自指与悖论（二）

鉴于不仅指称的循环结构可能导致悖论，而且某些类型的无充分根据的结构也可能导致悖论，进一步研究这些指称结构及其在表征悖论的必要和充分条件方面的潜力变得很有趣。这一工作由 Gaifman (1988, 1992, 2000) 发起，后来由 Cook (2004)、Walicki (2009) 等人继续开展。

大量关于自我指涉的新工作试图对指称结构承认悖论进行完整的图论表征，包括 Rabern 和 Macauley (2013)、Cook (2014) 以及 Dyrkolbotn 和 Walicki (2014)。完整的表征仍然是一个悬而未决的问题（Rabern、Rabern 和Macauley，2013），但似乎是一个相对广泛的猜想，即所有矛盾的参考图要么是循环的，要么包含类似 Yablo 的结构。该猜想已在无限图的某些子类上得到证实（Walicki，2019），但它是否适用于任意图仍然是一个悬而未决的问题。如果这个猜想确实正确，那就意味着从指称结构来看，所有的指称悖论要么是骗子式的，要么是亚布罗式的。类似 Yablo 的结构（图）的确切含义可以用几种不同但等效的方式来定义，包括： 1) 该图包含 Yablo 悖论的参考图 (ω,<)，作为有限未成年人（Beringer & Schindler，2017）； 2）该图包含一条射线（无限路径），其上有无限多个顶点，每个顶点都有无限多个到该射线上无限多个其他顶点的不相交路径（Walicki，2019）。

尽管雅布洛悖论所涉及的指称结构不包含任何循环（每个句子仅指序列中后面的句子），但该悖论是否是自指仍在讨论中（Cook，2014；Halbach和Zhang） ，2017）。 Yablo (1993) 本人认为它是非自我指涉的，而 Priest (1997) 则认为它是自我指涉的。 Butler（2017）声称，即使 Priest 是正确的，也会存在其他类似 Yablo 的悖论，这些悖论不是 Priest 意义上的自我指涉。在分析亚布洛悖论时，必须注意的是，它涉及无限的句子序列，其中每个句子都引用无限多个其他句子。为了在命题逻辑的设置中形式化它，因此有必要使用无限命题逻辑（参见无限逻辑条目）。 Yablo 序列的任何有限变体（其中每个句子仅引用序列中有限多个后面的句子）由于命题逻辑中的紧致性定理（序列中句子的每个有限子集都会导出一个很好的结果），因此必然是一致的（非悖论） -建立的参考关系，因此可以自下而上一致地为句子分配真值）。在有限一阶和二阶算术中，人们可以尝试通过一元谓词 S(x) 来形式化 Yablo 悖论，其中，对于每个自然数 i，S(i̲) 表示 Yablo 序列的第 i 个句子 Si 的形式化（其中 i̲ 是代表 i 的数字）。 Picollo (2013) 已经研究了如何以及是否可以以这种方式真实地表示 Yablo 悖论，以及它如何与底层逻辑的紧凑性相关。

亚布洛的悖论也激发了类似悖论的产生，这些悖论涉及除真理之外的其他领域中没有充分根据的、非循环的参考结构，例如： Başkent (2016) 提出的认知博弈论勃兰登堡-凯斯勒悖论的“Yabloesque”变体，Cieśliński 和 Urbaniak (2013) 提出的关于可证明性的变体，以及 Leach-Krouse (2014) 提出的哥德尔不完备性定理背景下的变体。

2. 为什么悖论很重要

在提出了一些自我参照的悖论并讨论了它们的一些潜在相似性之后，我们现在将讨论它们的重要性。悖论的重要性在于它表明我们对其所涉及的中心概念的理解存在缺陷或不足。就语义悖论而言，似乎是我们对基本语义概念的理解存在缺陷，例如真理（在说谎者悖论和格雷林悖论中）和可定义性（在贝里和理查德悖论中）。对于集合论悖论，这是我们对集合概念的理解。如果我们完全理解这些概念，我们应该能够处理它们而不会陷入矛盾。

