一阶模型理论（一） (5-1)

一阶模型理论，也称为古典模型理论，是数学的分支，这些分支处理一阶语言的描述与满足这些描述的结构之间的关系。 从一个角度来看，这是一个充满活力的数学研究领域，使逻辑方法（特别是定义理论）承担古典数学的深层问题。 从另一个角度来看，一阶模型理论是模型理论的其余部分的范式; 它是最初的模型理论的更广泛想法的领域。

1.一阶语言和结构

2.基本地图

3.五个大理想理

4.三个有用的建筑

5.三个成功的计划

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.一阶语言和结构

数学模型理论带有厚重的符号，HTML不是最好的容器。 在下文中，句法对象（语言，理论，句子）通常用罗马或希腊字母（例如L，T，φ）和诸如结构和它们的元素的设置 - 理论对象以Italic（A，A）编写。 两个例外是变量是斜体（x，y），并且用小写罗马字母（a，b）写入该元素序列。

我们回忆起并从古典逻辑和模型理论的条目中重新定义一些定义。 签名是一组各个常量，谓词符号和功能符号; 每个谓词符号和功能符号具有ARITITY（例如，如果它是2），则为二进制。 每个签名k通过与签名中的符号中的符号与逻辑符号（包括=）和标点符号一起构成公式，产生一阶语言。

如果k是签名，那么签名K的结构表示a，包括以下项目：

一个名为A域和书面DOM（A）的集合; 通常认为是非空的;

对于每个单独的常数C，Dom（a）的元素Ca;

对于ARITY N的每个谓词符号P，在DOM（a）上的n-ary关系pa;

对于ARITY N的每个功能符号F，来自DOM（A）到DOM（A）的N-ARY函数FA。

A的元素是DOM（a）的元素。 同样，A的基数或力量是其域的基数。 由于我们可以从它生成的一阶语言L恢复签名k，因此我们可以将签名K的结构称为L-结构。 我们将C作为结构A中的元素CA的名称，同样使用其他符号。

例如，实数的字段形成结构R，该结构R为该元素是实数，具有由单个常数0组成的签名，以命名为零，一个1-ary函数符号 - 对于减号，以及两个2-ary函数符号+和两个2-ary函数符号+和。 对于加号和时间。 乍一看，我们无法将符号添加到表达1 / x，因为必须在结构的整个域上定义所有命名函数，并且没有此类实数为1/0。 但在第二个想法上，这不是一个严重的问题; 任何能力的数学家都把条件'x划分在除以x之前，所以它永远不会重要1/0的价值，我们可以无害地将它带到42.但大多数模型理论家对任何类型的划分都不舒服，所以他们坚持加上，时间和减去。

如果L是签名K的一阶语言，则tarski的模型 - 理论真相定义告诉我们，当A中的L句子是真实的，并且当A变量的元素的分配满足A中的L公式时。而不是谈论满足公式的作业，模型理论家通常讲述由公式φ（V1，...，Vn）定义的A的元素的N组元元件集; 连接是N组（A1，...，A）在定义的集合中，如果才能仅当每个VI到AI的分配满足公式。

如果φ是一个句子，我们写了

a⊨

表示φ是真实的，或换句话说，a是φ的模型。 如果φ（v1，...，vn）是具有自由变量的公式，如图所示，我们写

a⊨[a]

表示n组元组A处于由φ定义的集合。 （古典逻辑上的条目使用了符号'a，s⊨'，其中s是L的所有变量的任何分配，它为每个变量Vi inφ在n-tuple a中的第i个元素中排放。）

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