逻辑与概率（二） (6-4)

Segerberg (1971) 和 Gärdenfors (1975a, 1975b) 采取了另一条路线，他们以 de Finetti (1937)、Kraft、Pratt 和 Seidenberg (1959) 以及 Scott (1964) 的早期工作为基础。他们引入了二元运算符 ≥；公式 ψ≥ψ 应理解为“ψ 至少与 ψ 一样可能”（形式为：P(ψ)≥P(ψ)）。关键思想是，人们可以完全公理化 ≥ 的行为，而无需使用各个公式的“基础”概率。应该注意的是，通过比较概率（二元运算符），也可以表达一些绝对概率属性（一元运算符）。例如， ψ≥⊤ 表示 ψ 的概率为 1，而 ψ≥ψ 表示 ψ 的概率至少为 1/2。最近，Delgrande和Renne（2015）和Delgrande，Renne和Sack（2019）通过允许≥的参数为公式的有限序列（可能不同长度），从而进一步扩展了定性方法。公式（ϕ1，…，ϕn）≥（ψ1，…，ψm）非正式地读取为“ ϕi的概率的总和至少与ψJ的概率的总和一样高”。可以将所得逻辑完全构成公理，并且可以捕获任何有理数量，从而使其与某些定量概率逻辑一样表现力。但是，它仍然与定量概率逻辑不同，因为语言中没有数字。在以下各节中，我们将注意力转移到定量概率逻辑上。

3.2概率术语的总和和产品

命题概率逻辑是命题逻辑的扩展，这些命题逻辑表达概率项之间的数值关系P（φ）。一个简单的命题概率逻辑增加了形式p（φ）≥q的命题逻辑公式，其中φ是命题公式，q是一个数字。这样的公式断言φ的概率至少为q。语义是使用组成概率函数p的模型正式化的，该模型在集合ω上进行了p，其元素分别赋予命题逻辑的原子命题的真实分配。因此，如果该元素的真实分配使命题公式为真，则在ω元素上是正确的。当且仅当φ为true的ω元素集的概率p时，模型中的公式p（φ）≥q是正确的。参见Ognjanović等人的第3章。 （2016）概述了这种命题概率逻辑。

一些命题概率逻辑包括对象语言中的其他类型的公式，例如涉及概率项的总和和产品的公式。涉及总和的吸引力可以通过概率函数的加性条件来阐明（请参见第2.1节），每当€（ϕ∧ψ）为p时重言式，或等效地为p（ϕ∧ψ）+p（ϕ∧∧）= p（ϕ）。明确涉及概率总和的概率逻辑通常包括概率项的线性组合，例如Fagin等人。 （1990）。在这里，命题逻辑以A1P（ϕ1）+⋯+ANP（ϕn）≥b的形式的公式扩展，其中N是一个正整数，在公式到公式之间可能有所不同，A1，AN和B都是理性数字。以下是一些可以表达的示例。

p（ϕ）≤q通过-p（ϕ）≥ -q，

p（ϕ）＜q by -（p（ϕ）≥q），

p（ϕ）= q通过p（ϕ）≥q∧p（ϕ）≤q。

p（ϕ）≥p（ψ）p（ϕ）-p（ψ）≥0。

具有或没有线性组合的表达能力：尽管线性组合提供了一种方便的方式来表达概率项之间的众多关系，但没有概率项的语言仍然非常强大。考虑某些命题公式ϕ和Rational Q的语言限制为p（ϕ）≥q的公式。我们可以定义

p（ϕ）≤q通过p（¬ϕ）≥1-q，

考虑到命题补充的概率等于1减去命题的概率，这是合理的。公式p（ϕ）＜q and p（ϕ）= q可以像上面一样无线性组合定义。使用这种限制的概率语言，我们可以以较不直接的方式进行添加性。公式

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