自指与悖论（三）

将知识作为一阶逻辑中的谓词形式化被称为知识的句法处理。另外，可以选择在合适的模态逻辑中正式将知识形式化为模态运算符。这被称为知识的语义处理（请参阅《认识论逻辑的条目》）。在知识的语义处理中，人们通常会避免自我参考的问题，因此不一致，但这是以形式主义的表现力为代价的（通过命题模态逻辑避免自我参考的问题，不承认任何等效的东西到构造自指的公式的对角线引理）。实际上，上面提到的常规句子是通过将一阶模态逻辑转换为谓词逻辑的准确实现的，因此只有在常规句子上实例化原理是遵循知识的语法处理的一种方法，但仍然可以通过限制一致性来确保一致性它在语义处理中具有表现力的知识操作员。

2.4有关可预订性和可计算性的后果

塔斯基定理证明中给出的核心论点与戈德尔第一个不完整定理中的核心论点密切相关（Gödel，1931年）。可以给出以下配方的Gödel定理。

戈德尔的第一个不完整定理。

如果一阶算术是ω的一致性，则不完整。

一个理论称为ω一致性，如果每个公式ϕ（x）包含x作为其唯一的自由变量：如果每个自然数字n可证明x（n）（含义：€ϕ（n）） ⊬∃x（x）（含义：∃x（x）无法证明）。 ω的一致性比普通的一致性更强，因此任何ω的理论也将是一致的。如果理论包含一个既不能被证明也不反驳的公式，则是不完整的。

戈德尔第一个不完整定理的证明草图。假设一阶算术既是ω的一致性又完整。我们需要证明这导致了矛盾。 Gödel在正式的算术满足中构建了一个公式（用于“ beweis”），用于所有ϕ和所有n，

(1)

⊢BEW（n，⟨d）iff n是ϕ证明的Gödel代码。

假设该理论是ω的一致性和完整的，我们可以证明对所有句子ϕ，

(2)

⊢∃XBEW（x，⟨ϕ⟩）iff⊢ϕ。

（2）的证明是这样运行的。首先，我们证明了从左到右的含义。如果⊢∃xbew（x，⟨ϕ⟩），则有一些n，因此通过ω-符合性，⊬bew（n，⟨ϕ⟩）。通过完整性，我们为此n获得⊢Bew（n，⟨d）。在（1）上方，我们得到n表示ϕ的证明。也就是说，ϕ是可证明的，所以我们有⊢ϕ。为了证明从右到左的含义，请注意，如果⊢ϕ必须有一个n，以使⊢bew（n，⟨ϕ⟩）通过（1）。因此，我们根据需要获得⊢∃XBEW（x，⟨d）。这是（2）的证明。现在，在完整的理论中，我们有（2），我们还必须有：

(3)

⊢∃xbew（x，⟨d）↔ϕ，用于所有句子ϕ。

如果我们让∃xbew（x，⟨ϕ⟩）缩写为t⟨ϕ⟩，则（3）变为：

⊢T⟨ϕ⟩↔ϕ，对于所有句子ϕ。

这是T-Schema！因此，如果我们假设一阶算术是ω的一致性并完成的，那么架构t在其中可以解释。现在，塔斯基（Tarski）的定理表明，没有这样一致的理论，因此我们有矛盾。 ◻

在上面的证明中，我们将Gödel的不完整定理减少到了Tarski定理的应用，以便显示两者之间的紧密链接（此版本的证明是由Bolander，2002年引起的）。戈德尔很清楚这种联系，实际上，戈德尔似乎在塔斯基本人之前就证明了塔斯基的定理（Feferman，1984）。戈德尔的定理可以解释为证​​明纯正式程序可以实现的局限性。它说，如果一阶算术是ω的一致性（认为是），那么必须有算术句子，这些句子既不能被一阶算术的正式程序证明也不能被证明。最初，人们可能会期望通过包含其他公理可以解决这种限制，但是戈德尔表明，当一阶算术使用任意有限的公理模式（或更一般而言，更一般而言）时，不完整的结果仍然存在。一组公理）。因此，我们获得了一个普遍的限制结果，即不能存在一个正式的证明程序，通过该程序可以证明任何给定的算术句子可以保留或不举行。有关Gödel的不完整定理的更多详细信息，请参见KurtGödel上的条目。