为了说明这一点，请考虑芝诺关于阿喀琉斯和乌龟的经典悖论的案例（有关详细信息，请参阅芝诺悖论条目）。在这个悖论中，我们似乎能够证明，如果给予任意小的领先优势，乌龟可以赢得与快 10 倍的阿喀琉斯的比赛。芝诺用这个悖论作为反对运动可能性的论据。后来证明，这个悖论源于对无穷的不充分理解。更准确地说，它基于一个隐含的假设，即任何正实数的无限级数都必须具有无限和。后来无穷级数数学的发展表明这个假设是无效的，因此悖论就消失了。 Zeno论点作为悖论的最初接受是一种症状，即当时无穷大的概念还不够充分。在类比中，似乎是合理的，可以期望语义和设定理论悖论的存在是一种症状，即所涉及的语义和理论概念尚未充分理解。或者，至少，我们需要修改对“自然假设”的观点。罗素的悖论基于以下假设：数学对象上的任何谓词都确定一个由完全满足谓词的对象组成的集，而骗子悖论基于这样的假设，即一种语言可以包含自己的真理谓语。作为对悖论的反应，这些看似明智的假设已经修改，请参见下面的第3节。

另一个可能的答案是，我们对“矛盾”概念的理解是有缺陷的。涉及自我参考悖论的推理最终都伴随着一些矛盾，这句话是真实和错误的。我们认为这是不可能的，因此是悖论，但也许我们不必这样做？辩论主义是可能存在“真正的矛盾”的观点，这意味着句子并非不可能是真实和错误。如果采用了辩态主义的观点，那么自我参考的所有悖论都可以消散，而是成为某些“辩证法”的存在证明：句子既是真实和错误。 Priest（1987）是对辩论主义的强烈拥护者，并使用他的统一解决方案原则（请参阅上面的第1.4节）来捍卫拨号主义解决方案。有关更多信息，请参见Dialetheism和paraconsistent逻辑的条目。

目前，尚不同意解决自我参考悖论的解决方案。他们继续在语义和设定理论中构成基础问题。在为悖论提供令人满意的解决方案之前，不能为这些主题扎实的基础提出任何要求。问题在形式化语义（真理的概念）和设定理论方面浮出水面。如果对这些主题的直观，“天真”的理解形式化，那么不一致的系统会持续存在，因为这些系统将在这些系统中形式化。

2.1语义悖论的后果

骗子悖论是建立正式真理理论的重大障碍，因为它在这些潜在理论中产生了不一致。自我参考的大量研究集中于正式的真理理论和规避骗子悖论的方式。有两篇文章影响了正式的真理理论和骗子悖论的作品：阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski）的“正式语言中的真理概念”（1935年）和索尔·克里普克（Saul Kripke）的“真理理论的轮廓”（1975年） ）。下面我们首先介绍Tarski文章的一些想法和结果。 Kripke的文章在第3.2节中进行了讨论。

塔斯基（Tarski）提供了许多条件，正如他所说，对真理的任何适当定义都必须满足。这些条件的中心是现在最常被称为架构t（或t-Schema或judention t或tarski双方面）的中心：

ϕ↔T⟨ϕ⟩，用于所有句子ϕ。

这里是旨在表达真理的谓词，⟨ϕ⟩是句子的名称。将谓词t应用于名称⟨ϕ⟩给出了表示t⟨ϕ⟩的旨在表示“ ϕ是true”短语的旨在表示。架构t因此表明，对于每个句子ϕ，只有当句子“ ϕ是正确”时，ϕ才能保持。 T-Schema通常被视为正式理论中的一组句子。习惯使用一阶算术，即使用一组标准公理扩展的一阶谓语逻辑，例如PA（Peano Arithmetic）或Robinson'sQ。 - 算术的秩序形式化。在这种情况下，上面的⟨ϕ⟩表示Gödel代码ϕ的代码，而t⟨ϕ⟩表示t（⟨ϕ⟩）的简短。不熟悉Gödel编码的读者（也称为Gödel编号）可以将映射图视为公式的命名设备或引号，就像自然语言中的引文标记一样。通常使用的⟨ϕ的符号变体是⌜ϕ⌝和“ ϕ”。

