逻辑与概率（二） (6-3)

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并称为标准概率语义。

Nilsson 在概率逻辑方面的工作（1986、1993）引发了人工智能中概率推理的大量研究（Hansen 和 Jaumard 2000；Haenni 等人 2011 第 2 章）。然而，应该指出的是，虽然定理 5 指出函数 L ， 和 U ， 可以有效地从 Γ∪{ phi} 中的句子确定，但这个问题的计算复杂度相当高（Georgakopoulos et al. 1988， Kavvadias 和 Papadimitriou 1990），因此在现实应用中快速找到这些函数在计算上变得不可行。基于概率论证系统和概率网络的当代方法能够更好地应对这些计算挑战。此外，概率论证系统与 Dempster-Shafer 理论密切相关（Dempster 1968；Shafer 1976；Haenni 和 Lehmann 2003）。然而，对这些方法的扩展讨论超出了本条目（当前版本）的范围；请参阅（Haenni 等人，2011 年）了解最近的一项调查。

3. 基本概率算子

在本节中，我们将研究用相当基本的概率运算符扩展命题语言 L 的概率逻辑。它们与第 2 节中的逻辑不同，因为这里的逻辑涉及对象语言中的概率运算符。 3.1 节讨论定性概率算子； 3.2 节讨论定量概率算子。

3.1 不确定性的定性表示

在许多应用中，概率的定性理论可能有用，甚至是必要的。在某些情况下，没有可用频率来估计概率，或者实际上不可能获得这些频率。此外，人们常常愿意比较两个陈述的概率（“ψ 比 ψ 更有可能”），而无法单独为每个陈述分配明确的概率（Szolovits 和 Pauker 1978，Halpern 和 Rabin 1987）。在这种情况下，定性概率逻辑将很有用。

Hamblin (1959) 是最早的定性概率逻辑之一。该语言使用一元运算符 ◻ 进行扩展，可解读为“可能”。因此，诸如 ◻phi 之类的公式应被解读为“可能 phi”。这种“可能”的概念可以形式化为足够高的（数值）概率（即 P(phi)≥t，对于某个阈值 1/2＜t≤1），或者以合理性的形式表示，这是一种非概率的度量概括。 Burgess (1969) 进一步发展了这些系统，重点关注“高数值概率”解释。汉布林和伯吉斯都在他们的系统中引入了额外的算子（例如，表达形而上学的必然性和/或知识），并研究“可能”算子与这些其他模态算子之间的相互作用。然而，“可能”运算符本身已经显示了一些有趣的功能（独立于任何其他运算符）。如果它被解释为“足够高的概率”，那么它不满足原则(◻ψ∧◻ψ)→◻(ψ∧ψ)。这意味着它不是普通的模态运算符，并且不能被赋予 Kripke（关系）语义。 Herzig 和 Longin (2003) 以及 Arló Costa (2005) 为这种“可能”算子提供了较弱的邻域语义系统，而 Yalcin (2010) 从更面向语言的角度讨论了它们的行为。

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