量子逻辑和概率论（三）

3.4 量子概率论

让

H

H 表示复希尔伯特空间，令

一个

H

AH 表示（无序）正交基的集合

H

H. 因此，结果空间

X

X 的

一个

H

AH 将是单位球面

H

H. 请注意，如果

你

u 是任意单位向量

H

手

乙

ε

一个

H

E∈AH 是任意正交基，我们有

Σ

x

ε

乙

|

⟨

你

,

x

⟩

|

2

=

|

|

你

|

|

2

=

1

Σx∈E|⟨u,x⟩|2=||u||2=1

因此，每个单位向量

H

H 确定概率权重

一个

H

啊。量子力学要求我们从字面上理解这一点：任何“最大”离散量子力学可观测量都由标准正交基建模，而任何纯量子力学状态则由单位向量以这种方式建模。相反，每个标准正交基和每个单位向量被理解为对应于这样的测量和这样的状态。

现在可以调用格里森定理来识别

一个

H

密度算子打开的 AH

H

H：到每个状态

ω

ω 于

Ω

（

一个

H

）

Ω(AH) 对应一个唯一的密度算子

瓦

W 使得对于每个单位向量

x

x 的

H

,

ω

（

x

）

=

⟨

瓦

x

,

x

⟩

=

时间

r

（

瓦

磷

x

）

,

磷

x

H,ω(x)=⟨Wx,x⟩=Tr(WPx),Px 是与以下相关的一维投影

x

x。当然，相反，每个这样的密度算子都通过上面的公式定义了一个唯一的状态。我们还可以从理论上表示简单的实值随机变量。每个有界简单随机变量

f

f 产生有界自伴算子

一个

=

Σ

x

ε

乙

f

（

x

）

磷

x

A=Σx∈Ef(x)Px。谱定理告诉我们，每个自伴算子

H

H可以通过对这种形式的算子进行适当的限制来获得。

4. 与概率模型相关的逻辑

与任何概率模型相关

（

一个

,

Δ

）

(A,Δ) 是几个部分排序的集合，每个集合都具有与模型相关的“经验逻辑”的状态。在这一节中，我将讨论两个：所谓的操作逻辑

Π

（

一个

）

Π(A) 和属性格

L

（

一个

,

Δ

）

L(A,Δ)。在相对良性的条件下

一个

A、前者是正交代数。后者始终是一个完整的晶格，并且在合理的进一步假设下，是原子的。此外，存在一个自然的保序映射

Π

Π 至

L

L. 这通常不是一个阶同构，但当它是时，我们就得到了一个完整的正交模格，从而更接近希尔伯特空间的投影格。

4.1 运算逻辑

如果

一个

A 为测试空间，

一个

A事件是一组

一个

A-某些测试中包含的结果。换句话说，一个

一个

A-事件只是经典意义上的事件，适用于属于以下任何一个测试

一个

答：现在，如果

一个

一个和

乙

B是两个

一个

A-事件，我们说

一个

一个和

乙

B 是正交的，并且写成

一个

⊥

乙

A⊥B，如果它们不相交并且它们的并集又是一个事件。如果两个正交事件的并集是一个检验，我们就说它们是互补的。我们说事件

一个

一个和

乙

B是透视图，写

一个

～

乙

A∼B，如果它们有共同的补集。 （请注意，任意两个测试

乙

E 和

F

F 是透视图，因为它们都与空事件互补。）

4.1 定义：

一个测试空间

一个

如果对于所有事件，A 被称为代数

一个

,

乙

,

C

A、B、C 的

一个

一个，

一个

～

乙

⊥

C

A∼B⊥C 意味着

一个

⊥

C

A⊥C。

虽然可以构建完全可信的非代数测试空间示例，但人们在自然界中遇到的许多测试空间确实具有这一特性。特别是，上一节中描述的 Borel 和量子测试空间是代数的。更重要的一点是，作为一个公理，代数性是相对良性的，因为许多测试空间可以“完成”以成为代数空间。特别是，如果每个结果在至少一种状态下的概率大于 1/2，那么

