。 Eutocius的Archytas解决方案的来源最终是亚里士多德的学生Eudemus，他在公元前四世纪后期写了几何历史。该解决方案是复杂的，在此处不可能逐步通过它（有关解决方案的详细处理，请参见Huffman 2005，342–401）。 Archytas通过构造一系列类似的三角形（见下面的图1），然后表明侧面是成比例的，以便AM：AI :: AI：AI：AK :: AK :: AK：AD，AD等于原始的侧面立方体（G）和广告是两次。因此，立方体在AM上的体积的两倍，应在AI上构建。真正的困难在于构建四个类似的三角形，其中原始立方体的侧面的给定长度是相似三角形中两侧的两倍的长度。这些三角形构建点K的关键点被确定为两个旋转平面图的相交。第一个数字是一个半圆形，它垂直于圆形ABDZ的平面，并从直径AED上开始，并且剩余的固定点旋转到位置AKD。第二个是三角形APD，它从圆圈ABDZ的平面上旋转到位置ALD。当这些数字旋转时，它会在半轮流的表面上找到一条线，该线垂直于ABDZ的平面，并以ABD为基础。构造的大胆和想象在于，在半微粒机表面旋转半圆形绘制的线的点K处，并通过同一表面上的旋转三角形绘制的线。我们根本不知道是什么导致Archytas产生这种惊人的空间想象力，以便以适当的比例构建两侧的三角形。对于最近尝试将Archytas解决方案放置在他那个时代的数学中，并使其变得不那么“奇迹”的尝试，请参见Menn 2015。
数字
数字
图1
在后来的传统中，据报道，柏拉图批评了Archytas的解决方案，以吸引“使用仪器和机械的构造”（Plutarch，Table Talk Talk VIII 2.1 [718e]；Marc。XIV5-6）。柏拉图认为，几何学和其他数学的价值依赖于他们将灵魂从明智的领域转变为明智的领域的能力。几何交易的立方体不是物理立方体，甚至不是立方体的图形，而是适合立方体定义但不是有意义的对象的可理解立方体。通过采用“需要许多常见手工艺”的物理仪器，并实际上是构建机器来确定这两种平均比例，Archytas不是专注于可理解的世界，而是放在物理世界上，从而破坏了几何的价值。柏拉图与Archytas的争吵是一个迷人的故事，但是很难与Archytas的实际解决方案和解，正如我们所看到的那样，这对任何乐器或机器都没有吸引力。这场争吵的故事是在公元一世纪首次在普鲁塔克（Plutarch）中报道的，也很难与我们最早的《德里恩问题故事》（Eratosthenes）的故事来调和。埃拉托森（Eratosthenes）本人发明了一种工具来确定平均比例的梅索拉布（Mesolab）（“卑鄙的getter”），他讲述了delian问题的故事，以便强调，包括先前的解决方案，包括Archytas的解决方案，是几何示威的形式，是几何示范的形式。不能用于实际目的。他专门将Archytas的解决方案标记为Dysmêchana，“几乎没有机械。”一些学者试图通过重点关注其不同的文学目标来调和普鲁塔克和伊拉特森的版本（Knorr 1986，22; van der Waerden 1963，161; Wolfer 1954，12 ff。; Sachs 1917，150）;一些人认为，由于运动涉及运动，因此半圆形和Archytas溶液中三角形的旋转可能被视为机械性（Knorr 1986，22）。然而，可能是，普鲁塔克（Plutarch）关于在几何学中使用机械设备的柏拉图和Archytas之间发生争吵的故事是后来传统的发明（Riginos 1976，146; Zhmud; Zhmud 1998，217），也许是一种基础关于力学科学的神话，这是一个神话，它解释了两个哲学家之间争吵的哲学分离哲学。在共和国，柏拉图批评他当时的扎实的几何形状，但他的批评没有提及使用乐器的使用。相反，他的批评着重于将固体几何形状与几何和天文学一起发展成连贯的纪律（528B-D）。对稳固的几何形状的这种忽视是归因于希腊城市国家未能兑现这些艰难研究，缺乏组织研究的董事以及该领域现任专家的傲慢，他们不会屈服于这样的导演。由于Archytas对立方体的重复表明他是当时领先的扎实几何学之一，因此很难避免结论，即柏拉图将他视为傲慢的专家之一，他们专注于解决迷人的问题，但未能产生一个固体几何形状的一致学科。由于Archytas是Tarentum的主要政治人物，因此Plato也有可能批评他没有使Tarentum成为尊敬的坚实几何形状。
