逻辑与概率（一） (6-6)

对于所有概率函数 P:L→R: UP(phi)≤Σγ∈ГUP(γ)。

亚当斯概率有效性在概率而不是不确定性方面有另一种等效的表征。这个表征表明，当且仅当前提的概率足够高时，结论的概率可以任意接近 1，(Г,ψ) 才是亚当斯概率有效的。形式上： Γ⊨aphi 当且仅当

对于所有 ϵ>0，存在 δ>0，使得对于所有概率函数 P：

如果 P(γ)>1−δ 对于所有 γ ∈ Γ，则 P(ψ)>1−ϵ。

可以证明经典命题逻辑相对于亚当斯的概率语义学是（强烈）健全和完整的：

Г⊨aψ 当且仅当 Г⊢ψ。

Adams (1998, 154) 还定义了另一种逻辑，他的概率语义学是健全且完整的。然而，该系统涉及非真值函数连接词（概率条件），因此不属于本节的范围。 （有关条件句的概率解释的更多信息，读者可以查阅本百科全书中关于条件句和条件句逻辑的条目。）

考虑以下示例。具有前提 p,q,r,s 和结论 p∧(q∨r) 的论证 A 是有效的。假设P(p)=10/11，P(q)=P(r)=9/11，P(s)=7/11。那么定理 2 说

U(p∧(q∨r))≤

1

11

+

2

11

+

2

11

+

4

11

=

9

11

。

结论不确定性的上限相当令人失望，它暴露了定理 2 的主要弱点。上限如此之高的原因之一是，为了计算它，我们考虑了前提 s，其中相当高的不确定性（4/11）。然而，这个前提是无关紧要的，因为结论已经从其他三个前提得出。因此，我们不仅可以将 p∧(q∨r) 视为有效论证 A 的结论，还可以将其视为（同样有效）论证 A′ 的结论，该论证 A′ 具有前提 p,q,r。在后一种情况下，定理 2 得出的上限为 1/11+2/11+2/11=5/11，这已经低得多了。

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