Gödel定理的局限性结果与另一个被称为停止问题的不可证明性的限制结果密切相关。这是指出可以计算的局限性。我们将在以下内容中介绍此结果。结果是基于图灵机的概念，Turing Machine是在具有无限内存的计算机上运行的计算机程序的通用模型。因此，可以将任何计算机上运行的任何程序都视为图灵机（有关更多详细信息，请参见图灵机上的条目）。运行图灵机时，它将在有限数量的计算步骤后终止，或者将继续运行。如果它在有限数量的计算步骤后终止，我们说它停止了。停止问题是找到可以决定其他图灵机是否停止的图灵机的问题。我们说，如果以下情况存在，则一台Turing Machine H会决定停止问题：

h以输入为一对（⟨a⟩，x），由图灵机A的Gödel代码⟨a⟩和任意字符串X.H组成，如果给出输入X时Turing Machine停止了答案，则返回答案“是”，并且“不，否则。

因此，如果Turing Machine H确定停止问题，我们可以使用它来确定任意的Turing Machine A和任意输入X是否会停止输入X。由于图灵（1937），停止问题的不可证明性是以下结果，表明没有这种机器可以存在：

定理（停止问题的不确定性）。

没有图灵机可以决定停止问题。

证明。假设存在Turing Machine H确定停止问题。我们需要证明这一假设会导致矛盾。证明模仿了格林的悖论。如果A不停止输入⟨A⟩，我们将Turing Machine称为异形，也就是说，如果A在赋予其自己的Gödel代码作为输入时不会停止。使用H，我们可以在且仅当它被赋予异质图灵机的Gödel代码作为输入时构建一个停止的Turing Machine G。 G工作如下：

G将Turing Machine A的Gödel代码作为输入。然后在输入上运行h（⟨a⟩，⟨a⟩）。如果输入h（⟨a⟩，⟨a⟩）返回“否”，则g将停止。另一方面，如果输入（⟨a⟩，⟨a⟩）返回“是”，则G将G返回无限环（即，被迫永不停止）。

类似于格林的悖论，我们现在可以询问G是否是一台异形图灵机。这导致了以下等价序列：

G是异种

⇔G不会停止输入⟨G⟩（由异，异常）

⇔H在输入（⟨G⟩，⟨G⟩）上返回“ no”（h，由于H决定停止概率。）

⇔G停止输入⟨G⟩（通过g的构造）

⇔G不是异形（由异形）

这给出了所需的矛盾。 ◻

从上面的两个定理中，我们可以看到，在可证明性和可计算性的领域，自我参考的悖论变成了限制结果：可以证明什么和可以计算的内容是有限制的。这实际上与语义，集合理论和认识论领域中发生的事情非常相似：自我参考的悖论变成定理，表明我们可以始终如一地假设某种属性在哪些属性上具有（tarski的定理），（tarski的定理），具有具有（幼稚集理论的不一致）的集合理论，而知识谓词具有（蒙塔古定理）。很难接受这些限制结果，因为它们大多数与我们的直觉和期望相抵触。自我参考在所有人中所扮演的核心角色可能会使他们更加难以接受，至少肯定会使他们更加困惑。但是，我们被迫接受它们，并被迫接受这样一个事实，即在这些领域，我们无法（否则）合理地要求我们的一切。

3。解决悖论

本节介绍了如何解决或避开悖论的方法。要解决或避免悖论，必须削弱导致矛盾的一些假设。很难选择要削弱哪些假设，因为悖论基础的每个明确指定的假设似乎是“显然是正确的” - 否则它将不符合悖论的资格。在下面，我们将研究解决悖论的最有影响力的方法。