一个

A 包含在代数测试空间中

乙

B 具有与以下相同的结果和相同的状态

一个

A（详细信息请参见 Gudder [1989]）。

可以证明[11]测试空间

一个

A 是代数当且仅当它满足条件

对于所有活动

一个

,

乙

A、B 的

一个

A、如果

一个

～

乙

A∼B，则任意补集

乙

B 是补集

一个

一个。

由此不难看出，对于一个代数测试空间

一个

一、关系

～

透视的 ∼ 是集合上的等价关系

一个

A-事件。不仅如此，如果

一个

A 是代数，那么

～

∼ 是形成正交事件并集的部分二元运算的同余：换句话说，对于所有

一个

A-事件

一个

,

乙

A、B 和

C

,

一个

～

乙

C,A∼B 和

乙

⊥

C

B⊥C 意味着

一个

⊥

C

A⊥C 和

一个

∪

C

～

乙

∪

C

A∪C∼B∪C。

让

Π

（

一个

）

Π(A) 是等价类的集合

一个

A-透视下的事件，表示事件的等价类

一个

一个由

p

（

一个

）

p(A);然后我们有一个自然的部分二元运算

Π

（

一个

）

Π(A) 定义为

p

（

一个

）

⊕

p

（

乙

）

=

p

（

一个

∪

乙

）

对于正交事件，p(A)⊕p(B)=p(A∪B)

一个

一个和

乙

B、设置0：

=

p

（

∅

）

=p(∅) 和 1 :

=

p

（

乙

）

,

乙

=p(E),E 的任意成员

一个

A、我们得到一个偏代数结构

（

Π

（

一个

）

,

⊕

,

0

,

1

）

(Π(A),⊕,0,1)，称为逻辑

一个

A. 满足以下条件：

⊕

⊕ 是结合律和交换律：

如果

一个

⊕

（

乙

⊕

c

）

a⊕(b⊕c) 被定义，因此

（

一个

⊕

乙

）

⊕

c

(a⊕b)⊕c，且两者相等

如果

一个

⊕

乙

a⊕b 被定义，因此

乙

⊕

一个

b⊕a，且两者相等。

0

⊕

一个

=

一个

0⊕a=a，对于每个

一个

ε

L

a∈L

对于每一个

一个

ε

L

a∈L，存在一个唯一的

一个

′

ε

L

a'∈L

一个

⊕

一个

′

=

1

a⊕a'= 1

一个

⊕

一个

只有在

一个

=

0

a = 0

我们现在可以定义：

4.2定义：

一个结构

（

L

,

⊕

,

0

,

1

）

（l，⊕，0,1）满足条件（a） - （d）称为正骨。

因此，代数测试空间的逻辑是正骨。可以证明，相反，每个正骨都作为逻辑出现

Π

（

一个

）

代数测试空间的π（a）

一个

A（Golfin [1988]）。请注意，非同形测试空间可以具有同构逻辑。

4.2正通

任何矫形器

L

l由关系部分订购

一个

≤

乙

a≤biff

乙

=

一个

⊕

c

B =A⊕C

c

⊥

一个

c⊥a。相对于此顺序，映射

一个

→

一个

′

a→a'是正面的组件，

一个

⊥

乙

A⊥Biff

一个

≤

乙

′

A≤b'。可以证明

一个

⊕

乙

A⊕B始终是最小的上限

一个

一个和

乙

B，但通常不是上限。确实，我们有以下（Foulis，Greechie和Ruttimann [1992]，定理2.12）：

4.3引理：

对于正骨

（

L

,

⊕

,

0

,

1

）

（l，⊕，0,1），以下是等效的：

一个

⊕

乙

=

一个

∨

乙

a⊕b=a∨b，所有人

一个

,

乙

a，b in

L

L

如果

一个

⊕

乙

,

乙

⊕

c

a⊕b，b⊕c和

c

⊕

一个

c⊕a都存在，那也是如此

一个

⊕

乙

⊕

c

a⊕b⊕c

正骨头

（

L

,

≤

,

′

）

（l，≤，'）是矫正的，即

一个

,

乙

ε

L

a，b∈L，如果

一个

≤

乙

然后A≤b

（

乙

∧

一个

′

）

∨

一个

（b∧a'）存在并等于

乙

b.

