量子逻辑和概率论（二）

2.1 实在论量子逻辑

冯·诺依曼的《原理》中已经明确地将投影算子解释为代表物理系统的属性。然而，其中讨论的逻辑运算仅适用于通勤投影，这些投影由同时可判定的命题来识别。 1936 年，伯克霍夫和冯·诺依曼更进一步，提出将格论投影的相遇和连接解释为它们的合取和析取，无论它们是否可交换。该提案立即面临的问题是格子

L

（

H

）

L(H) 不具有分配性，因此无法为这些“量子”连接词提供真值泛函解释。冯·诺依曼和伯克霍夫毫不畏惧地提出，量子力学作为物理学框架的经验成功让人对命题逻辑分配律的普遍有效性产生了怀疑。他们的措辞仍然谨慎：

尽管逻辑学家通常认为否定的性质是最难经受批判性分析的性质，但力学研究指出分配恒等式是逻辑代数中最薄弱的环节。 （1936：837）

在 20 世纪 60 年代和 1970 年代初，许多作者，尤其是大卫·芬克尔斯坦 (David Finkelstein) 和希拉里·帕特南 (Hilary Putnam) 更积极地提出了这一论点，他们认为量子力学需要我们对逻辑本身的理解进行一场革命。普特南认为，“逻辑与几何一样是经验性的。 ......我们生活在一个非经典逻辑的世界”（[1968] 1979：184）。

对于普特南来说，以下要素

L

（

H

）

L(H) 表示对象拥有或不拥有的分类属性，与我们是否观察无关。由于量子力学的经验成功证实了这种物理性质的图景，因此根据这种观点，我们必须接受物理性质实际上结合在一起的方式不是布尔型的。对于普特南来说，逻辑很大程度上是对物理属性实际上如何结合在一起的研究，因此他得出​​结论，经典逻辑完全是错误的：分配律并不普遍有效。

经典地，如果

S

S 是物理系统的状态集，那么每个子集

S

S 对应于系统的分类属性，反之亦然。在量子力学中，状态空间是（射影）单位球面

S

=

S

（

H

）

希尔伯特空间的 S=S(H)。然而，并非所有子集

S

S 对应于系统的量子力学特性。后者仅对应于特殊形式的子集

S

∩

中号

S∩M，对于

中号

M 的闭线性子空间

H

H. 特别地，只有这种形式的子集被分配了概率。这给我们留下了两个选择。一种是仅将这些特殊属性视为“真实的”（或“物理的”或“有意义的”），考虑到更一般的子集

S

S 根本不对应任何真正的分类属性。另一种是将“量子”属性视为系统所有物理（或至少是形而上学）合理但不一定可观察的属性集合的一个小子集。根据后一种观点，物理系统的所有属性的集合在其逻辑结构上完全是经典的，但我们拒绝将概率分配给不可观察的属性。 [3]

第二种立场虽然肯定与现实主义本身并不矛盾，但却涉及到“观察”、“测量”、“测试”或类似概念的区别——现实主义者在现实主义中常常极力避免这种概念。与基本物理理论的联系。当然，任何对统计物理理论（例如量子力学）的现实主义解释最终都必须对测量如何进行进行解释。也就是说，它必须说明“对象”和“探测”系统之间的哪些物理相互作用算作测量，以及这些相互作用如何导致探测系统演变成最终的“结果状态”，这些相互作用对应于——和与理论预测的结果具有相同的概率。这就是臭名昭著的测量问题。

事实上，普特南提出了他的量子逻辑实在论版本，为测量问题提供了（彻底的）解决方案：根据普特南的说法，测量问题（实际上还有所有其他量子力学“悖论”）是由于不正确地应用量子力学而产生的。分配律，因此一旦认识到这一点就消失了。然而，这一提议被广泛认为是错误的。[4]

如上所述，量子力学的现实主义解释必须小心地解释“可观察的

一个

A 在集合中有一个值

乙

B”。最简单和最传统的建议——通常被称为“特征态-特征值链接”（Fine [1973]）——是（*）成立当且仅当测量

一个

A 产生集合中的一个值

乙

B 具有确定性，即（量子力学！）概率为 1。虽然这确实给出了 (*) 的现实主义解释，[5] 它并没有提供测量问题的解决方案。事实上，我们可以用它来给出该问题的清晰表述：即使

一个

A 肯定会产生一个值

乙

B 测量时，除非量子态是测量的可观察量的本征态

一个

A、系统不具备任何对应的分类属性

一个

A 在集合中具有特定值

乙

B. Putnam 似乎认为 (*) 的现实主义解释应该包括分配给

一个

里面有一些未知的值

乙

B，量子力学给出了一个不平凡的概率。然而，尝试同时对所有可观察量进行此类分配与格里森定理相冲突。 [6]

