数学哲学（完结） (2-1)

3.6 虚构主义(fictionalism)

柏拉图主义认为数学对象客观存在，因此说“3是质数”在某种意义上和“地球是太阳系的第三颗行星(按照和太阳的距离从小到大)”一样，前者是对数字“3”的描述，后者是对“地球”的描述。根据我们上一节中介绍的不可或缺性论证，物理学需要数学，而数学包括对抽象实体的指称和量化，既然如此，如果接受物理学，我们就不得不接受数学对象的本体论地位。对这个论证的一种反对意见是反对上文的前提P1，通过提供一种语义学理论使得数学命题的真不包含对数学对象的承诺。而虚构主义者则不采取这种方法，他们采取一种更加激进的方法，否认P3，认为数学对于物理学是不可或缺的。

虚构主义者的代表人物Field认为数学对象类似于小说中的地位，我们可以同意“哈利波特头上有一个闪电状的伤疤”而不需要承诺哈利波特存在，同样的Field接受P1，数学命题的真的确需要存在抽象实体，但这样的抽象实体不存在，所以数学命题仅仅具有空洞的真值，因而“所有自然数都是质数”可以为真，因为根本就不存在自然数，尽管我们有数学定理“并非所有自然数都是质数”，也就是说数学陈述的真值并不与数学定理符合。也就是说，虚构主义者是数学的本体论唯名论者和真值反实在论者。现在虚构主义要应对的第一个主要问题是，如果数学命题没有非平凡的真值，那么它是如何被应用于物理等自然科学之中。当然数学对于物理学是有用的，但虚构主义者认为它不是必要的，为此Field发展了关于牛顿的引力理论的一套唯名论版本(Putnam的不可或缺性论证也是以引力理论为例的)，作为解释数学的虚构主义如何应用于科学的一个范例。Field论证道，时空中的点是具体而非抽象的，它们不是数学对象，它们在物理学中的地位相当于电子，是作为物理实体存在的。在这之后我们引入一些特定的关系，例如点xyz，定义"y bet(ween) xz"表示xyz共线且y在xz之间，这里的bet关系不是数学关系，而是物理关系，这里并不涉及到作为数学对象的点和直线等等。在这之后，Field又通过唯名论语言提供了微分和积分的替代，并证明这些替代物具有数学中微分和积分所具有的性质。这里的要点在于这种替代理论反对数学对象的抽象存在。

在这之后，Field要表明的是，数学对所有综合理论都是保守(conservative)的，用通俗而不太严谨的说法，如果某个科学理论N加上数学可以推出某个唯名论命题T，那么单单N就可以推出T，例如从数学中我们推不出引力和物理之间的距离成反平方比，数学不能推出非数学命题，从而数学对于这些科学理论就是可有可无的了。Field进一步认为，即便是柏拉图主义者也应该接受数学对于科学是保守的：如果发现标准数学蕴含宇宙存在10个非数学对象或者巴黎公社失败了，会是十分令人惊奇的。……(如此)所有人会认为标准数学需要修正了。(Field ＜Science Without Numbers＞ 1980)

这里的一个困难就在于数学和物理学之间是否有明确的界线。为此Field提供了两个基于模型论的论证，通过引入一些看上去合理的假设，他证明了数学在必要的意义上是保守的。

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