自指与悖论（一）

1.自我指涉的悖论

1.1 语义悖论

1.2 集合论悖论

1.3 认知悖论

1.4 悖论中的常见结构

1.5 没有否定的悖论

1.6 没有自指的悖论

2. 为什么悖论很重要

2.1 语义悖论的后果

2.2 集合论悖论的后果

2.3 认知悖论的后果

2.4 关于可证明性和可计算性的后果

3. 解决悖论

3.1 构建显式层次结构

3.2 构建隐式层次结构

3.2.1 克里普克的真理理论

3.2.2 克里普克真理论的扩展和替代

3.2.3 集合论中的隐式层次结构

3.3 一般不动点方法

4. 最新进展

参考书目

其他互联网资源

学术工具

相关条目

1.自我指涉的悖论

1.1 语义悖论

自我参照的悖论自古以来就为人所知。说谎者悖论的发现通常被认为是生活在公元前 4 世纪的麦加拉人尤布里德斯 (Eubilides) 的功劳。说谎者悖论属于语义悖论的范畴，因为它基于真理的语义概念。其他著名的语义悖论包括格雷林悖论、贝里悖论和理查德悖论。

格雷林悖论涉及一个定义如下的谓词。如果一个谓词本身不为真，也就是说，如果它本身不具有它所表达的属性，则可以说它是异质的。那么谓语“German”是异质的，因为它本身不是德语单词，但谓语“deutsch”不是异质的。现在导致悖论的问题是：

“异质”是异质吗？

很容易看出，无论我们对这个问题回答“是”还是“否”，我们都会得到一个矛盾（这个论证或多或少类似于说谎者悖论）。格雷林悖论是自指的，因为谓词异质的定义涉及所有谓词，包括谓词异质本身。像这样依赖于一组实体（至少其中一个是被定义的实体）的定义被称为谓语。

贝里悖论是另一个基于命令式定义或命令式描述的悖论。英语中的一些短语是对自然数的描述，例如，“the sum of Five and Seven”是对数字 12 的描述。当试图确定以下描述的外延时，就会出现贝里悖论：

包含少于 100 个符号的描述中无法引用的最少数字。

矛盾之处在于，这个包含 93 个符号的描述所表示的数字，根据定义，不能用任何包含少于 100 个符号的描述来表示。该描述当然是强制性的，因为它隐含地引用了所有描述，包括其本身。

理查德悖论考虑了定义实数而不是自然数的英语短语。例如，“圆的周长与直径之比”是定义数字π的短语。假设给出了所有此类短语的枚举（例如，通过将它们按字典顺序排列）。现在考虑一下这句话：

当第n个短语表示的数字的第n位小数为0时，第n位小数为1的实数；否则为 0。

该短语定义了一个实数，因此它必须在枚举短语中，例如此枚举中的数字 k。但同时，根据定义，它与小数点后第 k 位的第 k 个短语表示的数字不同。这样我们就有矛盾了。定义短语显然是命令式的。这个悖论中采用的特殊结构称为对角化。对角化是一种通用构造和证明方法，最初由 Georg Cantor (1891) 发明，用于证明自然数幂集的不可数性。它也被用作康托悖论的基础，康托悖论是接下来要考虑的集合论悖论之一。

1.2 集合论悖论

最著名的集合论悖论是罗素悖论和康托悖论。罗素悖论源于考虑所有不属于其自身的集合的罗素集 R，即由 R={x∣x∉x} 定义的集合。然后通过询问 R 是否是其自身的成员，即 R∈R 是否成立来导出矛盾。如果 R ∈ R 则 R 是其自身的成员，因此根据 R 的定义，R ∉ R。另一方面，如果 R ∉ R 则 R 不是其自身的成员，因此 R ∈ R，再次通过R的定义

康托悖论基于康托定理的应用。康托定理指出，给定任何有限或无限集合 S，S 的幂集具有比 S 严格更大的基数（更大的大小）。该定理通过对角化的形式来证明，这与理查德悖论的基本思想相同。康托悖论考虑的是所有集合的集合。我们将这个集合称为通用集合并用 U 表示。U 的幂集表示为 ℘(U)。由于 U 包含所有集合，因此它将特别包含 ℘(U) 的所有元素。因此 ℘(U) 必须是 U 的子集，因此其基数（大小）必须小于或等于 U 的基数。然而，这立即与康托定理相矛盾。

