自指与悖论（完结）

在 Lγ 中接收未定义值的句子是说谎者句子。克里普克理论中隐含的说谎者悖论的解决方案是这样的：既然假设说谎者的句子是真的又是假的都会导致矛盾，所以它一定不是，所以它是未定义的。据说说谎者的句子存在真值差距。事实上，在克里普克发表论文之前的文献中，通过允许真值差距来避免说谎者悖论的想法确实多次出现，但克里普克是最早将其作为真正理论的一个组成部分的人之一。

与骗子悖论的层次解决方案一样，真值差距解决方案被许多人认为是有问题的。主要的批评是，通过使用三值语义，人们会得到一种表达能力很弱的解释性语言。例如，在克里普克的任何一种语言中，都不能有一个谓词来表达未定义的属性。事实上，克里普克本人也注意到了这一点。如果部分解释的语言包含这样的谓词，则可以在该语言中制定以下强化的说谎句子：“这个句子要么是假的，要么是未定义的”。强化说谎者句子为真当且仅当为假或未定义时，因此我们有一个新的悖论，称为强化说谎者悖论。强化说谎者悖论的问题被称为报复问题：给定说谎者的任何解决方案，似乎我们可以想出一个新的强化悖论，类似于说谎者，但仍未解决。这个想法是，无论所谓的解决方案声称说谎者句子具有什么语义状态，如果我们被允许在对象语言中自由地引用这种语义状态，我们就可以生成一个新的悖论。

克里普克语言无法表达自己的未定义谓词也意味着我们无法在克里普克对象语言中表达诸如“说谎者句子未定义”之类的陈述。事实上，在克里普克的语言 Lγ 中，说谎者句子是未定义的，因此前面的句子表达了关于 Lγ 的真理，而该真理无法在 Lγ 本身中表达（因此该语言在表达上是不完整的）。为了表达真实的陈述“骗子句子未定义”，我们被迫提升到 Lγ 的元语言。正如克里普克（Kripke，1975）本人所说：“塔斯基等级制度的幽灵仍然与我们同在。”

3.2.2 克里普克真理论的扩展和替代

继克里普克的工作之后，人们做出了许多尝试来构建包含自己的真值谓词的语言，并且不会遭受强化说谎者的报复问题。许多这些尝试都集中在修改或扩展底层的强三值逻辑，例如修改条件的语义（Field，2003，2008）或允许无限数量的真值（Cook，2007；Schlenker，2010；Tourville 和 Cook，2016）。

克里普克的理论通过赋予其未定义的值来规避说谎者悖论。规避说谎者悖论的另一种方法是在合适的次一致逻辑中为其分配 true 和 false 值。根据辩证论的观点，这将是正确的解决方案，参见。第 2 节：最简单的次一致逻辑之一是 LP，它是一种三值逻辑，其真值表与上面介绍的 Kleene 强三值逻辑相同，唯一的区别是第三个真值被解释为 true 和 false而不是未定义。相对于部分逻辑更喜欢次一致逻辑的一个原因是，诸如说谎者之类的悖论句子可以被建模为真正的矛盾（dialetheia），而不是真值差距。我们再次参考有关辩证论和次相一致逻辑的条目以获取更多信息。

选择是在真值差距和真值过剩之间进行选择：真值差距是没有真值的陈述，既不真也不假（就像克莱恩强三值逻辑中的未定义），以及真值过剩。是一个具有多个真值的陈述，例如既为真又为假（就像在次一致逻辑 LP 中一样）。还有一些论点支持同时允许缺口和过剩，例如通过让真值集形成 bilattice（Fitting，2006；Odintsov 和 Wansing，2015）。最简单的非平凡二格恰好有四个值，在真值的上下文中被解释为：真、假、⊥（既非真也非假）和⊤（既真又假）。

有关克里普克理论、其继承者和竞争对手的更广泛讨论，请参阅“说谎者悖论”条目。

3.2.3 集合论中的隐式层次结构

建立隐式而不是显式的层次结构也是集合论中采用的一个想法。奎因 (1937) 的新基础 (NF) 是对简单类型理论的修改，其中句法类型的分层已被理解原则的分层所取代：

NF理解：

∀u(u∈{x∣phi(x)}↔phi(u))，对于所有分层公式 phi(x)。

如果存在从 phi 的变量到自然数的映射 σ （分层），使得如果 u∈v 是 phi 的子公式，则 σ(v)=σ(u)+1 并且如果 u ，则公式 phi 是分层的=v 是 phi 的子公式，则 σ(v)=σ(u)。显然公式x∉x没有分层，因此理论上不能用NF推导原理来表述罗素悖论。蒯因的新基础本质上是通过从语法中隐藏类型而从类型论中获得的。因此，该理论仍然使用层次结构方法来避免悖论，但层次结构是隐式的，因为不在公式的语法中表示它。 Cantini (2015) 研究了在真理论背景下模仿这种隐式层次方法的可能性（实现隐式表示的塔尔斯基真层次）。

