逻辑与概率（一） (6-3)

有了这些澄清，我们现在就可以看看本文将讨论的内容了。获得具体的概率逻辑系统的最常见策略是从经典的（命题/模态/等）逻辑系统开始，并通过向其添加概率特征，以某种方式对其进行“概率化”。有多种方法可以实现这种概率化。人们可以研究古典语言（没有任何明确的概率运算符）的概率语义，在这种情况下，结果关系本身就具有概率的味道：演绎有效性变成“概率保留”，而不是“真理保留”。这一方向将在第 2 节中讨论。或者，可以将各种概率运算符添加到逻辑语法中。在第 3 节中，我们将讨论一些初步的、相当基本的概率算子示例。第 4 节将探讨模态概率算子的完整表达能力。最后，第 5 节将讨论具有一阶概率算子的语言。

2.命题概率逻辑

在本节中，我们将介绍第一类概率逻辑，用于研究“概率保存”（或双重的“不确定性传播”）问题。这些系统不使用任何概率运算符来扩展语言，而是处理“经典”命题语言 L，它具有一组可数的原子命题和通常的真值函数（布尔）连接词。

主要思想是，有效论证的前提可以是不确定的，在这种情况下，（演绎）有效性不会对结论的（不确定）确定性施加任何条件。例如，前提“如果明天会下雨，我会被淋湿”和“明天会下雨”以及结论“我会被淋湿”的论证是有效的，但如果其第二个前提不确定，则其结论通常会也有不确定性。命题概率逻辑将此类不确定性表示为概率，并研究它们如何从前提“流动”到结论；换句话说，他们不研究真值保存，而是研究概率保存。以下三个小节讨论了处理该问题的越来越通用版本的系统。

2.1 概率语义

我们首先回顾命题语言 L 的概率函数的概念。（在数学中，概率函数通常是为给定集合 Ω 的子集的 σ 代数定义的，并且需要满足可数可加性；参见第 4.3 节。然而，在逻辑上下文中，为逻辑的对象语言“立即”定义概率函数通常更自然（Williamson 2002），因为这种语言是有限的——它的所有公式都有有限的长度——所以它也足以需要有限的可加性。 ）概率函数（对于 L）是满足以下约束的函数 P:L→R：

非消极性。对于所有 phi∈L，P(phi)≥0。

同义反复。若 ⊨ψ，则 P(ψ)=1。

有限可加性。若 ⊨Ø(ψ∧ψ)，则 P(ψ∨ψ)=P(ψ)+P(ψ)。

在第二个和第三个约束中，⊨符号表示经典命题逻辑中的（语义）有效性。因此，概率函数的定义需要经典逻辑的概念，从这个意义上说，概率论可以说是以经典逻辑为前提的（Adams 1998, 22）。可以很容易地证明，如果 P 满足这些约束，则对于所有公式 ψ ε L 都有 P(ψ) ε [0,1]，并且对于所有公式 ψ,ψ ψ L 来说 P(ψ)=P(ψ) 为逻辑上等价（即 ⊨ψ↔ψ）。

我们现在转向概率语义，如 Leblanc (1983) 中所定义。具有前提 Г 和结论 ψ 的论证（此后记为 (Г, ψ)）被认为是概率有效的，写作 Г⊨pψ，当且仅当：

对于所有概率函数 P:L→R：

如果对于所有 γ ∈ γ P(γ)=1，则 P(phi)=1。

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