逻辑与概率（一） (6-4)

因此，概率语义用概率函数 P:L→R 代替了经典命题逻辑的估值 v:L→{0,1}，其取实单位区间 [0,1] 中的值。因此，true (1) 和 false (0) 的经典真值可以被视为单位区间 [0,1] 的端点，同样，估值 v:L→{0,1} 可以被视为退化概率函数 P:L→[0,1]。从这个意义上说，经典逻辑是概率逻辑的特例，或者说，概率逻辑是经典逻辑的延伸。

可以证明经典命题逻辑在概率语义方面是（强烈）健全和完整的：

Г⊨pψ 当且仅当 Г⊢ψ。

一些作者将概率解释为广义真值（Reichenbach 1949，Leblanc 1983）。根据这种观点，概率逻辑只是一种特殊的多值逻辑，概率有效性归结为“保真”：真理（即概率1）从前提延续到结论。其他逻辑学家，例如 Tarski (1936) 和 Adams (1998, 15)，已经指出概率不能被视为广义真值，因为概率函数不是“外延的”；例如，P(ψ∧ψ) 不能表示为 P(ψ) 和 P(ψ) 的函数。关于这个主题的更多讨论可以在 Hailperin (1984) 中找到。

另一种可能性是将句子的概率解释为对其（不确定性）的衡量。例如，句子“Jones is in Spain at the moment”可以具有任意程度的确定性，范围从 0（最大不确定性）到 1（最大确定性）。 （请注意，0 实际上是一种确定性，即关于虚假的确定性；然而，在本条目中，我们遵循 Adams 的术语 (1998, 31)，并将 0 解释为最大不确定性。）根据这种解释，可以得出以下定理概率语义的强大健全性和完整性：

定理 1. 考虑一个演绎有效的论证 (Г,ψ)。如果 Γ 中的所有前提都有概率 1，那么结论 phi 也有概率 1。

该定理可以被视为对概率保存（或不确定性传播）问题的第一个非常部分的澄清。它说，如果前提不存在任何不确定性，那么结论也不可能存在任何不确定性。在接下来的两小节中，我们将考虑更有趣的情况，当前提存在非零不确定性时，并询问它如何延续到结论。

最后，应该指出的是，虽然本小节只讨论了经典命题逻辑的概率语义，但也有各种其他逻辑的概率语义，例如直觉命题逻辑（van Fraassen 1981b，Morgan and Leblanc 1983）、模态逻辑（ Morgan 1982a、1982b、1983、Cross 1993）、经典一阶逻辑（Leblanc 1979、1984、van Fraassen 1981b）、相关逻辑（van Fraassen 1983）和非单调逻辑（Pearl 1991）。所有这些系统都有一个关键特征：逻辑的语义本质上是概率性的，但概率并没有在对象语言中明确表示；因此，它们在本质上更接近这里讨论的命题概率逻辑，而不是后面章节中介绍的系统。

大多数这些系统不是基于一元概率 P(ψ)，而是基于条件概率 P(ψ,ψ)。条件概率 P(ψ,ψ) 被视为原语（而不是像通常那样定义为 P(ψ∧ψ)/P(ψ)），以避免 P(ψ)=0 时出现问题。 Goosens（1979）根据条件概率的原始概念概述了概率论的各种公理化。

2.2 亚当斯的概率逻辑

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