一阶模型理论（一） (5-5)

假设L和M是一阶语言，m是包含L和M的最小的一阶语言，L≠M是由L和M中的所有公式组成的语言，假设T是L，U是M的理论，而且否（l∪m） - 结构既是u的模型，那么在所有型号的所有模型中都有一个句子φ，在所有模型中的所有模型中都是如此。（这个句子φ称为插值。）还有每个谓词符号φ的阳性发生在T的某些句子中存在阳性发生以及在U的某些句子中发生负面发生，并且相反，在φ中的负面发生的每个谓词符号都有在T的某些句子中存在负面发生以及在U的某些句子中的阳性发生。

本定理有几种证明，并非所有这些都是模型理论。 如果没有最后一句话，定理被称为克雷格的插值定理，因为威廉·克雷格在罗杰林登找到了1959年的全面陈述前几年。正如当时克雷格指出的那样，他的插值定理给出了Evert Beth的可命定定理的简洁证明，如下所示。

假设L是一阶语言，M是通过添加到一个新的谓词符号R.的一阶语言。假设T是一个在M中的理论。我们说T隐含地定义R，如果它是假的，那么有两个是T的模型有两个M-结构相同的元素，并以相同的方式解释L的所有符号，但以不同方式解释符号r。 我们说，如果存在L的公式φ（x1，...，xn），则在每个模型中定义R，使得在T的每个模型中，通过完全相同的n组（a1，...，a）满足公式φ和r（x1，...，xn）元素。 很容易看出，如果t明确定义R，那么它隐含地定义R. （这一事实被称为PADOA的方法; PADOA使用了隐性可定定性的失败，作为证明明确可定定性的失败的方式。）Beth的定理是匡威：

假设L，M，R和T如上所述。 如果t隐含地定义R，则T明确定义R。

3.4省略类型定理

本定理需要一些初步定义。 假设L是一阶语言，T是L中的完整理论，并且φ是L的一组公式，其中所有具有自由变量x（和没有其他自由变量）。 我们说，如果存在满足φ中的所有公式的A的元素，则L-Surruction A实现φ; 如果A没有这样的元素，我们说省略φ。 如果T包括句子∃xψ（x）和句子∀x（ψ（x）→φ（x））是φ（x）是a的φ中的公式。 如果在T中存在φ的支持，则不难以看出，每个模型都实现了φ。 交谈并不总是如此，但省略类型定理告诉我们，如果我们将自己限制为可数一阶语言，则为真实：

假设L是一阶语言，它具有多阶语言，这些语言是许多公式。 假设T在L中是一个完整的理论，并且φ是L的一组公式，所有这些都具有自由变量x。 终于假设只有几个元素的每个模型都实现了φ。 然后在T中存在φ的支持（换句话说，存在有限的原因，为什么在T.的任何模型中不能省略“类型”φ）

省略类型定理回到20世纪50年代中期。 它非常肯定取决于一阶和可数的语言。 它具有几种有用的概括，例如模型 - 理论强制，这是设定理论中的迫使结构的类似物。 事实上，用于模型 - 理论强制的游戏（参见逻辑和游戏的条目）可以调整以证明省略类型定理。 对于不可数的一阶语言，有类似但更复杂的定理; 其中一些可以释放为无数语言的省略类型定理。

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