策梅洛-弗兰克尔集合论 (ZF) 是另一种基于隐式层次结构思想来规避悖论的理论。然而，它的实现方式比 NF 更不直接。在 ZF 中，集合是自下而上构建的，从空集合开始，然后使用并集和幂集运算迭代构建越来越大的集合。这会产生一个层次结构，其中空集位于最低级别（级别 0），并且幂集运算从一组级别 α 生成一组级别 α+1。与 Kripke 的迭代构造类似，该过程使用极限序数级别的并集运算符继续进入超限。得到的层次结构称为累积层次结构。 ZF 的公理之一，即基础公理，指出每组 ZF 都生活在这个累积层次结构中的某个级别上。换句话说，基础公理指出，除了可以通过刚才描述的迭代过程自下而上构造的集合之外，ZF 中不存在任何集合。由于在累积层次结构中，不可能存在包含自身的集合，不存在通用集合，也不存在无充分根据的集合，因此没有一个已知的悖论可以立即在理论中表述出来。显然，这本身并不能确保 ZF 的一致性，但至少它说明了集合层次结构的思想如何在 ZF 中发挥重要作用。 ZF 在集合论中享有特殊的地位，因为它是当今数学正式基础最广泛认可的候选理论。

3.3 一般不动点方法

上面提出的克里普克对真值谓词的迭代构造可以被视为构建正式真值理论的更一般的定点方法的一个实例。定点方法已成为当代形式真理理论的核心。主要思想是有一个真值修正算子，然后寻找该算子的不动点。这种不动点方法的核心是一些合适的不动点定理，保证某些类型的算子存在不动点。有几种不同的不动点定理可用。现在考虑其中一个更简单的问题。

不动点定理。

令 τ 为链完全偏序（以下称为 ccpo）上的单调算子。则τ有最小不动点，即存在最小f使得τ(f)=f。

ccpo 是偏序 (D,<)，其中 D 的每个全序子集都有一个最小上界。 D 的全序子集称为 D 中的链。 (D,<) 上的单调算子是映射 τ:D→D 满足：

d1≤d2⇒τ(d1)≤τ(d2)，对于所有 d1,d2∈D。

克里普克的构造通过以下方式适合上面的不动点定理。首先请注意，仅在 T 的解释上有所不同的部分解释语言集形成了 ccpo：只需通过 L1≤L2 定义这些语言的排序，当且仅当 L2 中 T 的解释扩展了 L1 中 T 的解释（即， T在L1中的扩展和反扩展包含在L2中）。然后通过以下方式在这些语言上定义真值修正运算符 τ：

(6)

τ(L)=L′，其中 T⟨Φ⟩ 在 L′ 中为真（假），当且仅当 Φ 在 L 中为真（假）。

请注意，如果 Lα 是 Kripke 构造中的语言之一，则 Lα+1=τ(Lα)。这个真值修正算子 τ 的想法是，如果 τ(L)=L′ 那么 L′ 将是一种语言，其中 T 被解释为 L 的真值谓词。因此，如果对于某个 L τ(L)=L，则也就是说，如果 L 是 τ 的不动点，那么 L 将是包含自己的真值谓词的语言。这激发了对 τ 不动点的搜索。由于 τ 很容易看出是单调的，根据不动点定理，它有一个最小不动点。不难看出，这个不动点正是克里普克真理论中构造的语言Lγ。因此，克里普克的构造在单调算子的不动点设置中得到了体现。

引入额外机制的目的不仅仅是重新发现语言 Lγ。关键在于提供了一个更加普遍和抽象的框架，该框架可能会导致新的真理理论，并对语义悖论提供进一步的见解。事实证明，上面定义的真值修正算子 τ 除了 Lγ 之外还有许多有趣的不动点。通过考虑将一组解释性语言制作成 ccpo 的替代方法，也可以获得新的真理理论。例如，我们可以添加一个额外的真值并考虑四值逻辑中的情况，正如 Fitting (1997) 所考虑的那样；或者可以删除未定义的第三个真值并在完全经典的环境中构建 ccpo。在经典环境中，注意力仅限于完全解释的语言（每个句子都为真或假的语言），并且它们的排序定义为： L1≤L2 成立，当且仅当包含 L1 中真值谓词的扩展在 L2 中真值谓词的扩展中，即当且仅当 L2 指出的句子数量至少与 L1 一样多。这给出了 ccpo。通过在适当定义的修订运算符上使用此设置中的不动点定理，可以相当容易地证明包含真理的肯定定义的完全解释语言的存在。这意味着解释语言具有满足以下 T 模式受限版本的谓词 T：

