量子逻辑和概率论（一）_数学联邦政治世界观()

首次发布于 2002 年 2 月 4 日星期一；实质性修订 2021 年 8 月 10 日星期二

在数学上，量子力学可以被视为基于非经典命题逻辑的非经典概率演算。更具体地说，在量子力学中，每个具有“物理量的值”形式的概率命题一个

A 位于范围内

乙

B”由希尔伯特空间上的投影算子表示

H. 它们形成非布尔（特别是非分配）邻补格。量子力学状态与该晶格上的概率度量（适当定义）完全对应。

我们该怎么办？一些人认为，量子力学的经验成功需要逻辑本身的革命。这种观点与对量子力学的现实解释的需求相关，即不以任何原始测量概念为基础的解释。与此相反，从操作角度解释量子力学，即准确地解释为一种测量理论，有着悠久的传统。根据后一种观点，在并非所有测量都兼容的情况下，测量结果的“逻辑”应该被证明不是布尔值，这并不奇怪。相反，谜团在于为什么它应该具有量子力学中特定的非布尔结构。围绕为这种结构提供一些独立动机的计划，已经出现了大量文献——理想情况下，通过从管理广义概率论的更原始、更合理的公理中导出它。

1. 作为概率演算的量子力学

1.1 量子概率概述

1.2 预测的“逻辑”

1.3 概率测度和格里森定理

1.4 质量管理的重构

2. 量子逻辑的解读

2.1 实在论量子逻辑

2.2 运算量子逻辑

3.广义概率论

3.1 离散经典概率论

3.2 测试空间

3.3 科尔莫哥洛夫概率论

3.4 量子概率论

4. 与概率模型相关的逻辑

4.1 运算逻辑

4.2 正交相干性

4.3 属性格

5. 皮隆定理

5.1 条件作用和覆盖律

6. 经典表征

6.1 经典嵌入

6.2 上下文隐藏变量

7. 复合系统

7.1 福利斯-兰德尔例子

7.2 阿茨定理

7.3 后果

8.效应代数

8.1 量子效应和奈马克定理

8.2 序列效应代数

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1. 作为概率演算的量子力学

毫无争议（尽管值得注意）的是，量子力学的形式装置巧妙地简化为经典概率的推广，其中事件的布尔代数在后者中所扮演的角色被投影算子的“量子逻辑”所取代。希尔伯特空间。[1]此外，量子力学的通常统计解释要求我们从字面上理解这种广义量子概率论——也就是说，不仅仅是其经典对应物的形式模拟，而是真正的机会学说。在本节中，我将调查量子概率论及其支持的量子逻辑。 [2]

[有关希尔伯特空间的更多背景信息，请参阅量子力学条目。有关有序集和格的更多背景信息，请参阅补充文档：有序关系的基本理论。这些补充的概念和结果解释将在下文中自由使用。]

1.1 量子概率概述

冯·诺依曼 [1932] 提出的量子概率形式主义假设每个物理系统都与一个（可分离的）希尔伯特空间相关联

H，其单位向量对应于系统可能的物理状态。每个“可观察”实值随机量都由一个自伴算子表示

一个

上一个

H，其频谱是可能值的集合

一个

A、如果

你

u 是域中的单位向量

一个

A，表示一个状态，则表示的可观察值的期望值

一个

这种状态下的 A 由内积给出

⟨

一个

你

⟩

⟨Au,u⟩。由两个运算符表示的可观察量

一个

一个和

乙

B 是可通约的当且仅当

一个

一个和

乙

B 通勤，即 AB = BA。（有关进一步讨论，请参阅量子力学条目。）

1.2 预测的“逻辑”

正如冯·诺依曼所强调的，

{

}

{0,1} 值的可观察量可以被视为关于系统状态的编码命题，或者用他的措辞来说，系统状态的属性。不难证明自伴算子

磷

P 的谱包含在两点集中

{

}

{0,1} 必须是投影； IE。，

磷

P2=P。这些算子与闭子空间一一对应

H.确实，如果

磷

P是投影，其范围是闭的，任何闭子空间都是唯一投影的范围。如果

你

u 是任意单位向量，那么

⟨

磷

你

⟩

磷

你

⟨Pu,u⟩=||Pu||2 是下式表示的状态下相应可观察量的期望值

你

u。由于这个可观察量是

{

}

{0,1} 值，我们可以将此期望值解释为可观测值的测量将产生“肯定”答案 1 的概率。特别是，当且仅当 Pu = u；肯定答案的概率为 1；那是，

你

u 位于以下范围内

磷

P. 冯·诺依曼的结论是

……一方面是物理系统的属性，另一方面是预测之间的关系，使得一种逻辑演算成为可能。然而，与普通逻辑的概念相反，该系统通过量子力学特有的“同时可判定性”概念进行了扩展。（1932：253）

让我们来看看这种预测的“逻辑演算”。按集合包含排序，闭子空间

H 形成一个完全格，其中一组子空间的交集（最大下界）是它们的交集，而它们的连接（最小上界）是它们并集的闭跨度。由于典型的封闭子空间具有无限多个互补的封闭子空间，因此该格不是分布式的；然而，它是通过映射进行邻补的

