逻辑与概率（一） (6-5)

在上一小节中，我们讨论了概率保存的第一原理，即如果所有前提的概率为 1，则结论的概率也为 1。当然，当前提不是绝对确定时，会出现更有趣的情况。考虑具有前提 p∨q 和 p→q 以及结论 q 的有效论证（符号“→”表示真值条件物质条件）。人们可以很容易地证明

P(q)=P(p∨q)+P(p→q)−1。

换句话说，如果我们知道论证前提的概率，那么我们就可以计算其结论的精确概率，从而为该特定论证的概率保存问题提供完整的答案（例如，如果 P(p∨ q)=6/7 且 P(p→q)=5/7，则 P(q)=4/7)。然而，一般来说，在给定前提概率的情况下，不可能计算出结论的准确概率；相反，我们所能期望的最好结果是结论概率有一个（严格的）上限和/或下限。我们现在将讨论 Adams（1998）计算此类界限的方法。

亚当斯的结果可以更容易地用不确定性而不是确定性（概率）来表述。给定概率函数 P:L→[0,1]，相应的不确定性函数 UP 定义为

UP:L→[0,1]: Φ↦UP(Φ):=1−P(Φ)。

如果概率函数 P 从上下文中很清楚，我们通常会简单地写成 U 而不是 UP。在本小节的其余部分（以及下一节）中，我们将假设所有论证都只有有限多个前提（考虑到经典命题逻辑的紧凑性，这不是一个重要的限制）。 Adams 的第一个主要结果最初由 Suppes (1966) 建立，现在可以表述如下：

定理2. 考虑一个有效的论证(Г,ψ)和一个概率函数P。那么结论Ф的不确定性不能超过前提γ∈Г的不确定性之和。正式：

U(φ)≤

Σ

γ ε γ

U(γ)。

首先，请注意，该定理将定理 1 包含为一种特殊情况：如果对于所有 γ ε γ P(γ)=1，则对于所有 γ ε γ U(γ)=0，因此 U(phi)≤ΣU (γ)=0，因此 P(phi)=1。此外，请注意，结论不确定性的上限取决于|Г|，即取决于前提的数量。如果一个有效的论证有少量前提，每个前提只有很小的不确定性（即较高的确定性），那么它的结论也将具有相当小的不确定性（即相当高的确定性）。相反，如果一个有效论证的前提具有较小的不确定性，那么如果该论证具有大量前提，则其结论只能是高度不确定的（这一相反原理的一个著名例证是 Kyburg 的彩票悖论，该悖论在本百科全书的认知悖论条目）。更具体地说，请注意，如果一个有效论证有三个前提，每个前提的不确定性均为 1/11，那么添加一个也具有不确定性 1/11 的前提不会影响论证的有效性，但会提高结论的不确定性从 3/11 到 4/11——从而使结论比最初的情况更加不确定。最后，定理 2 提供的上限是最优的，因为（在正确的条件下）结论的不确定性可以与其上限 ΣU(γ) 一致：

定理 3. 考虑一个有效的论证 (Г, ψ)，并假设前提集 Г 是一致的，并且每个前提 γ ∈ Г 都是相关的（即 Г−{γ}⊭ ψ）。那么存在概率函数 P:L→[0,1] 使得

UP( )=

Σ

γ ε γ

上（γ）。

定理 2 提供的上限也可用于定义有效性的概率概念。一个论证 (Г,ψ) 被认为是亚当斯概率有效的，写作 Г⊨aψ，当且仅当

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