2.2 运算量子逻辑

如果我们抛开对“测量”作为物理理论中的原始术语的顾虑，并接受“可测试”和不可测试属性之间的原则性区别，那么事实是

L

（

H

）

L(H) 不是布尔值，并不引人注目，并且本身不包含任何逻辑含义。从这种观点来看，量子力学是一种关于某些测量结果的可能统计分布的理论，其非经典“逻辑”简单地反映了并非所有可观察现象都可以同时观察到的事实。正因为如此，概率承载事件（或命题）的集合不像经典概率论那样丰富，并且相应地，可能的统计分布的集合受到的约束也不那么严格。该理论允许的一些“非经典”概率分布实际上在自然界中得到了体现，这也许令人惊讶，但决不需要我们对逻辑或概率的理解发生任何深刻的转变。

然而，这还不是定论。接受上述所有内容后，仍然存在一个问题：为什么测量结果的逻辑应该具有非常特殊的形式

L

（

H

）

L(H)，并且没有任何更一般的东西。[7]这个问题提出了这样一种观点，即量子力学的形式结构可能是由少数合理的假设以及观察到的现象中某些明显的规律性唯一决定的。这种可能性已经在冯·诺依曼的《Grundlagen》（以及他后来在连续几何方面的著作）中得到了考虑，但在乔治·麦基 [1957, 1963] 的著作中首先变得明确和纲领性。麦基提出了一系列六个公理，构建了一个非常保守的广义概率论，它支持实验命题的“逻辑”的构造，或者用他的术语来说，“问题”，具有西格玛正交模偏序结构集（有关这些术语的定义，请参阅第 4 节和补充文档《排序关系的基本理论》）。对于麦基来说，突出的问题是解释为什么这个偏序集应该同构于

L

（

H

）

长(高):

几乎所有现代量子力学都隐式或显式地基于以下假设，我们将其表述为公理：

公理七：量子力学中所有问题的偏序集同构于可分离的无限维希尔伯特空间的所有闭子空间的偏序集。

该公理与公理 I 至 VI 具有相当不同的特征。这些都具有一定程度的物理自然性和合理性。 Axiom VII 似乎完全是临时的。我们为什么能做到？我们可以证明这样做是合理的吗？ ……理想情况下，人们希望有一份物理上合理的假设清单，从中可以推导出公理 VII。如果没有这个，人们会想要一个列表，从中可以推断出该结构的一组可能性……除了其中一个之外，所有这些都可以被证明与适当计划的实验不一致。 [麦基 1963：71–72]

自从麦基写作以来，已经出现了大量的技术文献，探索他的公理框架的变化，以努力提供缺失的假设。本文的其余部分简要概述了该项目的现状。

3.广义概率论

我不会逐字重述麦基的公理，而是在广义概率论方法的背景下解释它们，因为 D. J. Foulis 和 C. H. Randall 在许多或多或少类似的可用方法中[8] 具有简单性和灵活性的某些优点。本节的参考文献是 Foulis、Greechie 和 Rüttimann [1992]； Foulis、Piron 和 Randall [1983]；兰德尔和福利斯[1983]；另见 Gudder [1989]； Wilce [2000b] 和 Wilce [2009] 进行调查。

3.1 离散经典概率论

从回顾经典概率论开始将会有所帮助。在最简单的表述中，经典概率论处理（离散）集合

乙

E 相互排斥的结果，如某些测量、实验等，以及可以在其上定义的各种概率权重，即映射

ω

:

乙

→

[

0

,

1

]

ω:E→[0,1] 总和为 1

乙

E.[9]

请注意，集合

Δ

（

乙

）

所有概率权重的 Δ(E)

乙

E 是凸的，因为给定任何序列

ω

1

,

ω

2

,

……

概率权重和任意序列的 ω1,ω2,...

t

1

,

t

2

,

……

t1,t2,... 非负实数的和为 1，凸和或“混合”

t

1

ω

1

+

t

2

ω

2

+

……

t1ω1+t2ω2+…（逐点取

乙

）

E) 又是一个概率权重。这个凸集的极值点正是“点质量”

δ

（

x

）

δ(x) 与结果相关

x

ε

乙

x ∈ E：

δ

（

x

）

（

y

）

=

1

如果

x

=

y

,

和

0

否则。

如果 x=y，则 δ(x)(y)=1，否则为 0。

因此，

Δ

（

乙

）

Δ(E) 是一个单纯形：每个点

ω

ε

Δ

（

乙

）

ωεΔ(E) 可以用一种独特的方式表示为极值点的凸组合，即：

ω

=

Σ

ω

（

x

）

δ

（

x

）

ω=Σω(x)δ(x)