到目前为止，已经根据悖论的类型进行了构建，即单独处理语义，设定理论和认知悖论。但是，也已经证明，这三种类型的悖论在基础结构上是相似的，并且有人认为，对一个悖论的解决方案应该是所有人的解决方案（统一解决方案的原理）。因此，在下文中，将不是根据悖论的类型而不是根据解决方案的类型来构造介绍。以下考虑的每种类型的解决方案都可以应用于自我参考的任何悖论中，尽管在大多数情况下，所涉及的结构最初是在仅考虑一种悖论的一种类型的悖论。

3.1建筑明确的层次结构

构建层次结构是一种规避固定理论，语义和认知悖论的方法。罗素（Russell）最初解决了他的悖论（以及塔斯基（Tarski）对他不确定真相问题的原始解决方案），这是建立等级制度的。就罗素而言，这导致了类型理论。在塔斯基（Tarski）的情况下，这导致了现在被称为塔斯基（Tarski）的语言层次结构。在这两种情况下，这个想法都是将话语宇宙（集合，句子）分为级别。在类型理论中，这些级别称为类型。类型理论的基本思想是介绍以下约束，即任何一组给定类型的集合可能只包含较低类型的元素（即，可能仅包含分层中较低的集合）。这有效地阻止了罗素的悖论，因为没有任何集合可以成为自己的成员。

在Tar​​ski的情况下，分层是通过以下方式获得的。假设一个人想为语言L0配备真相谓词。从Tarski的定理（第2.1节）来看，众所周知，这个真理谓词不能成为语言L0本身的一部分，至少只要我们希望真相谓词满足架构T。而不是一个人建立语言的层次结构，L0，l1 ，l2，…，每种语言li+1都有一个真实的谓词ti+1，仅适用于lj，j≤i的句子。在此层次结构中，L0称为对象语言，对于所有I，Li+1称为Li的元语言。该层次结构有效地阻止了骗子悖论，因为现在句子只能表达较低级别的句子的真相或不正确，因此不能形成表达自己的不真实的骗子之类的句子。

罗素的类型理论可以被视为解决罗素悖论的解决方案，因为类型理论演示了如何“修复”设置理论，使悖论消失了。同样，塔斯基的层次结构也可以被视为骗子悖论的解决方案。这是罗素和塔斯基解决方案的基础的分层想法。要注意的是，罗素的悖论和骗子悖论至关重要地取决于循环概念（自我成员和自我参考）。通过进行一个分层，其中对象只能包含或参考较低级别的对象，循环度就会消失。在认知悖论的情况下，可以通过在一阶知识（有关外部世界的知识），二阶知识（有关一阶知识的知识），三阶知识（三阶知识（有关外部世界的知识）之间做出明确的区别来获得类似的分层（关于二阶知识的知识），依此类推。这种分层实际上是在知识的语义处理中免费出现的，知识被形式化为模态操作员。

建筑明确的层次结构足以避免循环，因此足以阻止自我参考的标准悖论。但是，也存在诸如Yablo之类的悖论，这些悖论不依赖循环性和自我参考。这样的悖论也可以通过层次结构方法阻止，但是有必要进一步要求层次结构得到充分的基础，即具有最低水平。否则，仍然可以制定非曲折的悖论。例如，Yablo的悖论可以通过语言下降的层次结构形式化。语言的下降层次结构由语言l0，l0，l -1，l -2，…，每种语言l -i都有一个真理谓词，仅适用于语言l -j，j＞i的句子。同样，可以在允许负类型的类型理论中提出的非曲折性理论悖论。得出的结论是，宇宙的分层本身不足以避免所有悖论 - 分层也必须是有根据的。

今天，大多数人认为建立一个明确的（有充分依据的）层次结构来解决悖论是一种过于激烈和严厉的方法。这些层次结构引入了一些“平坦宇宙”中不存在的复杂技术细节，尽管悖论确实消失了，但所有非悖论的自我参照现象也消失了。 Kripke（1975）给出了以下取自普通话语的说明性例子。令 N 为尼克松的以下陈述：