Brisson（2013）对证据采取了怀疑的立场，并得出结论，Archytas从未解决过该立方体重复的问题。他认为，如果一个人在当时存在一个问题，柏拉图会提到解决问题的解决方案，而归因于Archytas的解决方案的数学对于他那个时代的人来说是不可能的，因为它采用了圆锥形部分，直到三世纪才开发出来（2013：220–1）。但是，尽管柏拉图确实批评了当时的刻板计（扎实的几何形状）的状态，但他也肯定有人在研究它，他们的某些结果具有魅力和美丽（众议员528C-D）。没有理由将Archytas的重复无法包括在这些结果中。此外，Archytas解决方案中使用的数学绝不依赖于圆锥形部分，而依赖于Euclid元素中发现的数学书籍1、3、4、6和11，依赖于四世纪的几何形状（Heath）活跃（Heath） 1921年，Knorr 1986，Mueller 1997和Menn 2015都认为该数学适合Archytas）。 Menaechmus在Archytas之后生活了两代人，他是第一个使用锥形部分解决该问题的人（参见Menn 2015：415–6）。布里森必须违背第四世纪Eudemus知道Archytas解决方案的明确传统，并假设该解决方案是由编译器在后一种传统中开发的，但是令人难以置信的是，这样的编译器可以发展出这种编译器的成熟数学解决方案，如果他是如此出色的数学家，他会将其归因于Archytas。
2.2音乐和数学
早期希腊科学的最令人震惊的发现之一是，音乐的基本间隔，八度，第四和第五，对应于弦乐长度的整数比率。因此，如果我们拔出一串长度x，然后绘制了长度为2x的字符串，我们将听到两种声音之间八度的间隔。如果两个字符串长度以4：3的比率为4：3，我们将听到第四个长度，如果比率为3：2，我们将听到第五次。这一发现是，音乐声的现象受整数比率支配，一定在毕达哥拉斯的概念中发挥了核心作用，首先是由菲洛劳斯（Philolaus）表达的，所有事物都是通过数字知道的（dk 44 b4）。谐波理论的下一步是用数学比例来描述整个八度长度尺度。最早在Philolaus fr中发现了这种量表的描述。 B6. Philolaus认识到，如果我们从任何给定的音符中提高第四个间隔，然后上升第五个间隔，则最终音符将比第一个音符高出八度。因此，八度由第四和第五组组成。用数学术语，通过乘以术语并因此产生八度（3：2×4：3 = 12：6 = 2：1），添加了控制第五（3：2）和第四（4：3）的比率。 。音符之间的间隔是起始音符的第四位，而五分之一的音符被认为是比例尺的基本单位，整个音调与9：8的比率相对应（比率的扣除为通过将术语分开或交叉乘法来执行：3：2 /4：3 = 9：8）。因此，第五次被视为第四和整个音调，八度被视为两个四分之二以及整个音调。第四个由两个全音调组成，其余数为256：243（4：3 /9：8 = 32：27 /9：8 = 256：243）。菲洛斯的量表因此由以下间隔组成：9：8，9：8，256：243 [这三个间隔带我们第四个]，9：8，9：8，9：8，9：8，9：8，256：243 [这四个间隔构成了第五个，并从我们的凝视音符中完成了八度。这个量表被称为毕达哥拉斯多子人，是柏拉图在蒂莫斯（Timaeus）（36a-b）建设中所采用的规模。
