逻辑与概率（二） (6-2)

,

对于 p∧(q∨r) 的不确定性，这是比上面通过定理 2（即 9/11 和 5/11）获得的任何界限更严格的上限。

2.3 进一步概括

考虑到有效论证前提的不确定性（以及本质性程度），亚当斯定理允许我们计算结论不确定性的上限。当然，这些结果也可以用概率而不是不确定性来表达；然后它们得出结论概率的下限。例如，当用概率而不是不确定性表示时，定理 4 如下所示：

P(φ)≥1−

Σ

γ ε γ

E(γ)(1−P(γ))。

亚当斯的结果至少在两个方面受到限制：

它们仅提供结论概率的下限（给定前提概率）。从某种意义上说，这是最重要的界限：它代表了“最坏情况”下结论的概率，这在实际应用中可能是有用的信息。然而，在某些应用中，结论概率的上限也可能提供信息。例如，如果一个人知道这个概率的上限为 0.4，那么一个人可能会决定避免某些行动（如果这个上限是（已知）0.9，那么一个人就会执行这些行动）。

他们假设前提的确切概率是已知的。然而，在实际应用中，可能只有关于前提 γ 的概率的部分信息：其确切值未知，但已知它具有下界 a 和上限 b (Walley 1991)。在此类应用中，有一种方法可以根据前提概率的上限和下限来计算结论概率的（最佳）下限和上限。

Hailperin (1965, 1984, 1986, 1996) 和 Nilsson (1986) 使用线性规划的方法表明这两个限制是可以克服的。他们最重要的结果如下：

定理 5. 考虑一个参数 (Г, ψ)，其中 |Г|=n。存在函数 LГ,Ф:R2n→R 和 UГ,Ф:R2n→R，使得对于任何概率函数 P，以下成立：如果 ai≤P(γi)≤bi 对于 1≤i≤n，则：

L , , (a1,…,an,b1,…,bn)≤P( )≤ U , , (a1,…,an,b1,…,bn)。

第 1 项中的边界是最优的，因为存在概率函数 PL 和 PU，使得 ai≤PL(γi)、PU(γi)≤bi（对于 1≤i≤n），并且

LГ, ψ(a1,…,an,b1,…,bn)=PL(ψ)

和

PU(Φ)=UГ,Φ(a1,…,an,b1,…,bn)。

函数 LГ,Г 和 UГ,Г 可以根据 Г∪{Г} 中句子的布尔结构有效地确定。

这个结果还可以用来定义另一种概率有效性概念，我们将其称为 Hailperin 概率有效性或简称为 h 有效性。这个概念不是针对公式定义的，而是针对由公式和 [0,1] 子区间组成的对定义的。如果 Xi 是与前提 γi∈Γ 相关的区间，Y 是与结论 ψ 相关的区间，则论证 (Γ,ψ) 被认为是 h 有效的，写作 Γ⊨hψ，当且仅当对于所有概率函数P：

如果 P(γi)εXi 对于 1≤i≤n，则 P(ψ)εY

在海尼等人。 （2011）这写成

γ

X1

1

,…,γ

Xn

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