一阶模型理论（一） (5-2)

据说，两个是具有L的模型的模型，据说是对等等同的。 基本等价是所有L-Stactures类的等价关系。 L-Surity A中的所有句子的所有句子都称为A的完整理论，在符号TH（a）中。 据说一些结构A的理论是完整的。 （通过一阶逻辑的完整性定理，在其上看到古典逻辑的条目，如果它仅在句法上是最大一致的，则才完成理论。）如果且仅当TH（a）= th（b）。

要继续实地R的实际数字的示例：是否两个给定的结构是或不是次要的等价物，它往往并不明显。 模型理论前的最大成就之一是Tarski在1930年（R）的描述（他只在战争之后全面发表;在下面的书目中看到他的书）。 这种描述暗示了与R的结构等同于R是真实封闭的字段，这是一类已经自己的代数所知的字段。

当数学家介绍一类结构时，他们喜欢定义它们作为这些结构之间的基本地图。 相同签名K之间的基本地图称为同态，定义如下。 来自结构A至结构B的同性态是具有来自DOM（a）至dom（b）的函数f，其具有用于每个原子公式φ（v1，...，Vn）和a的元素的任何n组α=（a1，...，a），

a⊨[a]⇒[b]

其中B是（f（a1），...，f（a））。 如果我们在引用的条件下替代'⇔'，我们说f是进入b的嵌入。由于语言包括=，进入b的嵌入始终是一对一的，但它不需要进入B的域。如果它是然后，来自Dom（B）至Dom（a）的逆图也是同态性，并且嵌入及其逆均据说是同构。 我们说，如果有一个到另一个结构，两个结构是同义的。 同构是固定签名K的所有结构类的等价关系。如果两个结构是同性恋，那么它们共享所有模型 - 理论属性; 特别是它们源于等同。

如果A和B是具有DOM（a）DOM（a）的签名K的结构，并且K中的符号中的解释只是对B中的解释的限制，然后我们说A是B的子结构，相反，B是一个扩展of。此外，如果还有一些不在A中的元素，我们说A是B和B的适当子结构是A的适当延伸。如果B是结构，并且X是DOM（B）的非空的子集，则B的独特最小的子结构域包含所有X.它被称为由X生成的B的子结构，我们通过首先添加到X所有元素CB，其中C是k的单独常数，然后在F是k的功能符号下关闭。

例如，由数字1生成的字段R的子结构由1,0（因为它由常数0命名），1 + 1,1 + 1 + 1等，-1，-2等，换句话说整数环。 （由于乘法也无需关闭，因为整数集在乘法下已经关闭。）如果我们也包含1 / x的符号，则1将由1生成的子结构是Rational Numbers的领域。 因此，子结构的概念对签名的选择敏感。

2.基本地图

让我成为一阶语言，让A和B成为L-Surructures。 假设e是一个函数，该功能是B的一些元素的函数。如果每当元素A1，......，e的域中的一个元素A1，......，a的α（x1，...，xn）在a中的公式φ（x1，...，xn）中，它们的图像均可满足于B中的配方相同; 在符号

a∈Φ（a1，...，a）⇒（e（a1），...，e（a））。

我们说E是一个基本的嵌入A进入B，如果e是基本地图，其域是A的整个域。顾名思义，基本嵌入式始终嵌入。

如果从A到B的基本嵌入，则A和B次数是等效的。 另一方面，在次要的等效结构，甚至在同构之间的嵌入，不需要是基本的。 （例如，用由0和+组成的签名，将每个整数N到2n的Z为Z为Z为Z为2N的签名是嵌入的，并且当然Z对其自身而言，Z为Z为Z为Z为Z。初级，因为1满足公式¬∃y（Y + Y = V1），但是2没有。）

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