我们还需要回忆一下随机变量的概念。如果

乙

E 是结果集并且

V

V，一些“值”集（实数、指针读数或其他），

V

V值随机变量只是一个映射

f

:

乙

→

V

f:E→V。启发式（但只需这样理解）是“测量”随机变量

f

f 通过“执行”由下式表示的实验

乙

E 并且，在获得结果后

x

ε

乙

x∈E，记录

f

（

x

）

f(x)作为测量值。请注意，如果

V

V 是一组实数，或者更一般地说，是向量空间的子集，我们可以定义

f

f 处于某种状态

ω

ε

Δ

（

乙

）

ω ε Δ(E) 由：

乙

（

f

,

ω

）

=

Σ

x

ε

乙

f

（

x

）

ω

（

x

）

。

E(f,ω)=Σx∈Ef(x)ω(x)。

3.2 测试空间

推广离散经典概率论的一个非常自然的方向是允许多种结果集，每个结果集代表不同的“实验”。为了形式化这一点，我们同意测试空间是非空集合的非空集合 A

乙

,

F

,

……

E、F、…，每个都被解释为经典概率论中的离散结果集。每套

乙

ε

一个

E∈A 称为检验。套装

X

=

∪

一个

X=∪A 属于所有测试的所有结果

一个

A 称为结果空间

一个

A. 请注意，我们允许不同的测试重叠，即具有共同的结果。[10]

如果

一个

A 是具有结果空间的测试空间

X

X，状态为

一个

A 是一个映射

ω

:

X

→

ω:X→ [0,1] 使得

Σ

x

ε

乙

ω

（

x

）

=

1

每次测试 Σx∈Eω(x)=1

乙

ε

一个

E∈A。因此，状态是对每个测试的概率权重的一致分配 - 一致的是，如果两个不同的测试共享一个共同的结果，则状态为该结果分配相同的概率，无论它是作为一个测试的结果还是另一个测试的结果而得到保障。 （这可以被视为对隐含在结构中的结果识别的规范性要求

一个

答：如果两个测试的结果在所有状态下不是等概率的，则不应识别它们。）所有状态的集合

一个

A 表示为

Ω

（

一个

）

Ω（A）。这是一个凸集，但与离散经典概率论中的情况相反，它通常不是单纯形。

随机变量的概念允许对测试空间的设置进行多种概括。让我们同意测试空间上的简单（实值）随机变量

一个

A 是一个映射

f

:

乙

→

右

f:E→R 其中

乙

E 是一个测试

一个

A. 我们定义期望值

f

f 处于某种状态

ω

ε

Ω

（

一个

）

ω∈Ω(A) 以显而易见的方式，即作为期望值

f

f 相对于限制得到的概率权重

ω

ω 至

乙

E（当然，前提是这个期望值存在）。人们可以通过采取适当的限制来继续定义更一般的随机变量类别（有关详细信息，请参见 Younce [1987]）。

在经典概率论（尤其是经典统计学）中，人们通常关注的不是所有可能的概率权重的集合，而是这些概率权重的某些指定子集（例如，属于给定分布族的子集）。因此，通过概率模型，我的意思是

（

一个

,

Δ

）

(A,Δ)由测试空间组成

一个

A 和一组指定的状态

Δ

⊆

Ω

（

一个

）

Δ⊆Ω(A) 开

一个

A.我会参考

一个

A 为测试空间并

Δ

Δ作为模型的状态空间。

现在我将指出这个框架如何适应成熟的经典概率论的通常测度论形式主义和量子概率论的希尔伯特空间形式主义。

3.3 科尔莫哥洛夫概率论

让

S

S 是一个集合，暂时理解为物理系统的状态空间，并且令

Σ

Σ 为

σ

子集的 σ 代数

S

S.我们可以考虑每个分区

乙

的E

S

S 成可数个成对不相交

Σ

Σ-可测量子集代表了想象中的完美实验的“粗粒度”近似，该实验将揭示系统的状态。让

一个

Σ

AΣ 是由所有此类分区组成的测试空间。请注意，结果设置为

一个

Σ

AΣ 是集合

X

=

Σ

∖

{

∅

}

X=Σ∖{∅} 非空

Σ

Σ-可测量子集

S

S.显然，概率权重

一个

Σ

AΣ 完全对应于可数加性概率测度

Σ

Σ。