塔斯基（Tarski）表明，骗子悖论在任何包含他的模式的形式理论中都是正式的，因此任何这样的理论都必须不一致。这个结果通常被称为Tarski关于真理的不确定性的定理。结果基本上是在用T-Schema扩展的一阶算术中骗子悖论的形式化。为了构建这样的形式化，有必要能够在一阶算术中制定自指的句子（例如骗子句子）。这种能力由对角线引理提供。

对角引理。

令S为扩展一阶算术的理论。对于每个公式ϕ（x）都有一个句子ψ，使得s⊢ψ↔ϕ⟨ψ⟩。

在这里，符号s⊢α表示α在理论s中是可证明的，并且ϕ⟨ψ⟩是ϕ（⟨ψ⟩）的缩写。假设给出了一个公式ϕ（x），旨在表达句子的某些属性 - 例如。然后，对角线引理给出了满足生物插图ψ↔ϕ⟨ψ⟩的句子的存在。可以认为句子ϕ⟨ψ⟩表示句子ψ具有ϕ（x）表示的属性。因此，生物填充表明ψ等于表达ψ具有属性ϕ的句子。因此，人们可以将ψ视为表达其具有属性ϕ的句子。就真理而言，这将是表达自己是真的的句子。从严格的意义上讲，句子ψ当然不是自我指出的，但是从数学上讲，它的行为就像一个。因此，可以使用对角线引理产生的句子根据骗子（例如骗子）基于自指句子形式化悖论。对角线引理有时称为固定点引理，因为等价ψ↔ϕ⟨ψ⟩可以看作表达ψ是ϕ（x）的固定点。

如果在其中证明了逻辑矛盾，则一阶谓词逻辑中的理论称为不一致。塔斯基的定理（关于真理的不确定）现在可以说明并证明。

塔斯基定理。

任何扩展一阶算术和包含模式t的理论都是不一致的。

证明。假设存在一致的形式理论，它扩展了一阶算术并包含模式。我们需要证明这种假设会导致矛盾。证明模仿了骗子悖论。应用对角线引理以在S中获得满足λ↔ -t⟨λ⟩的句子。用句子λ实例化模式t给了我们λ↔T⟨λ⟩。现在，我们有λ↔ -t⟨λ⟩和λ↔t⟨λ⟩在s中保持（在s中证明），因此t⟨λ⟩↔ -t⟨λ⟩必须在S中保持S。持续的。 ◻

请注意，上面的矛盾t⟨λ⟩↔ -t⟨λ⟩表示：骗子句子是正确的，并且仅当不是时。将此与本文开头提出的非正式骗子进行比较。塔斯基（Tarski）的定理表明，在一阶算术的设置中，不可能将塔斯基认为是“真理的适当理论”。然后，一个中心问题变成：如何修改正式的环境或对真理理论的要求重新获得一致性，也就是说，防止骗子悖论使系统琐碎化？这个问题有许多不同的答案，因为有许多不同的方法可以恢复一致性。在第3节中，我们将回顾最有影响力的方法。

