数学哲学（三） (5-5)

但在这里自然主义内部有一个重要的分歧：Quine认为“只有在科学/哲学事业需要的范围内才接受数学(也许为了'事情的圆满'，会比这多一点)”，而那些在科学中没有应用，或者说没有协助科学的数学事业并不被接受(从而，不可或缺论证对于数学的实在论不仅是充分的，还是必要的)，这些部分基于奥卡姆剃刀的原则就应该被丢弃；Burgess和Rosen认为既然数学和科学共同构成一个整体，科学就不能以一个优先的位置给予数学合法性，数学和科学是一个共同体，它的合法性是在这个共同体中共同获得的；Maddy则持有另一种观点，她认为我们的信念之网并非是没有缝隙的，数学有其自身的方法论，数学的合法性来自于它自身而不是来自于应用它的科学，正如数学史上很多数学发现都在很久以后才在科学中得到应用。简单来说，这三种观点的分歧在于是什么给予数学的合法性地位，作为自然主义者他们都同意不是哲学，Quine认为是科学，Burgess认为是科学-数学，而Maddy认为是数学自身。[注2]

毫无疑问以上介绍的是一种最典型的数学自然主义，但考虑到自然主义一词的范畴之大，它绝不是唯一的一种，例如有一种自然主义认为“存在”只在于在时空中存在(spatiotemporal)，而不是在于对象在科学中的应用。既然如此，这种自然主义必然是反对不可或缺性论证和柏拉图主义的，它也可以和反实在论式的结构主义或下一节介绍的虚构主义相兼容。故而，它不算是一种单独的关于数学哲学的立场，但确实是自然主义的。

稍微总结一下，数学(哲学)的自然主义者在数学本体论和真值问题上都持有实在论立场，同时数学是经验知识，而不是先天知识。数学的合法性地位一定不是来自任何哲学，而是来自数学或科学或二者之并，数学哲学之于数学仅仅具有描述性作用。同时，数学的自然主义立场不能被视作仅仅在数学哲学中持有自然主义立场，二者不是重合的。

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