(N)

琼斯关于水门事件的所有言论都是真实的，

令 J 为琼斯做出的以下陈述，

（J）

尼克松关于水门事件的大部分言论都是错误的。

在塔尔斯基语言层次结构中，句子 N 必须处于比琼斯所有话语更高的级别，相反，句子 J 必须处于比尼克松所有话语更高的级别。由于 N 是尼克松的言论，而 J 是琼斯的言论，因此 N 必须比 J 处于更高的级别，而 J 必须比 N 处于更高的水平。这显然是不可能的，因此在像塔斯基安这样的层次结构中，这些句子甚至无法表述。句子N和J确实都是间接自指的，因为N引用了包括J的总体，而J引用了包括N的总体。然而，在大多数情况下，N和J是无害的，并且不会产生悖论只有在特殊情况下才会产生悖论，即琼斯的所有言论（可能除了 J）都是正确的，而尼克松的言论恰好有一半是错误的，忽略 N。克里普克使用了 N 和 J 是这样的事实仅在某些特殊情况下作为反对完全排除制定 N 和 J 可能性的方法的论点存在问题。

反对层级方法的另一个论点是，明确的分层不是普通话语的一部分，因此将其引入正式环境中可能被认为是临时的，其唯一目的是规避悖论。在普通话语中没有明确的分层显然并不意味着不存在潜在的、隐含的分层，但至少它在我们的语法中没有明确表示。

上述论点是罗素和塔斯基的工作未被认为能为悖论提供最终解决方案的原因之一。已经提出了许多替代解决方案。例如，人们可能会尝试寻找隐式层次结构而不是显式层次结构。隐式层次结构是未明确反映在语言语法中的层次结构。在下一节中，我们将考虑通过这种隐式分层获得的悖论的一些解决方案。

3.2 构建隐式层次结构

塔斯基处理语义悖论的层次方法一直主导着该领域，直到 1975 年克里普克发表了他著名且极具影响力的论文《真理理论纲要》。这篇论文极大地塑造了后来的真理理论和语义悖论的方法。然而，应该指出的是，与 Kripke 非常相似的想法是由 Martin 和 Woodruff (1975) 同时独立开发的，而集合论环境中的并行方法是由 Gilmore (1974) 独立开发的。

3.2.1 克里普克的真理理论

克里普克的想法基于对塔斯基层次方法所涉及问题的分析。克里普克列出了一些反对语言层次结构的论点，其中每个句子都处于由其句法形式决定的固定级别。他提出了一种替代解决方案，该解决方案仍然使用具有级别的想法，但级别并未成为语法的显式部分。相反，这些级别成为真值谓词迭代构建的阶段。为了解释克里普克的构造，需要一些额外的技术机制。

在克里普克构造的每个阶段，真值谓词仅被部分定义，也就是说，它仅适用于该语言的某些句子。为了处理这种部分定义的谓词，采用了三值逻辑，即除了真值 true 和 false 之外还使用第三个值（未定义）进行操作的逻辑。第三个值通常表示为“u”或“⊥”（底部）。当部分定义的谓词应用于已定义谓词的术语之一时，它仅接收经典真值之一（真或假），否则它接收未定义的值。有几种不同的三值逻辑可用，它们处理第三个值的方式有所不同。这里只简单描述其中之一，称为克莱恩强三值逻辑。有关此逻辑和相关逻辑的更多详细信息可以在多值逻辑条目中找到。

在Kleene的强三值逻辑中，值⊥（未定义）可以解释为“尚未定义”。因此，人们可以将具有值 ⊥ 的公式视为实际上具有经典真值（真或假）的公式，但尚未确定。这种对未定义的解释反映在逻辑的真值表中，如下所示。上面的真值表用于析取，下面的真值表用于否定：

