一阶模型理论（二） (6-5)

据说具有此属性的线性有序结构是最小的。 （名称的想法是O-MIMIMALITY是一种“强大最小值”的类似形式，其形式是对携带线性排序的结构有意义的形式，WHONES'O-'订购。）

1982年，Lou Van Den Dies表明，实数是O-Minimal领域的事实给出了关于可定义的更高尺寸集的大量有用信息，例如真正平面的可定义子集的系列。 在此之后，朱莉娅骑士，Anand Pillay和Charles Steinhorn注意到，如果结构A是最小的，那么任何构造都是等于A的任何结构，并且Van DEN干燥的高维可定义集合适用于所有这些结构。 这些结果导致了模型理论与功能理论之间的前沿的活动。 解决了模型理论和功能理论的几个旧问题。 Alex Wilkie表明，具有指数符号的实数为O-Minimal，具有模型完整的完整理论，从而对Tarski的旧问题进行了肯定的答案，虽然他的方法远离了宪法分析，tarski铭记。 （这是我们需要记住模型完整和具有量化消除之间的差异的一种情况;请参见上面的第2节。这个特定理论是否具有量化的问题更加困难，并且与称为Schanuel的猜想的数字理论的深刻猜想密切相关;看Macintyre和Wilkie。）我们现在以这样的方式了解到实数为实际数字的有趣功能的广泛方式，使得所得到的结构仍然是O-最小的（并且因此在数学上易行的某种意义上）。 van Den Dries敦促O-Minimal结构为开发亚历山大·格罗罗敦克服的“驯服拓扑”程序提供了良好的环境。

2006年，Jonathan Pila和Alex Wilkie表明，只要仅使用多项式不等式定义的子集，RN可定数在真实领域的O最小扩展中的亚群具有很少的合理点。 随后，遵循由Pila和Umberto Zannier谴责的策略，谴责Manin-Mumford猜想各种作者使用这种O最小的计数定理来解决蒸番啶几何形状中的一些重要开放问题。

Kobi Peterzil和Sergei Starchenko开发了一种o - 最小复杂分析的理论。 正如与复杂分析的经典方法一样，可以将复数数解释为一组有序的实数，并通过涉及其真实和虚部的通常规则定义的加法和乘法。 它们的结果在该地区，它们的代数定理，它断言，如果CN的子集是复杂的分析（意味着它被关闭并且通过有限的许多复杂的分析函数的消失而被局部地定义），并且在一些O最小的扩展中可定义在真实场中，它必须是代数，这是由多项式方程的消失定义，是最引人注目的结果，并且在功能超越和均匀动态的研究中已经存在强烈的后果。

所有三个程序都会为证明，结构和分类产生新技术。 正如我们所期望的那样，研究人员探讨了每种技术的应用范围。 其中一个结果是出现了几个有用的一阶层的一阶层理论，与三个方案中的一个以上有关。 例如，Shelah分类理论的核心工具是他对分叉的概念，是依赖关系的早期代数概念的深远泛化。 简单理论的阶级由叉子具有一定的良好特性而定义，而玫瑰色理论的阶级的特征在于存在良好的独立概念，来自forking叉的进一步普通的概括; 简单理论的几个自然例子来到几何模型理论中的光，并且O最小结构的完整理论是玫瑰色理论的示例。 其他阶段的理论，通过增加模糊缩写，如“不是更强大的订单财产，一个”的理论，已经被孤立，其中一些看似特征的稳定理论的特征持续到修改形式。 例如，上述NSOP1由不存在某种树配置来定义，而是通过存在良好的独立理论的特征，这是以“金独立”的名义。 与这些技术进步平行，一阶模型理论继续在数量理论，功能分析和纯粹的和甚至应用的数学的数学中的问题中更加密切地参与。

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