2.2设定理论悖论的后果

固定理论悖论对数学基础构成了重大挑战。他们表明，不可能有一个概念来满足不受限制的理解原则（也称为完全理解或不受限制的抽象）：

不受限制的理解：

所有公式ϕ（x），∀U（u∈{x ϕ（x）}↔ϕ（u））。

在非正式环境中，公式ϕ（x）可以被允许是任意谓词。在更正式的环境中，它们将是例如合适的一阶语言。不受限制的理解原则说，对于任何财产（由ϕ表示），有一组满足该财产的实体。这听起来是一个非常合理的原则，它或多或少地捕获了一套直觉的概念。的确，这是设定理论之父Georg Cantor（1895）本人最初提出的集合的概念。不幸的是，该原则不是听起来不错的，因为它引起了罗素的悖论。考虑非移民的财产。这可以由公式x∉X表示。如果让ϕ（x）为公式x∉x，则集合{x ϕ（x）}成为Russell集合R，我们获得了无限制理解原理的以下实例：

∀U（u∈R↔u∉u）。

类似于罗素悖论中的论点，现在通过用R：

r∈R↔r∉r。

这种矛盾表明，当且仅当不是时，罗素集是本身的成员。此后证明的是以下内容。

定理（幼稚集理论的不一致）。

任何包含不受限制理解原则的理论都是不一致的。

将该定理与Tarski定理进行比较。塔斯基（Tarski）的定理表明，如果我们对真理的直觉上最明显的原则形式化，我们最终以不一致的理论形式化。上面的定理表明，同一件事是在正式化有关设定和成员身份的最明显原则时发生的。

鉴于不受限制的理解的不一致，目标成为寻找一种限制理解原则本身或基本逻辑原理的方法，以重新获得一致的理论，即，这种理论不会被罗素的悖论琐碎。上个世纪已经开发了许多不受限制的理解原则的替代套件理论，其中包括罗素和怀特海的类型理论，简单类型理论（ST），哥德尔 - 伯纳莱斯集理论（GB），Zermelo-fraenkel Set理论（ZF）（ZF） ），以及Quine的新基金会（NF）。这些都被认为是一致的，尽管尚无简单的一致性证明。至少它们都逃脱了已知的自我参考悖论。我们将在第3节中返回对此进行讨论。

2.3认知悖论的后果

认知悖论构成了对正式知识理论的建设的威胁，因为这些悖论在许多这样的理论中都可以形式化。假设我们希望在一阶算术的扩展中构建一种正式的可知识理论。选择正式化正式知识而不是知识的原因是，知识在某个时间点始终与某个代理相关，而知识性是像真理这样的普遍概念。我们本可以选择直接与知识合作，但它需要更多的工作，并使演示文稿不必要地复杂。为了形式化可知道的性，我们引入了一个特殊的谓词K，并使用k⟨ϕ⟩形式的句子表达了ϕ是可以知道的。类似于真理和设定成员身份的案例，必须有某些逻辑原则需要满足，以使我们的形式理论成为一种充分的知情理论。首先，所有可知的句子都必须为真。该属性可以通过以下逻辑原则形式化：

A1。

对于所有句子ϕ。

当然，这个原则本身必须是可以知道的，也就是说，我们得到以下逻辑原则：

A2。

对于所有句子ϕ。

此外，所有一阶算术定理都应该知道：

A3。

k⟨ϕ⟩，适用于所有句子的一阶算术。

此外，必须在逻辑后果下封闭可知性：

A4。

k⟨ϕ→ψ⟩→（k⟨ϕ⟩→k⟨ψ⟩），用于所有句子ϕ。

现在，A1 -A4原则是正式化知识者悖论的全部。更确切地说，我们有以下定理，来自蒙塔古（Montague，1963），其证明可以以以下形式给出（请参见Bolander 2004）。

蒙塔古定理。

任何扩展一阶算术和包含公理模式A1-A4的形式理论都是不一致的。

证明。假设存在一致的形式理论，该理论扩展了一阶算术和包含公理模式A1 – A4。我们需要证明这一假设会导致矛盾。证明模仿了知识者的悖论。应用对角线引理以在S中获得满足λ↔k⟨λ⟩的句子。句子λ表达了它是不可知的，因此λ大致与知识者句子ks相对应。知识者悖论中使用的第一篇论证得出的结论是KS确实是正确的。 s中的以下正式推理模仿了这一论点：