中号

→

中号

⊥

{

∣

∀

你

中号

（

⟨

你

⟩

）

}

。

M→M⊥={v∈H∣∀u∈M(⟨v,u⟩=0)}。

鉴于上述封闭子空间和投影之间的一一对应关系，我们可以将集合强加于

（

）

L(H) 完全正交补格的结构，定义

磷

≤

问

P≤Q，其中

跑

（

磷

）

⊆

跑

（

问

）

ran(P)⊆ran(Q) 且

磷

′

磷

P′=1−P（因此

跑

（

磷

′

）

跑

（

磷

）

⊥

）

ran(P′)=ran(P)⊥)。很简单

磷

≤

问

P≤Q 以防万一

磷

问

磷

PQ=QP=P。更一般地，如果 PQ = QP，则

磷

问

磷

∧

问

PQ=P∧Q，满足

磷

P 和

问

秦

（

）

左（高）；同样在这种情况下，它们的连接由下式给出

磷

∨

问

磷

问

磷

问

P∨Q=P+Q−PQ。

1.1 引理：

让

磷

P 和

问

Q 是希尔伯特空间上的投影算子

H. 以下是等效的：

磷

问

磷

PQ=QP

的亚晶格

（

）

L(H) 生成为

磷

问

磷

′

P,Q,P′ 和

问

′

Q′ 是布尔值

磷

问

P,Q 位于公共布尔次正交格中

（

）

左（高）。

秉承交换可观测量（特别是投影）同时可测量的观点，我们得出结论，布尔次正交格的成员

（

）

L(H)可同时测试。这表明我们可以维持对应用于通勤预测的相遇、连接和邻补的经典逻辑解释。

1.3 概率测度和格里森定理

上述讨论引发了以下讨论。通话预测

磷

P 和

问

Q 正交，并写

磷

⊥

问

P⊥Q 当且仅当

磷

≤

问

′

P≤Q′。注意

磷

⊥

问

P⊥Q 当且仅当

磷

问

磷

PQ=QP=0。如果

磷

P 和

问

Q 是正交投影，那么它们的连接就是它们的和；传统上，这表示为

磷

⊕

问

P⊕Q。我们将恒等映射表示为

H 通过

1.2 定义：

（可数加性）概率测度

（

）

L(H) 是一个映射

→

μ:L→ [0,1] 使得

（

）

μ(1)=1 并且，对于任何成对正交投影序列

磷

我

Pi,i=1,2,…

（

⊕

我

磷

我

）

我

（

磷

我

）

μ(⊕iPi)=Σiμ(Pi)

这是我们可以制造概率度量的一种方法

（

）

左（高）。让

你

u 是一个单位向量

H，并设置

你

（

磷

）

⟨

磷

你

⟩

μu(P)=⟨Pu,u⟩。这给出了通常的量子力学概率公式：

磷

P 在该状态下的值为 1

你

u。请注意，我们还可以表达

你

μu为

你

（

磷

）

时间

（

磷

你

）

μu(P)=Tr(PPu)，其中

磷

你

Pu 是与单位向量相关的一维投影

你

你，即

磷

你

（

）

⟨

你

⟩

你

Pu(x)=⟨x,u⟩u 对于所有

x∈H。

更一般地说，如果

我

……

μi,i=1,2,…, 是概率度量

（

）

L(H)，那么任何“混合”或凸组合也是如此

我

μ=Σitiμi 其中

≤

我

≤

0≤ti≤1且

我

Σiti=1。给定任意序列

你

……

u1,u2,…，单位向量，让

我

你

我

μi=μui 并让

磷

我

磷

你

我

Pi=Pui。形成操作符

瓦

磷

……

W=t1P1+t2P2+…,

有人看到

（

磷

）

时间

（

磷

）

时间

（

磷

）

……

时间

（

瓦

磷

）

μ(P)=t1Tr(PP1)+t2Tr(PP2)+…=Tr(WP)

以这种方式表达为一维投影的凸组合的算子称为密度算子。密度算子是一般（纯或“混合”）量子力学状态的标准数学表示。我们刚刚看到每个密度算子

瓦

W 产生可数加性概率测度

（

）

左（高）。 A. Gleason [1957] 提出的以下引人注目的相反表明，概率测度理论

（

）

L(H) 与（混合）量子力学态理论同延

小时：

1.3 格里森定理：

让

H 有尺寸

＞

＞2.然后每个可数加性概率测度

（

）

L(H) 的形式为

（

磷

）

时间

（

瓦

磷

）

μ(P)=Tr(WP)，对于密度算子

瓦

赢了

格里森定理的一个重要结论是

（

）

L(H) 不允许任何只有值 0 和 1 的概率测度。要看到这一点，请注意对于任何密度算子

瓦

W，映射

你

→

⟨

瓦

你

⟩

u→⟨Wu,u⟩ 在单位球面上连续

H. 但由于后者是连通的，因此它上面没有连续函数只能取 0 和 1 这两个值。这个结果通常用来排除“隐藏变量”的可能性——这个问题在第 6 节中有更详细的讨论。

1.4 质量管理的重构

从与物理系统相关的“实验命题”以上述方式由投影编码的单一前提出发，我们可以重建量子力学形式装置的其余部分。当然，第一步是格里森定理，它告诉我们概率度量

（

）

L(H)对应于密度算子。仍有待恢复，例如，自伴算子对“可观察量”的表示，以及动力学（酉演化）。前者可以借助谱定理来恢复，后者则可以借助 E. Wigner 关于群射影表示的深层定理来恢复。另请参见 R. Wright [1980]。这种重建的详细概述（涉及一些明显不平凡的数学）可以在 Varadarajan [1985] 的书中找到。要记住的一点是，一旦量子逻辑骨架

（

）

L(H) 就位后，量子力学的其余统计和动力学装置基本上就固定了。那么，从这个意义上说，量子力学——或者至少是它的数学框架——可以简化为量子逻辑及其伴随的概率论。

2. 量子逻辑的解读

基于 QM 的概率论还原

（

）

L(H) 在数学上是令人信服的，但它告诉我们关于 QM 的什么——或者假设 QM 是一个正确且完整的物理理论，关于世界的什么？换句话说，我们如何解释量子逻辑

（

）

左（高）？答案将取决于我们如何解压缩上面自由使用的短语，

(*) 可观察值