超级博弈悖论是集合论悖论列表中的最新成员，由 Zwicker (1987) 发明。如果一个两人游戏必定会在有限的步数内终止，我们就称这个游戏是有根据的。国际象棋锦标赛就是一个有根据的游戏的例子。我们现在将超级博弈定义为这样的游戏：玩家 1 在第一步中选择一个有根据的游戏来进行，而玩家 2 随后在所选游戏中采取第一步。所有剩余的动作都是所选游戏的动作。超级游戏必须是一个有充分根据的游戏，因为任何游戏都会比某些给定的有充分根据的游戏多持续一步。然而，如果hypergame有充分的根据，那么它一定是hypergame的第一步中可以选择的博弈之一，即玩家1可以在第一步中选择hypergame。这使得玩家2可以在后续的行动中选择超级博弈，并且两个玩家可以无限地继续选择超级博弈。因此，超级博弈不可能是有充分根据的，这与我们之前的结论相矛盾。

1.3 认知悖论

最著名的认知悖论是知者悖论（Kaplan & Montague，1960；Montague，1963）。这个悖论有许多等效的表述，其中之一基于“这句话不被任何人知道”这句话。我们将这句话称为“知道者句子”，缩写为 KS。KS 显然与说谎者句子非常相似，只不过涉及的中心概念是知识而不是真理。导致 KS 矛盾的推理比说谎者悖论稍微复杂一些。第一个 KS 通过以下推理被证明是正确的：

假设得到一个矛盾，即 KS 不成立。那么KS所表达的就不可能是这样，即KS一定是有人知道的。由于已知的一切都是真实的（这是知识概念定义的一部分），因此 KS 是真实的，与我们的假设相矛盾。这就得出了 KS 正确性的证明。

刚才为了证明KS的真实性而进行的推理应该对任何具有足够推理能力的代理人（人）来说都是可用的。也就是说，智能体应该能够证明 KS 的真实性，从而知道 KS 成立。然而，如果KS被某人知道，那么它所表达的就不是事实，因此它不可能是真的。这是一个矛盾，因此我们就有了一个悖论。在这个悖论中，自我指涉的作用是显而易见的，因为它基于一个句子，KS，直接指代自身。

认识者的悖论只是涉及自我参照的众多认知悖论之一。有关认知悖论类别的更多信息，请参阅认知悖论条目。最近的一个认知悖论是在两人博弈中的信念和假设设置中出现的，是勃兰登堡-凯斯勒悖论（Brandenburger & Keisler，2006），在博弈论认知基础条目中有详细描述。有关一般自指悖论的详细讨论和历史，请参阅悖论和当代逻辑条目。

1.4 悖论中的常见结构

上述悖论在结构上都非常相似。就格雷林和罗素的悖论而言，可以如下看出。将谓词的外延定义为该谓词为真的对象的集合。对于谓词 P，我们用 ext(P) 表示其扩展。格雷林悖论涉及谓词异质性，这对于所有本身不正确的谓词都是正确的。因此谓词异质的外延是集合{P∣P∉ext(P)}。将其与 {x∣x∉x} 给出的罗素集 R 进行比较。这两个集合之间唯一的显着区别是第一个集合是在谓词上定义的，而第二个集合是在集合上定义的。基于这两个集合的矛盾证明也具有相同的结构，如下所示（其中“het”缩写为“heterological”）：

het∈ext(het) ⇔het∈{P∣P∉ext(P)}

⇔het∉ext(het)。

R ∈ R ⇔R ∈ {x∣x∉x}

⇔R∉R。

这里我们有两个结构几乎相同的悖论，属于两个不同类别的悖论：一个是语义的，另一个是集合论的。这告诉我们，即使悖论因涉及不同的主题而看起来不同，但它们的基本结构可能几乎相同。因此，在许多情况下，研究自指悖论是最有意义的，而不是分别研究语义悖论和集合论悖论。

罗素和康托的悖论也比最初看起来更加相似。康托悖论基于康托定理在通用集合 U 上的应用（参见上文第 1.2 节）。下面我们给出任意集合S的康托定理的证明。

我们需要证明 ℘(S) 比 S 具有更大的基数。假设得到一个矛盾，事实并非如此。那么必须存在一个从 S 到 ℘(S) 的（可能部分的）映射 f。现在考虑集合 C={x∈dom(f)∣x∉f(x)}。显然C⊆S，所以C∈℘(S)。由于 f 在 ℘(S) 上，因此必须存在一个集合 c ∈ dom(f) 使得 f(c)=C。然而，我们现在遇到了矛盾，因为以下内容成立：

cεf(c) ⇔cε{xεdom(f)∣x∉f(x)}

⇔c∉f(c)。

请注意该等价序列与上述罗素悖论和格雷林悖论导出的相应等价序列之间的相似性。现在考虑康托定理的特殊情况，其中 S 是通用集。然后我们可以简单地选择 f 作为 ℘(S) 上的恒等函数，因为 S 是通用集合，因此 ℘(S)⊆S （任何集合都必须是通用集合的子集）。所以f是由f(x)=x定义的偏函数f:℘(S)→℘(S)。但这样上面的C就变成了罗素集，等价序列就变成了罗素悖论中的矛盾证明！因此，康托悖论只不过是罗素悖论的一个微小变体。两者产生矛盾的核心论点是相同的。