正骨满足条件（b）被认为是正向的。换句话说：当且仅当有限的成对总结子集的子集时

L

l可以共同总结。引理告诉我们，每个矫形器的正骨都在异，也是正数侧孔。相反，正面配置的poset是正常的IFF

一个

⊕

乙

=

一个

∨

乙

a⊕b=a∨b是针对所有对的所有对

一个

≤

乙

′

A≤B'，所得的部分二进制操作是关联的 - 在这种情况下

（

L

,

⊕

,

0

,

1

）

（l，⊕，0,1）是一个正通​​的正骨，是与给定的订单上的规范订购

L

L.因此，正数posets（Mackey版本的量子逻辑的框架）等效于正结式矫形器。

与正通相关的条件，但要比正通相关，是任何成对兼容的命题都应共同兼容。这有时称为规律性。大多数天然发生的矫形晶格和POSET是规则的。特别是，哈丁（Harding，1996，1998）表明，任何代数，关系或拓扑结构的直接产物分解都可以自然地组织成常规的矫形器。[12]

麦基及其许多继任者作为公理，某种版本的正牙性或规律性。 （以无限制的形式出现正焦性，因为Mackey的公理V;规律性出现在Kochen and Specker（1965）的部分布尔代数的定义中。但是，它很容易构造简单的模型测试空间，具有具有完全直接（甚至是经典的解释），其逻辑不是正骨。从来没有给出任何完全令人信服的关于骨关注的理由，这是所有合理物理模型的基本特征。此外，某些显然希望在测试空间中执行的良好动机的结构往往会破坏正通（请参阅第7节）。

4.3属性晶格

在我们对物理系统描述中接受测量及其结果为原始概念的决定并不意味着我们必须放弃谈论这种系统的物理特性。确实，这种谈话很容易在当前的形式主义中容易。[13]在我们一直在追求的方法中，物理系统由概率模型代表

（

一个

,

Δ

）

（a，δ），并且系统的状态与概率权重确定

Δ

δ。经典，任何子集

γ

状态空间的γ

Δ

δ对应于系统的分类特性。但是，在量子力学，甚至是经典中，并非每个此类属性都可以测试（或“物理”）。在量子力学中，只能测试与希尔伯特空间的封闭子空间相对应的状态空间的子集。在经典的力学中，通常只采用borel集以对应于可测试的属性：区别在于，后一种情况下的可测试属性仍然形成集合的布尔代数，而在前一种情况下，它们却没有。

构架这种区别的一种方法如下。一组国家的支持

γ

⊆

Δ

γ⊆δ是集合

S

（

γ

）

=

{

x

ε

X

∣

∃

ω

ε

γ

ω

（

x

）

>

0

}

s（γ）= {x∈X∃Ω∈γΩ（x）> 0}

属性时可能的结果

γ

γ获得。在某种意义上，如果两个属性得到相同的支持，则两个属性在经验上是无法区分的：我们无法通过单个测试的单个执行来区分它们。因此，我们可能希望识别具有物理上无法区分的经典属性的物理特性，或者等效地及其相关的支持。但是，如果我们希望遵守状态空间的物理属性为子集（而不是等效类别的子集）的程序，那么我们可以这样做，如下所示。定义映射

F

:

℘

（

X

）

→

℘

（

Δ

）

f：℘（x）→℘（δ）by

F

（

J

）

=

{

ω

ε

Δ

∣

S

（

ω

）

⊆

J

}

f（j）= {ω∈δs（ω）⊆}。映射

γ

→

F

（

S

（

γ

）

）

然后，γ→F（s（γ））是闭合操作员

℘

（

Δ

）

℘（δ）和封闭组的收集（即

F

）

f）是一个完整的集合晶格，在任意十字路口下关闭。[14]显然，古典属性 -

Δ

Δ-如果他们具有相同的闭合，则得到相同的支持，因此我们可以识别具有状态空间封闭子集的物理特性：