(7)

ψ↔T(⟨ψ⟩)，对于所有正句子 ψ，

其中肯定句是那些不使用否定 (Ø) 构建的句子。由于（7）在完全解释语言中是可满足的，因此包含（7）的句子作为公理的一阶理论必须是一致的。这应该与塔斯基定理形成对比，塔斯基定理指出无限制的 T 模式是不一致的。如果将无限制理解原理同样限制在正式上，我们也得到了一个一致的理论。这最初是由 Gilmore (1974) 展示的。

不动点方法也是贝尔纳普和古普塔（1993）提出的真理修正理论的出发点。真理修正理论是自克里普克理论以来发展起来的最具影响力的真理理论和语义悖论。修正理论将（6）定义的标准真值修正算子 τ 视为全解释语言上的算子。在这些语言上，τ 没有不动点：如果它有这样一个不动点 L，那么 L 将是满足完整模式 T 的完全解释语言，这直接与塔斯基定理相矛盾。由于 τ 在完全解释语言上没有固定点，因此修正理论考虑完全解释语言的超限序列 L1,L2, … , Lω,Lω+1, … 满足：

对于任何后继序数 α+1，Lα+1=τ(Lα)。

对于任何极限序数 σ 和任何句子 phi，如果 phi 稳定在序列 (Lα)α<σ 中的值为真（假），则 phi 在 Lσ 中为真（假）。

在这样的序列中，每个句子 phi 要么最终稳定在经典真值（真或假）上，要么永远不会稳定。永远不会稳定的句子的一个例子是说谎者句子：如果说谎者句子在其中一种语言 Lα 中为真，那么在 Lα+1 中将为假，反之亦然。因此，修正理论给出了一种对真理的解释，它正确地将说谎者句子的行为建模为永远不会稳定在真值上的行为。在修正理论中，有人认为这比克里普克的理论给出了对真理和自我指涉更正确的解释，在克里普克的理论中，说谎者的句子被简单地赋予了未定义的值。真值修正理论和克里普克式不动点理论仍在积极研究中（Gupta and Standefer，2017；Hsiung，2017；Schindler，2017）。关于修正理论的完整说明可以在真理修正理论条目中找到。

将自我指涉现象作为不动点来研究并不局限于真理理论。例如，在认知悖论的背景下，Abramsky 和 ​​Zvesper (2015) 将勃兰登堡-凯斯勒悖论视为定点结果。

4. 最新进展

Murzi 和 Massimiliano (2015) 概述了解决悖论的方法的最新进展：准完备性（允许真值差距）、准一致性（允许真值过剩）、子结构逻辑（削弱经典逻辑的逻辑原理）以及这些方法将会或可能导致的报复问题。子结构逻辑作为解决悖论的最新进展包括 French (2016)（降低自反性）、Caret、Colin 和 Weber (2015)、Shapiro 和 Lionel (2015)、Mares 和 Paoli (2014)（降低收缩）和 Cobreros 、Égré、Ripley 和 van Rooij (2014)（放弃及物性）。最近，Synthese 有一卷专门讨论悖论的子结构方法（2021 年 12 月号，Zardini 介绍，2021 年）。 Achourioti 等人的卷。 （eds.，2015）有几篇关于自我参照以及如何在真理理论背景下避免悖论的论文。

Volker Halbach 和 Albert Visser (2014a, 2014b) 对算术中的自引用进行了非常详细的研究，研究了算术句子给自己赋予一个属性意味着什么，以及这如何取决于所选择的编码、定点构造等。Albert Visser (2019) 也是研究在证明哥德尔第二个不完备性等经典定理时我们可以摆脱多少自我参照的作者之一定理。

仍然有一些工作试图描述悖论的确切含义（Hsiung，2022）。这在某种程度上符合牧师封闭方案和上述悖论的图论分类的精神。找到悖论所需的确切必要和充分成分仍然是一个悬而未决的问题。在准确定义某些事物的自我指涉方面也做了进一步的工作（Picollo，2018，2020）。 Grabmayr、Halbach 和 Ye（2023）区分了真实的自我指涉和偶然的自我指涉，因此试图对自我指涉提供更细粒度的分析。通过仔细研究我们使用的哥德尔编号类型，还可以对自指涉进行更细粒度的分析（Grabmayr 和 Visser，2023；Kripke，2023）。