Priest（1994）通过证明自我参照悖论之间的相似性，给出了更确凿的证据，证明它们都符合他最初所说的合格罗素图式，现在称为包容图​​式。其背后的想法可以追溯到罗素本人（1905），他也认为自我指涉的悖论具有共同的基础结构。给定两个谓词谓词 P 和 Q，以及可能的偏函数 δ，内包模式由以下两个条件组成：

w={x∣P(x)} 存在且 Q(w) 成立；

如果 y 是 w 的子集且 Q(y) 成立，则：

δ(y)∉y,

δ(y)εw。

如果满足这些条件，我们就会遇到以下矛盾：由于 w 是 w 的子集，并且 Q(w) 满足条件 1，因此我们有 δ(w)∉w 和 δ(w)∈w，由 2a 和分别为2b。因此，任何满足包容模式的三元组（P，Q，δ）都会产生悖论。 Priest 展示了大多数众所周知的自我参照悖论如何融入该图式。下面我们将仅考虑其中的几个悖论，从罗素悖论开始。在这种情况下，我们将三元组 (P,Q,δ) 定义如下：

P(x) 是谓词“x∉x”。

Q(y) 是任何对象的通用谓词。

δ 是恒等函数。

那么内包图式中的w就成为罗素集，从该图式中得到的矛盾就成为罗素悖论。

在理查德悖论的情况下，我们通过以下方式定义三元组：

P(x) 是谓词“x 是由英语短语真正定义的”。

Q(y) 是谓词“y 是可由英语短语定义的可数实数集”。

δ 是当 y 中第 n 个实数的第 n 位小数为 0 时，将任意实数可数集 y 映射到小数点后第 n 位为 1 的实数 z 的函数；否则为 0。（y 中元素的任何枚举都可以。）

这里 w={x∣P(x)} 成为英语短语可定义的所有实数的集合。对于 w 的任何可数子集 y，δ(y) 是一个实数，通过构造，该实数将不同于 y 中的所有实数（它不同于 y 中小数点后第 n 位的实数）。令 y 等于 w，从而得到 δ(w)∉w。然而，同时 δ(w) 可以用英语短语来定义，所以 δ(w)∈w，这就产生了矛盾。这个矛盾就是理查德悖论。

说谎者悖论也符合罗素的模式，尽管方式稍微不那么直接：

P(x) 是谓词“x 为真”。

Q(y) 是谓词“y 是可定义的”。

δ(y) 是句子“这个句子不属于集合 y”。

这里w={x∣P(x)}成为真实句子的集合，δ(w)成为说谎者句子的一个版本：“这个句子不属于真实句子的集合”。

从上面可以得出结论，所有或至少大多数的自我指涉悖论都有一个共同的底层结构——无论它们是语义的、集合论的还是认识论的。 Priest (1994) 认为他们也应该共享一个共同的解决方案。 Priest将此称为统一解决方案原则：“同一种悖论，同一种解决方案。”然而，包容图式是否可以完全普遍地算作自我指涉悖论的充分必要条件是有争议的（Slater，2002；Abad，2008；Badici，2008；Zhong，2012等），因此并非所有作者都同意这一点也遵循统一解原则。

连系悖论是一个表面上根本不涉及自我参照的悖论。然而，Priest（2010b，2013）认为它仍然符合封闭模式，因此可以被视为自我指涉悖论，或者至少是一个应该具有与自我指涉悖论相同类型的解决方案的悖论。这导致 Colyvan (2009)、Priest (2010) 和 Weber (2010b) 都提出了一种辩证方法来解决 Sorites 悖论。这种解决 Sorites 悖论的方法受到 Beall (2014a, 2014b) 的攻击，并受到 Weber 等人的辩护。 （2014）。科布雷罗斯等人。 （2015）研究了许可后果的概念，旨在对模糊性悖论（如 sorites 悖论）和自我参照悖论进行统一处理。许可结果关系是多值逻辑设置中经典结果关系的弱化版本：它只要求当前提取值 1（仅为真）时，结论不得取值 0（不是仅假）。 Bruni & Rossi (2023) 对语义和社会悖论的最新统一诊断是，以不可辨别的一般形式识别其来源。