1。λ→€k⟨λ⟩通过选择λ

2。€k⟨λ⟩→λ通过选择λ

3。k⟨λ⟩→λ公理A1

4。（k⟨λ⟩→λ）→

（（λ→€k⟨λ⟩）→€k⟨λ⟩）命题重言术

5。（λ→€k⟨λ⟩）→€k⟨λ⟩在4,3上

6。

7.λModusponens on 2,6

该证明表明，我们的正式版本的KSλ可以在S中证明。证明与非正式的论点相对应，即KS是正确的。正如在知识者的悖论中所论述的那样，任何具有足够推理能力的代理人都将能够证明KS的真相，因此开始知道KS所拥有的。因此，必须知道KS。在当前的正式框架中，这意味着我们还可以证明λ中的可知性：

8。K⟨λ→€k⟨λ⟩⟩A3和λ的选择

9。K⟨ -k⟨λ⟩→λ⟩a3和λ的选择

10。K⟨K⟨λ⟩→λ⟩公理A2

11。K⟨（k⟨λ⟩→λ）→

（（（λ→€k⟨λ⟩）→€k⟨λ⟩）⟩公理A3

12.K⟨（λ→€k⟨λ⟩）→€k⟨λ⟩⟩a4 a4 on 11,10

13。K⟨ -k⟨λ⟩⟩a4 a4 on 12,8

14。k⟨λ⟩a4 a4 on 9,13

这完成了λ知理性的证明，这与非正式论证相对应，即某些代理人知道KS。请注意，第1-7和8-14行中的两个证明之间的相似性。唯一的区别是，在后者中，所有公式都在一个额外的K之前。这是因为第8-14行表达了与第1-7行相同的推理行，唯一的区别是后者证明了λ的可知道性。而不是λ的真相。得出结论认为λ既真实又可以知道，我们现在立即获得了矛盾，就像知识者的悖论一样：

15。

16。14和15的k⟨λ⟩∧ -k⟨λ⟩

这完成了蒙塔古定理的证明。 ◻

上面的证明直接模仿了知识者悖论的基础推理。蒙塔古（Montague）的定理表明，在一阶算术的设置中，我们甚至无法满足基本原理A1 – A4的知识理论或可知性。蒙塔古的定理是对塔斯基定理的概括。如果谓词符号K满足Tarski的模式，那么很容易看到它也将满足Axiom Schemas A1 – A4。因此，Axiom模式A1 – A4构成了T-Schema的弱化，Montague的定理表明，即使是T-Schema的这种弱版本也足以产生不一致。一个可能的答复可能是，即使是Axiom Schemas A1 -A4太强，也应该进一步削弱。但是，就像以前的悖论形式化一样，尚不清楚如何进一步削弱这些假设，因为所有假设对于我们正式化的概念似乎是明智的和自然的（在这种情况下是可知道的）。摆脱不一致结果的另一种可能的方法可能是将原理保存在当前形式中，但仅将其应用于可用句子的一个子集（这意味着A1 -A4仅需要用于某些子集S的句子ϕ∈S ）。这些原则应适用于所有“正常”句子，但我们可能不想坚持要为某些表达自指陈述的病理句子持有。但是，尚不清楚我们可以明智地指出哪些句子是正常的，哪些句子是病理性的。但是，我们可能仍然能够找到一些明智的子集，我们可以对此实例化我们的原则并仍然具有一致的理论。 Revièresand Levesque（1988）表明，只有在所谓的常规句子上实例化时，原理一直保持一致，后来将此结果推广到更具包容性的RPQ句子（Morreau and Kraus，1998）。大多数针对悖论驱动的不一致结果的解决方案实际上都是这样的：对导致不一致的原则的适用性进行了分层或限制，无论是真理的原理，设定的存在，可知识性还是第四种。在第3节中，我们将更多地研究这一点。