∨ 真 假 ⊥

真实真实真实真实

假真假⊥

⊥ 正确 ⊥ ⊥

Ø

真假

假真

⊥ ⊥

这些真值表完全定义了三值逻辑，因为 ∨ 和 Ø 被用来形成一组适当的连接词，并且存在量化和全称量化分别被视为无限析取和合取。

为了处理部分定义的真值谓词，有必要引入部分模型的概念。在一阶语言的部分模型中，每个 n 位谓词符号 P 由模型域上一对不相交的 n 位关系 (U,V) 来解释。 U 称为 P 的外延，V 称为其反外延。在模型中，P 对于 U 中的对象为 true，对于 V 中的对象为 false，否则未定义。这样，任何原子句子都会收到模型中真值 true、false 或 undefined 之一。通过使用 Kleene 强大的三值逻辑来评估连接词，非原子公式在模型中被赋予真值。

给定部分模型的定义，部分解释语言是一对 (L,M)，其中 L 是一阶语言，M 是 L 的部分模型。Kripke 递归地定义了一系列部分解释语言 L0,L1， L2,...，仅在对真值谓词 T 的解释上有所不同。第一种语言 L0 被视为任意语言，其中 T 的外延和反外延都是空集。因此，在 L0 中，真值谓词完全未定义。对于任何 α，语言 Lα+1 与 Lα 类似，只是 T 由扩展/反扩展对 (U,V) 解释，如下所示：

U 是 Lα 中句子 phi 的哥德尔码⟨phi⟩ 的集合。

V 是 Lα 中句子 phi false 的哥德尔码⟨phi⟩ 的集合。

这个定义立即给出了对于所有 α，

(4)

ψ 在 Lα⇔T⟨ψ⟩ 中为真（假），在 Lα+1 中为真（假）。

所构建的是部分解释语言的序列 L0,L1,L2,...，使得 T 在 Lα+1 中被解释为 Lα 的真值谓词。这就像塔斯基的语言层次结构一样，只不过这里不同语言及其真值谓词之间没有语法区别。

序列L0,L1,L2,…有一个重要的性质：对于每一个α，Lα+1中T的解释扩展了Lα中T的解释，即T的外延和反外延都增加（或停留）相同）从Lα移动到Lα+1时。这意味着可以通过让 T 的外延为 L0,L1,L2,… 中 T 的所有外延的并集来定义一种新的部分解释语言 Lω；反扩展也类似。因此，在 Lω 中，T 的解释扩展了 T 在所有先前语言中接受的解释。这提供了一种策略，用于继续将真值谓词迭代构造为超限：对于每个后继序数 α+1，从 Lα 定义 Lα+1，与上面的有限情况完全相同；对于每个极限序数 σ，以与定义 Lω 相同的方式从前面的语言 (Li)i<σ 定义 Lσ（有关序数及其在这种情况下的使用的详细说明，请参阅修正理论的条目的真理）。现在，一个简单的基数考虑表明，这种超限语言序列最终将稳定：存在一个序数 γ，使得 Lγ=Lγ+1。因此得到以下 (4) 的实例：

(5)

ψ 在 Lγ⇔T⟨ψ⟩ 中为真（假），在 Lγ 中为真（假）。

这表明 Lγ 实际上是一种包含自己的真值谓词的语言：任何句子 phi 都是真（假）当且仅当表达其真值的句子 T⟨phi⟩ 是真（假）。等价式（5）只不过是三值设置中 Tarski 模式 T 的语义模拟。 Lγ 语言的构建是 Kripke (1975) 的主要贡献之一。它表明，在三值逻辑设置中，语言实际上可以包含自己的真值谓词。很容易看出，第三个值（未定义）对于使事情正常进行至关重要：如果 Lγ 是一种完全解释的语言（即没有未定义句子的语言），那么 Lγ 将满足模式 T，通过 (5)然而，它立即与塔斯基的定理相矛盾，塔斯基的定理认为这样一种完全解释的语言可以存在。