Archytas将谐波理论提高到了一个全新的理论和数学成熟水平。托勒密（Ptolemy）在公元第二世纪的文章中表明，Archytas“从事音乐的研究大部分毕达哥拉斯人”（A16）。首先，Archytas对音调提供了一般的解释，认为声音的音高取决于声音传播和旅行的速度（B1）。因此，如果棍子迅速来回挥舞，它将产生一种声音，该声音在空气中迅速传播，这将被视为比摇杆产生的声音更高的声音所感知的声音。 Archytas与速度相关联是正确的，但他误解了速度的作用。音高不取决于声音到达我们的速度，而取决于在给定时间段内影响频率的频率。振动更快的弦会产生更高音调的声音，但是如果介质相同，则所有声音，无论音高如何，以相等的速度传播。尽管Archytas对音高的描述最终是不正确的，但它非常有影响力。它是由柏拉图和亚里士多德均取代并改编的，并且在整个古代中仍然是主要的理论（Barker 1989，41n。47; Barker 2014：187）。其次，Archytas将新的数学严谨性引入了毕达哥拉斯谐波。从整数比率方面，音乐分析的重要结果之一是认识到不可能将基本的音乐间隔分为一半。八度不分为两个相等的半部分，而是分为第四和第五，第四个不分为两个相等的半部分，而是分为两个整体和剩余的两半。整个音调不能分为两个相等的半音调。另一方面，可以将双重八度分配一半。从数学上讲，这可以通过认识到可以在对应于双重八度的比率的术语之间插入平均比例的平均值（4：1），从而可以插入4：2 :: 2 :: 2 :: 2 :: 2 :: 2：1。分为两个相等的部分，每个比率为2：1。控制基本音乐间隔的比率（2：1，4：3，3，3：2，9：8）属于一种被称为超级比率的比率 - 大致说明形式的比率（n + 1）：n。 Archytas通过提供严格的证据表明，超级比例的数字之间没有比例的均值（A19），因此做出了至关重要的贡献，因此基本的音乐间隔不能分为一半。后来，Archytas的证明被接管并在归属于Euclid的Sectio Canonis中进行了稍作修改（Prop。3；参见Barker 1989，195）。关于Archytas的证明，请参见Huffman 2005：451–70 and Barker 2007：303-5。
Archytas对音乐理论的最终贡献与规模的结构有关（对于以下内容的详细说明，请参见Huffman 2005：402-25和Barker 2007：292–302）。希腊人使用了许多不同的尺度，这些尺度是通过构建第四或四角形的方式来区分的。这些量表分为三种主要类型或属。一个属被称为唱。一个例子是上述毕达哥拉斯多子人，该狄子是在四角洲建造的，间隔为9：8、9：8和256：243，并由Philolaus和Plato使用。毫无疑问，Archytas知道这种持续性量表，但是他自己的Diatonic Tetrachord有些不同，由间隔9：8，8：8：8：8：8：8：8：7和28：27。启动和色彩。 Archytas的Enharmonic Tetrachord由间隔5：4、36：35和28：27组成，他的彩色四分法是32：27、243：224和28：27。在每个属中。首先，为什么Archytas拒绝Philolaus和Plato使用的毕达哥拉斯式挥发性？其次，托勒密（Ptolemy）是我们Archytas的Tetrachords（A16）的主要来源，他认为Archytas被作为一种原则，即所有一致的间隔都应对应于Super Propticular Batios。 Archytas的挥发性和雌雄同体四角形的比率确实是超截骨，但是他的色四角曲琴中的两个比率不是超级特征（32：27和243：224）。为什么这些比率也不是超级题？最后，柏拉图批评共和国的毕达哥拉斯谐调在听到的和声中寻求数字，而不是逐渐解决广义问题（531c）。鉴于Archytas的Tetrachords，这种批评是否有意义？温宁顿 - 吉拉姆（1932）和巴克（1989，46-52）的作品中，答案的基础是所有这些问题的基础。至关重要的一点是，Archytas对这三个属中每个属中的四角形的描述都可以证明与他那一天的音乐实践相对应。