1.5 没有否定的悖论

迄今为止考虑的大多数悖论都以本质方式涉及否定，例如句子本身表明它们不真实或不可知。当我们在下面第 2 节中形式化自我参照的悖论时，否定的核心作用将变得更加清晰。库里悖论是一个类似的自我参照悖论，但并不直接涉及否定。库里悖论的语义变体来自以下库里句子 C：“如果这个句子为真，则 F”，其中 F 可以是任何陈述，例如明显错误的陈述。假设柯里句子 C 为真。那么它表达了一个真实的事实，即如果C为真则F。但是，我们已经假设C为真，所以我们可以使用Modus Ponens推断F。我们现在已经证明，如果我们假设 C 为真，则 F 成立。这正是库里这句话本身所表达的意思。也就是说，我们已经证明了库里这句话本身是正确的！但我们也知道 F 是真的，这是一个悖论，因为 F 可以是任何陈述，包括明显错误的东西。例如，我们可以通过简单地让 F 为句子“圣诞老人存在”来轻松证明圣诞老人存在（Boolos，1993；Smullyan，2006）。在经典逻辑环境中，蕴涵 C→F 等于 ØC∨F，库里悖论仍然隐含地涉及否定，但库里悖论仍然独立有趣，因为它比说谎者悖论对底层逻辑的假设更少。有关更多详细信息，请参阅有关库里悖论的条目。

1.6 没有自指的悖论

大多数经典的自我指涉悖论都涉及直接自我指涉，如在说谎者悖论中，句子直接指称自身。然而，很容易构造仅采用间接自指的悖论，即，引用其他句子的句子又引用其他句子，从而形成回到原始句子的循环。一个例子是明信片悖论，通常归因于菲利普·乔丹（Philip Jourdain，1879-1919），但根据罗伊·索伦森（Roy Sorensen，2003，第 332 页）的说法，真正的发明者是 G.G.贝里（1867-1928），牛津大学图书馆员，前面提到的贝里悖论也被认可。在明信片悖论中，明信片的正面写着“背面的句子是正确的”，而背面写着“正面的句子是错误的”。要使正面的句子为真，则背面的句子必须为真，但要使背面的句子为真，则正面的句子必须为假。这是一个矛盾，与说谎者悖论类似。文献中甚至还有很多更早的间接自我指涉的例子：John Buridan 14世纪的《Sophismata》（Buridan [SD], Hughes 1982）中的Sophism 9在结构上等同于明信片悖论。

1985年，Yablo成功构建了一个完全不涉及自我指涉，甚至不涉及间接自我指涉的语义悖论。相反，它由无限的句子链组成，每个句子都表达了所有后续句子的不真实性。更准确地说，对于每个自然数 i，我们将 Si 定义为句子“对于所有 j>i，Sj 不为真”。那么我们可以推导出一个矛盾：

首先我们证明句子 Si 中没有一个是真的。假设获得一个矛盾，即 Si 对于某些 i 为真。那么“对于所有 j>i，Sj 不为真”是正确的。因此，j>i 的句子 Sj 都不为真。特别是，Si+1 不成立。 Si+1 是句子“对于所有 j>i+1，Sj 不为真”。由于这句话不成立，因此必须存在某个 k>i+1 且 Sk 为真。然而，这与 j>i 的句子 Sj 都不为真相矛盾。

我们现在已经证明，Si 中没有一个句子是真的。然后，特别是，对于所有 j>0，Sj 不为真。这正是S0所表达的，所以S0一定为真。这又是一个矛盾。

Yablo 将这个悖论称为 ω-liar，但其他人通常将其称为 Yablo 悖论。请注意，没有一个句子 Si 引用自身（甚至不是间接的），而仅引用序列中稍后出现的句子。亚布洛悖论是语义上的，但正如亚布洛（2006）所示，类似的不涉及自指的集合论悖论可以在某些集合论中表述。

亚布洛悖论表明，我们可以在没有自我指涉的情况下产生逻辑悖论——只需要某种非充分根据就能获得矛盾。普通的自指悖论和雅布罗悖论之间存在明显的结构差异：普通的自指悖论涉及循环的指称结构，而雅布罗的悖论涉及非循环的、但没有充分根据的指称结构。更准确地说，我们可以将悖论背后的参照结构视为有向图。该图的顶点是句子，如果 S 直接引用 T，则存在从句子 S 到句子 T 的有向边。那么说谎者的指称结构是具有单个自反循环的图。明信片悖论的参考结构是一个有 2 个顶点的循环图，每个顶点都有一条到另一个顶点的边。所有直接或间接自参照的悖论都具有参照的循环结构（它们的底层图是循环的）。这与亚布洛悖论不同。亚布洛悖论中的指称结构与自然数上通常的小于排序是同构的，这是一个严格的全序（不包含循环）。尽管存在这种差异，亚布洛悖论仍然与普通的自我指涉悖论共享大多数属性。因此，在解决悖论时，我们可能会选择将它们全部归为一类，并将它们称为无充分根据的悖论。然而，在下文中，我们将坚持使用“自我参照悖论”这个术语，尽管我们所说的大部分内容也适用于亚布罗悖论和相关的无根据悖论。