逻辑与概率（二） (6-1)

因此，定理 2 的弱点在于它考虑了不相关或无关紧要的前提（的不确定性）。为了获得该定理的改进版本，需要更细粒度的“本质”概念。在上例中的论证 A 中，前提 s 是完全不相关的。类似地，前提 p 是绝对相关的，因为没有这个前提，结论 p∧(q∨r) 就不再可推导。最后，前提子集 {q,r} 是“介于两者之间”：q 和 r 一起是相关的（如果两个前提都被省略，则结论不再可导），但它们中的每一个都可以单独省略（同时保持可得出结论）。

本质性的概念形式化如下：

基本前提设定。给定一个有效的参数 (Г, ψ)，当且仅当 Г− Г′⊭ ψ 时，集合 Т′⊆Ч 是必要的。

本质程度。给定一个有效的参数 (Г,ψ) 和一个前提 γ ∈ Г，γ 的本质性程度，写作 E(γ)，为 1/|Sγ|，其中 |Sγ|是包含 γ 的最小本质前提集的基数。如果γ不属于任何最小本质前提集，则γ的本质度为0。

通过这些定义，可以建立定理 2 的精炼版本：

定理 4. 考虑一个有效的论证 (Г,ψ)。则结论 的不确定性不能超过前提 γ ε 的不确定性的加权和，以本质程度为权重。正式：

U(φ)≤

Σ

γ ε γ

E(γ)U(γ)。

定理 4 的证明比定理 2 的证明要困难得多：定理 2 仅需要基本的概率论，而定理 4 则使用线性规划方法进行证明（Adams 和 Levine 1975；Goldman 和 Tucker 1956）。定理 4 将定理 2 作为一种特殊情况：如果所有前提都是相关的（即本质性程度为 1），则定理 4 产生与定理 2 相同的上限。此外，定理 4 没有考虑不相关的前提（即前提）本质性程度为 0) 来计算该上限；因此，如果一个前提与论证的有效性无关，那么它的不确定性就不会延续到结论中。最后，请注意，由于 E(γ)ε[0,1] 对于所有 γεΓ，因此成立

Σ

γ ε γ

E(γ)U(γ)≤

Σ

γ ε γ

U(γ),

即，定理 4 通常产生比定理 2 更严格的上限。为了说明这一点，请再次考虑带有前提 p,q,r,s 和结论 p∧(q∨r) 的论证。回想一下 P(p)=10/11、P(q)=P(r)=9/11 和 P(s)=7/11。我们可以计算前提的本质程度：E(p)=1，E(q)=E(r)=1/2，E(s)=0。因此定理 4 得出

U(p∧(q∨r))≤

(1×

1

11

)+(

1

2

×

2

11

)+(

1

2

×

2

11

)+(0×

4

11

)=

3

11

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