托勒密（Ptolemy）的批评错过了这一点，因为他在托勒密（Ptolemy）之前大约500年（温宁顿·吉拉姆（Winnington-Ingram）1932，207）对音乐习惯的无知。 Archytas正在提供实际使用的量表的数学描述。尽管数学考虑确实发挥了作用（Barker 2007：295–302），但他部分通过观察音乐家调整乐器的方式来获得数字（Barker 1989，50-51）。他没有遵循毕达哥拉斯的挥舞式衡量标尺，因为它与实际使用的任何量表没有对应，尽管它确实与一种调谐方法相对应。 Archytas色四角洲的异常数字确实对应于Archytas当天使用的色量表。托勒密提出遵守所有一致间隔都应具有超截面比的原则，这是错误的（Huffman 2005：422-3），尽管Barker建议他可能遵循不同但相关的原则（2007：301）。因此，Archytas对当时的音乐进行了精彩的分析，但正是他对实际音乐实践的关注引起了柏拉图的愤怒。柏拉图不希望他专注于他听到的关于他的音乐（“听到和声”），而是要登上有关哪些数字和和谐的相当抽象的问题。柏拉图很可能仅根据数学考虑来欢迎和一致性的原则，例如，只有超级比率是一致的原则，但是Archytas想解释他实际听到的音乐的数量。这里有一个重要的形而上学问题。除了明智的世界外，柏拉图呼吁对数字进行研究，而像他之前的毕达哥拉斯人一样，Archytas设想在一个明智的世界和可理解的世界之间没有分歧，并且正在寻找控制明智的事物的数字。有关Archytas作为柏拉图在共和国投诉的目标的讨论，请参见Huffman 2005：423-5和Barker 2014：192-3。
2.3评估Archytas作为数学家
既倾向于高估，也倾向于低估了数学家的成就。范德沃登（Van der Waerden）甚至加入了Archytas的成就，既是欧几里得的元素的第七本书，又增加了关于音乐数学的论文，被称为Sectio Canonis，这在古代传统中归因于Euclid（1962年，152-5）。尽管后来的学者（例如Knorr 1975：244）重复了这些断言，但它们部分基于对Archytas风格的非常主观的分析。 Archytas影响了Sectio Canonis，因为命题3是基于Archytas（A19）的证明，但是该论文不能由Archytas进行，因为它的音调理论及其对Diatonic和Enharmonic Tetrachords的说明与Archytas的倾向和雌雄同体不同。另一方面，一些学者对Archytas作为数学家的才能感到怀疑，认为他的某些作品看起来像“仅仅算术”和“数学神秘化”（Burkert 1972a，386; Mueller 1997，289）。这种判断在很大程度上取决于被错误地解释为呈现Archytas自己的观点的文本（A17），而实际上，它提出了Archytas对他的前任的报告（Huffman 2005：428-37; Barker 2007：193-5） 。立方体和Archytas对音乐数学的贡献的重复（Barker 2007：287称他为“数学谐波早期历史上的英勇人物”）表明，毫无疑问，他是领先的数学家之一公元前四世纪的第一部分。这无疑是古代的判断。在他的几何历史中，Eudemus将Archytas与Leodamas和Theaetetus一起确定为柏拉图一代中最杰出的数学家（A6 = Proclus，在Eucl。，Prol。II66，14）。 Netz（2014）最近辩称，有两个网络占古希腊数学的大部分进展。后来使用的是阿基米德（Archimedes）作为范式图，而较早的人则使用了Archytas。 Netz建议我们应该将伯特兰·罗素（Bertrand Russell）对毕达哥拉斯（Pythagoras）的描述作为“有史以来最重要的人之一”的描述，而不是因为他的数学天才以及他在三个不同的群体中的关键位置，而是因为他的数学上的位置： ，（2）希腊数学家和（3）与柏拉图进行对话的哲学家（2014：181-2）。
